CHAP. VII. — ALTÉRATIONS

le système globulaire, plus facile à tracer, et qui ne présente avec lui que des différences très-faibles, tantôt dans un sens, tantôt dans un autre.

La projection équidistante est celle qui convient le mieux au tracé d'un hémisphère sous l'aspect polaire, parce que les parallèles y sont représentés par des circonférences concentriques et équi distantes, comme sur la sphère, et que dans toute la zone limitée par le cercle polaire les erreurs de tous genres y sont tellement faibles qu'elles peuvent y être négligées; car, à 25 degrés du pôle, c'est-àdire sur le parallèle de 65 degrés de latitude, le rapport maximum des distances élémentaires de la carte et de la sphère, de même que le rapport des surfaces élémentaires, est exprimé par 1,032, valeur très-peu différente de l'unité.

La projection orthographique altère beaucoup trop les surfaces et les angles pour qu'on puisse l'employer avantageusement pour la représentation d'un hémisphère ; à 00 degrés du centre, les surfaces ne sont que la moitié de celles qui leur correspondent sur la sphère, et la plus grande altération d'angle est déjà de 19° 28'. Cette projection est adoptée pour la carte de la lune, parce qu'elle figure les astres comme nous les voyons en réalité.

Les autres projections perspectives ne sont que rarement employées pour la construction des mappemondes; celle de la Hire et de Parent ne s'écartent que très-peu de la projection équidistante, qui n'est pas plus difficile à construire ; la projection du colonel James, où les erreurs sont à peu près uniformément réparties, peut être avantageusement employée pour les cartes physiques figurant plus d'un hémisphère, de manière à embrasser d'un seul coup d'oeil l'ensemble des grands continents.

La projection de sir Airy, Balance of Errors, n'a pas encore été employée ; sa formule, très-compliquée, nécessite des calculs trespénibles, et les problèmes de la sphère ne peuvent s'y résoudre facilement.

4° Les projections coniques seront très-utiles pour figurer un hémisphère entier, boréal ou austral parce que, les parallèles étant représentés par des cercles concentriques, les régions situées sous les mêmes latitudes sont comparables entre elles. Les projections coniques orthomorphes de Lambert conservant les angles (excepté aux pôles) et par conséquent les formes des parties peu étendues, conviennent très-bien pour cet objet : elles pourraient même être pro-

longées au delà de l'équateur ; mais, comme les erreurs croissent très-rapidement à cette limite, il sera préférable, si l'on veut représenter la surlace entière du globe, de recourir à deux cartes se terminant à l'équateur, l'une pour l'hémisphère boréal, l'autre pour l'hémisphère austral. En prenant pour / la valeur *, l'angle au pôle d'un hémisphère entier est de 281° ôi)" 38'; les degrés de longitude sont conservés sur deux parallèles qui diffèrent peu de ceux de 30 et de 70 degrés de latitude; le rapport d'agrandissement, le même à ces deux latitudes, est le plus petit possible sous le parallèle de 51* 30' environ ; enfin, le parallèle de o5° de latitude partage tous les méridiens en deux parties à peu près égales.

On peut aussi représenter l'hémisphère boréal ou l'hémisphère austral en proportion conique équivalente, d'après le système de Lambert , en déterminant le coellicieut arbitraire n de manière que les degrés d'un parallèle donné conservent leur véritable rapport avec le degré de longitude ; si ce parallèle est celui de ho degrés, le coefficient n prend la valeur 1,171, et par conséquent l'angle au pôle est de 307° 2i>' environ.

Enfin les projections polyconiques représenteront avec une exactitude suffisante un hémisphère sous l'aspect méridien, soit que l'on veuille conserver les degrés de tous les parallèles, soit que l'on préfère sacrilier cette égalité à la perpendiculaire des méridiens et des parallèles. Comme les deux systèmes dillèrent très-peu l'un de 1 autre, on pourra so contenter de la construction abrégée d'un hémisphère que nous avons indiquée en parlant des systèmes polyconiques.

■ï. Supposons maintenant que l'on veuille représenter, non plus un hémisphère entier, mais une portion plus ou moins grande du monde. On devra tout d'abord considérer quelle est la position de cette contrée relativement à l'équateur, son étendue et la forme générale de son contour ; on voit que la question sera beaucoup plus difficile que celle de la construction d'un hémisphère, parce que, l'échelle étant nécessairement plus grande, les altérations résultant du canevas que l'on adoptera seront beaucoup plus apparentes, et auront une importance bien autrement considérable ; on devra donc étudier la question avec le plus grand soin, chercher à répartir les erreurs à peu près également dans les parties également importantes, en reportant les plus considérables dans les parties dont l'exacte représentation importe le moins, comme, par exemple, les grandes masses d'eau qui entourent un continent ; il faudra aussi éviter les

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projections qui, par rapport au format, obligent le géographe à faire entrer dans sa carte plus de pays étrangers à son objet que tel autre système, parce qu'elles diminuent l'échelle de la carte, c'est-à-dire la proportion entre l'image et l'objet représenté.

Lorsque la carte ne doit embrasser qu'une petite portion de la surface du globe, les défauts de toutes les méthodes diminuent, car les quadrilatères formés par les méridiens et les parallèles approchent d'autant plus d'être des parallélogrammes rectangles équivalents qu'ils sont moins éloignés du centre de la contrée que l'on veut représenter ; c'est ainsi que toutes les projections viennent se confondre avec le plan levé géométriquement toutes les fois qu'il s'agit d'une étendue dans laquelle la courbure de la terre est peu sensible; il est donc toujours avantageux de multiplier les cartes d'un atlas, au Heu de chercher à représenter dans une même carte plusieurs États, plusieurs contrées dont l'ensemble importe peu à l'étude que l'on veut faire: mais, en se conformant à cette prescription, le choix de la projection n'en reste pas moins important, car il peut être nécessaire de réduire les erreurs le plus possible autour d'un point important, tel qu'une capitale, en les laissant s'accroître avec les distances à ce point, ou de conserver les distances relatives dans certaines directions plutôt que dans d'autres.

Il ne peut exister de règles fixes pour le choix de la projection la plus convenable; s'il était possible de dresser un tableau des altérations d'angles, de longueurs, de surfaces, en des points assez rapprochés de chaque canevas, un tracé rapide du contour de la contrée que l'on veut figurer montrerait, suivant le but que l'on veut atteindre, quel est le système qui convient le mieux à cette contrée ; mais on ne peut songer à dresser un pareil tableau, puisque, pour beaucoup de systèmes, les altérations dépendent de coefficients arbitraires et que l'on ne détermine que par les données mêmes de la question que l'on veut résoudre, par exemple, par la latitude du point important où l'on veut réduire les erreurs, ou par celle de deux parallèles dont on veut conserver les degrés de longitude, etc. L'intelligence du géographe peut donc seule suppléer à ce manque de règles et d'indications suffisantes, et ce n'est que par une connaissance approfondie des avantages et des défauts de chaque système en particulier qu'il pourra prononcer au milieu du grand nombre qui peuvent s'offrir à lui.

t f * PARTIS. — THÉORIB DES Pi.01Br.TIOM.

NOTE

H*!U LES CAITEK « É O « ■ A V H t « DE • ,

Par M. A. Tissot il).

« Trouver le meilleur mode de projection pour chaque contrée particulière. »

s. « Lorsqu'il s'agit d'une carte destinée aux services publics, comme celle qui a été dressée en France par le Dépôt de la Guerre, la première condition que Ton doit s'astreindre à remplir en faisant choix d'un système de projection, est relative à la reproduction des angles; il n'est pas nécessaire d'annuler complètement leurs altérations, mais il faut les rendre plus faibles que les erreurs admissibles en topographie dans la mesure des angles eux-mêmes ; alors chaque feuille de la carte constituera un véritable levé topographique; seulement, les distances ne pouvant être conservées, l'échelle du dessin variera d'une feuille à l'autre. Une seconde condition se rapporte à cette variation de l'échelle; on doit, en la rendant aussi faible que possible, amener à son maximum l'étendue de chacune des régions à laquelle il est permis d'attribuer une échelle unique. Enfin, avant de tracer le canevas, on a à calculer les coordonnées d'un grand nombre de points rapportés à deux axes rectangulaires; une troisième condition réside dans la simplicité des formules employées à cet usage.

« Il existe une infinité de systèmes de représentation qui ne modifient pas les angles; mais s'il s'agit d'une contrée ayant, comme la Russie, des dimensions exceptionnelles dans tous les sens, quand même on prendrait celui de'ces systèmes qui réduit à son minimum la plus grande altération de longueur, l'échelle subirait de fortes variations d'une extrémité du pays à l'autre, à moins qu'on ne le divisât en plusieurs régions ayant chacune leur carte particulière; c'est pourquoi, tout en évitant les difficultés d'analyse, on aura résolu la question dans les cas qu'il est utile de considérer, si l'on se borne aux trois suivants : celui d'une portion du globe peu étendue dans le sens des parallèles, et autant que l'on voudra dans le sens des mé-

(1) Comp'et rendus des séances d>: f Académie des Sciences, 17 décembre 18C0, p. 964-969.

CRAP. VU. — ALTÉRATIONS. 2^1

ridiens ; celui d'une portion du globe peu étendue daus le sens des méridiens, et autant que l'on voudra dans le sens des parallèles; celui d'une contrée peu étendue dans les deux sens, comme la France, l'Espagne, etc.

« Appelons L la latitude d'un point quelconque, L 0 celle d'un point central, m la longitude du premier point comptée à partir du méridien du second, r le rayon du parallèle dont la latitude est L, r 0 celui du parallèle dont la latitude est L 0 , s l'arc de méridien compris entre ces deux parallèles, j- et y les coordonnées rectangulaires du point de la carte qui correspond à la latitude L et à la longitude m.

« Dans le premier cas, le meilleur système de projection est donné par les formules

(I) x = * -f- j rm* sin L, y = rm + i m 1 cos2l) . « Dans le second cas, en posant

R 0 = r 0 cosécL 0 , R = R„ — * — g*», ? = m sinL 0 , on aura, pour les formules analogues,

(II) x = R 0 — Reoso, y = Rsintp;

ici les méridiens de la carte sont des droites partant toutes d'un même point, et les parallèles des circonférences dont ce point occupe le centre.

Dans le troisième cas, si l'on appelle N 0 la grande normale du méridien à la latitude L„, et si l'on représente par |x la variable m cosL 0 , on devra employer les formules

{lU) ( 1 =

s 4- { N 0 tang L 0 n» + * A,' - B*> + <V + f V, rm + i B*' -f A*V — B»!** + ï Ci**,

dans lesquelles on peut mettre L — L 0 à la place de *, excepté dans le premier terme de la valeur dex; A, B, C sont des coefficients constants, dont le troisième est lié au premier par la relation

2(A-f Qcos^^cosaL,;

quant à A et à B, ils dépendent de la forme du contour qui limite le pays, et voici comment ils s'obtiennent; on trace d'abord ce contour en rapportant chacun de ses points à deux axes rectangulaires sur

252 l r « PARTIE. — THEORIE DES PROJECTIONS.

lesquels on porte les coordonnées L — L 0 et ji. ; à l'aide de quelques tâtonnements graphiques, on détermine ensuite de grandeur et de position l'ellipse enveloppante pour laquelle le diamètre qui est incliné à âo° sur ses deux axes est le plus petit possible. Soient 2d la longueur de ce diamètre minimum, 2a celle du grand axe correspondant, a l'angle que fait cette dernière ligne avec l'axe des coordonnées sur lequel est comptée la variable p;on aura

(IV) A = i ( cos«* - £ C0B2«), B = i (| - sin 2«;

le centre de l'ellipse donnera le point central de la carte, et par conséquent fera connaître la latitude moyenne L 0 , dont une valeur approchée aura sufli dans cette recherche préliminaire.

« Pour certains con Jours exceptionnels, le mode de projection le plus avantageux sera fourni par des essais analogues au précédent, mais où les ellipses seront remplacées par des hyperboles ou même par des paraboles, et, dans le cas des paraboles, les formules (III) devront être un peu modifiées- la plupart du temps, on reconnaîtra d'avance l'inutilité de ces deux derniers essais.

«Enfin, on peut introduire dans les seconds membres des équations (1), (II) et (111) un facteur qu'il est facile de déterminer pour chaque pays en particulier, et dont l'effet est de réduire de moitié la plus grande altération de longueur, en la rendant positive dans certaines régions et négative dans d'autres.

« Appliquées à la France, les recherches qui précèdent donnent

et le méridien moyen est celui de Paris.

« Pour la carte d'Espagne, dont les opérations géodésiques sont en voie d'exécution, on est conduit à prendre comme méridien central celui de Madrid, et comme parallèle central celui de A0°; les formules sont

( = * + <>,i20I.V-f O.III.s 5 — 0,lH.V;x, \ y= rm -f 0, 333a- > — 0,00V •

a Voici maintenant un tableau contenant, pour six contrées différentes, la plus grand altération d'angle et la plus grande altération de distance produites par le mode de projection adopté lors de la

UUP. VII. — ALTÉRATIONS.

construction de la carte de France, et par l'un de ceux qui sont proposés dans ce Mémoire.

Première contrée. . .

Idem

Esypt«

Idem

Troisième contrée. . .

Idem

Algérie

Idem

Franc*

Idem. . ,

Idem,

lagne

Idem

VALEURS di' la phi* grande allrratiou

d'angle.