CHAP. VU. — ALTÉRATIONS

niraum en un point donné (I, t). Il faut pour cela laisser p, p', q, q\ p et r constants dans l'équation (11), et égaler à zéro la dérivée du second membre prise par rapport à la seule variable a , ce qui donne

£l+£! £+£) si „ * + M+ÉÙ cos „ = o,

ou bien

= - ,- ,*>"!+ P V ? ' , r (IV)

On a donc pour tang 2a une valeur unique, mais il en résulte pour a, entre 0 et tc, deux valeurs distinctes dont la différence est ^.

Les éléments de longueurs qui correspondent à ces deux valeurs de a sont, l'un l'élément le plus augmenté sur la carte, l'autre l'élément le plus réduit ; on peut s'assurer en effet que les deux valeurs de a font de signes contraires la dérivée seconde du second membre de l'équation (II).

Les éléments de longueurs qui subissent sur la carte les plus grandes altérations font donc un angle droit sur la surface du sphéroïde.

Cherchons aussi l'angle qu'ils font sur la carte. Nous aurons pour l'un d'eux

dx' = pdt -f- qdl — {^P tang « -|- qj dl, ^ = (^tang«-h^rf/;

pour l'autre, en augmentant ide ^,

dx" = ^— ^ p cotang a -f dl , d\f =(—£p' cotang a -f q^j dl.

Faisons ensuite

tang P '=^ et lang^g,

çt il viendra, en multipliant ces deux équations membre à membre,

\{r*q' t — p , />'*)3in2» — pr/>ycos2a tangp tang? = i( r y— 9 y) sm2« — pr/>? cosia '

fraction qui se réduit à —1 en vertu de l'équation (IV). Donc les deux directions correspondantes aux angles p' et p" font entre elles un angle droit, ou, en d'autres termes, les éléments de longueur les plus altérés ont sur la carte comme sur le sphéroïde des directions rectangulaires; ces directions ne coïncident avec les méridiens et les parallèles que dans les projections où ces deux lignes se coupent à angle droit.

». Revenons à l'équation (III)

Si nous prenons pour unité le rayon de la petite circonférence que nous avons décrite sur le sphéroïde, les longueurs des projections de deux rayons rectangulaires seront précisément m et m, , et l'égalité précédente exprime que la somme des carrés de ces rayons est constante quelle que soit la valeur de l'angle a. Or si l'on considère une ellipse (Og. 61) et la circonférence décrite sur son grand axe, on sait que les rayons vecteurs de l'ellipse correspondant à deux rayons rectangulaires du cercle sont deux demi-diamèires conjugués, et que la somme de leurs carrés est constante et égale à la somme des carrés des axes. Comme cette propriété suffit réciproquement pour définir l'ellipse, et que cette courbe peut toujours être considérée comme la section oblique d'un cône droit, on voit que, autour d'un même point, la déformation est soumise à une loi qui ne dépend ni de la nature des surfaces, ni de la position du point que l'on considère, ni de la manière dont on a tracé le canevas; voici comment M. Tissot l'a énoncée (1) :

« Toute représentation du sphéroïde sur un plan peut être remplacée en chaque point par une projection orthogonale faite à une échelle convenable (2). »

S. Nous avons montré précédemment , et il est facile de vérifier à l'aide de cette loi, que, quelle que soit la projection adoptée, il existe en chaque point du sphéroïde deux directions et par conséquent deux tangentes perpendiculaires entre elles, et, à moins que les angles ne soient tous conservés, il n'en existe que deux, telles que les directions qui leur correspondent sur l'autre surface se coupent aussi à angle droit. M. Tissot leur a donné le nom de tangentes principales.

i l) Comptes rendus de l'Académie des sciences, t. XLIX, p. 673.

(2) La même loi s'applique à la représentaUon d'une surface quelconque sur une autre.

(MAP. Vn. — ALTÉRATIONS. 221

C'est pour ces directions que le rapport des longueurs de deux éléments infiniment petits, qui se correspondent sur les deux surfaces, atteint sa plus grande et sa plus petite valeur. Désignons respectivement ces deux valeurs par a et b et supposons a>b; a sera le demi grand axe de l'ellipse projection de la petite circonférence décrite sur le sphéroïde, et b sera le demi petit axe ; on aura d'abord

r» N'cos'/ '

et l'on pourra calculer a et b quand on connaîtra les formules de la projection dont on s'occupe, c'est-à-dire les expressions des coordonuées rectangulaires de chaque point en fonction de l et de t. Les deux rayons de courbures N et p de l'ellipsoïde en ce point se calculeront facilement en fonction de la latitude /.

Les tangentes principales sont bissectrices des mêmes angles sur le sphéroïde et sur la carte, et les rapports de longueurs sont égaux sur les côtés de chacun de ces angles.

La représentation diminue tous les angles aigus dont l'un des côtés coïncide avec la tangente principale qui se rapporte au maximum a. Si on représente par <ç l'un de ces angles, par l'angle modifié et par m le rapport de longueurs pour son second côté , il viendra

b , (a — 6)sin2«p

tang4. = -tan gî ; t.ng( ? -+)= -^J-^-^,

mcos4'=flcos<!>; msin <I> = 6sin<p; m* = o* cos* «p + b % sin" <j>.

Le maximum de l'altération <? — ^ est l'angle 0 pour lequel on a

En appelant <& et W les valeurs correspondantes de <p et et M celle de m, on trouve

222 PARTIE — THÊORIK DKS PROJECTIONS.

L'angle le plus altéré est celui que forme la direction ainsi obtenue avec la droite qui lui est symétrique par rapport à l'une des tangentes principales. Cet angle se trouve remplacé par son supplément dans la représentation, et l'altération est égale à 28.

A toute autre direction il en correspond une seconde seulement, faisant avec la première un angle qui n'est pas modifié ; l'une étant donnée par l'angle 9, l'autre le sera par l'angle 90° —

Pour tous les angles non modifiés, le produit des rapports de distances m et m' qui conviennent aux deux côtés , est le même , et l'on a

mm' = ab.

Si l'on représente par m et m, les rapports pour deux directions à angle droit, et par 0 l'altération de cet angle, on aura, ainsi que nous l'avons déjà vu,

m* -|- m, 1 = a* -f- b* ; mm, cos 8 = ab.

Lorsqu'on passe de la première surface à la seconde, le rapport M*, suivant lequel l'élément superficiel est modifié, est donné par le rectangle des deux axes. On a

W=iabi

ce rapport est donc le carré du rapport des longueurs des seconds côtés de l'angle le plus altéré * et de sa projection W. On a

a = M tang (i* + ^ ; 6 = M tang (*5° - .

Si les surfaces sont conservées en projection, il vient

M* = mm' = mm, cos S = \ , tang e = ; a = tang ^45° + j] .

Dans ce cas, les deux éléments de longueur, dont l'angle est le plus altéré, n'éprouvent pas de modification.

Tous ces résultats, que nous avons donnés sans démonstration parce qu'ils se déduisent immédiatement de la loi de la déformation et de la considération de la circonférence infiniment petite et de l'ellipse projection, sont généraux et se vérifient dans une transformation quelconque.

CHAP. Tll. — ALTÉRATIONS. 223

Lorsque la projection est orthomorphe, l'ellipse devient une circonférence, et le rapport m des longueurs est indépendant de l'orientation de l'élément considéré.

A. Reprenons l'équation (III).

AI. Collignon (1) remarque que, si en un point donné d'une projection équivalente, il n'y a pas altération dans les longueurs, m étant égal

à m, et à l'unité, la fonction p * + q * q est égale à deux

unités. Réciproquement, si en un point particulier d'une carte conservant les surfaces, cette fonction a pour valeur deux unités, il n'y a pas d'altération dans les longueurs autour de ce point, car les équations

trnn, = 4 et m' -f- m* = 2, ne sont satisfaites que par

i t 'i i i 'i La fonction P \ P + 2-X-i. est donc la fonction caractéristique r p

du mérite propre d'un système quelconque de tracé conservant les surfaces. Si l'on calcule les valeurs numériques de cette fonction en différents points, l'écart de ces nombres par rapport au nombre 2, leur limite inférieure, indique pour chaque point le degré d'altération résultant du tracé.

Appliquant cette méthode à la comparaison de différentes projections équivalentes, M. Collignon trouve que, pour la projection zénithale de Lambert, en prenant le pôle pour centre, cette fonction a pour expression

005 — T~ + ,90o-/ > cos'— —

résultat auquel nous sommes parvenus directement. Elle prend la valeur 2 au pôle, centre du tracé, et atteint son maximum 2 -f } à l*équateur.

(1) Journal de l'École Polytechnique, 41- cahier.

224 l re PARTIE. — THÉORIE "DES PROJECTIONS.

Pour la projection sur le cylindre circonscrit à l'équateur, la fonction est représentée par l'expression

,in«/+ * ;

elle est égale à 2 en tous points de l'équateur, mais elle devient infinie au pôle pour l = 90°.

Pour le tracé homalographique de Mollweide, on trouve

p* + p'* y' + 9" 8cos'<p tt» cos»/ sin^cos*/ t ~~T % h p l "««cos*/"*" 8 cT^ + 2cos 4 «p

Cette fonction atteint ses moindres valeurs pour une valeur donnée de l lorsque t = 0, c'est-à-dire le long du méridien central ; sur ce méridien elle atteint son minimum en deux points, lorsque m = l, ce qui a lieu à l'équateur et au pôle. Elle prend alors la valeur 2,048 supérieure à deux unités; mais cette valeur n'est pas applicable au pôle, car, en ce point, t est indéterminé, et le dernier terme de la fonction a une valeur infinie. Pour t = 0 et / = 65° 30', latitude qui correspond à peu près à la plus grande différence entre / et <p, la valeur de la fonction atteint 2,82. Pour un point placé à cette latitude, mais sur le bord de la carte, la valeur de la fonction s'élève à A, H.

Ces résultats mettent en évidence les profondes altérations inhérentes au tracé homalographique.

La meilleure carte d'égale superficie serait celle pour laquelle la

fonction P -f q ~*~ t q serait égale à deux unités, soit en un r p

point donné, soit en tous points d'une ligne définie par une relation donnée entre / et f et serait en outre la plus petite possible pour tous les autres points de la carte. La détermination des fonctions arbitraires par cette condition constitue un problème d'analyse beaucoup trop compliqué pour que nous essayions de le résoudre.

CIOIX DE LA P10JECTI0H.

5. Nous n'avons pas la prétention de donner ici des règles fixes sur le choix de la projection qui convient le mieux à la carte que l'on se propose de tracer, et nous disons môme que de telles règles ne sauraient exister, car ce choix doit dépendre de plusieurs circonstances qu'il est impossible de prévoir d'une manière générale.

CnAP. VII. — ALTÉRATIONS. 22λ

Malte-Brun disait avec raison que le premier objet des méditations du géographe-dessinateur est de déterminer le genre et le but de sa carte; nous ne saurions, de notre côté, trop insister sur l'importance de pareilles considérations, et c'est dans ce but que nous allons passer rapidement en revue les principaux cas qui peuvent se présenter.

Lorsqu'on veut construire une carte terrestre, on doit se demander tout d'abord si elle doit représenter : 1" la surface entière du globe ou seulement un hémisphère; 2° une vaste portion eu monde; 3° un empire ou une province seulement.

Pour chacune de ces grandes divisions, le but que doit atteindre le tracé permettra de restreindre beaucoup le nombre des projections qui peuvent tout d'abord paraître convenables. Si l'on veut conserver les surfaces, c'est dans la classe des projections équivalentes que l'on devra borner son choix; si, au contraire, il importe de conserver la similitude des configurations, la projection devra être orthomorphe; mais le plus souvent il sera nécessaire d'accepter en môme temps les erreurs de surfaces et de configurations, afin de ne pas exagérer l'une des deux en détruisant l'autre entièrement; et c'est alors que le choix à faire exigera une étude approfondie et intelligente.

6. Nous allons passer rapidement en revue les différents systèmes qui peuvent convenir à la représentation de la surface entière du globe au moyen d'une ou de deux cartes seulement; toute projection pourrait, à la rigueur, être appliquée à la représentation d'un hémisphère, ainsi que nous l'avons fait dans les planches qui accompagnent cet ouvrage ; mais quelques-unes entraînent avec elles, à cette limite, des erreurs beaucoup trop grandes pour que l'emploi, quelle que soit d'ailleurs la simplicité du tracé, puisse en être avantageux ; nous n'avons pas eu d'autre but, en projetant un hémisphère entier, que de mieux faire ressortir les inconvénients de chaque canevas et d'indiquer ainsi dans quelles limites chacun d'eux peut être employé.

1° Le développement des cartes réduites de Mercator et celui du cylindre droit de Lambert sont les seuls qui représentent les méridiens et les parallèles par des droites perpendiculaires entre elles ; le premier conserve les angles, le second les surfaces, mais tous les deux ont l'inconvénient de déformer d'une manière exagérée les régions polaires, et ne peuvent donner une idée même approchée des

iHti 1" PARTIE. — THÉORIE DES PROJECTIONS.

positions relatives dos différents points du globe; cependant le premier est souvent employé pour les planisphères, parce qu'il indique immédiatement la route à suivre pour se rendre par mer d'un point à un autre du globe, ainsi que la longueur de cette route.

2* La projection homalographique, qui conserve les surfaces et permet de représenter le globe entier dans une ellipse dont l'axe équatorial est double de l'autre, modifie trop les angles pour être employée exclusivement ; au delà de 50' de latitude, les altérations croissent très-rapidement, et rendent ce système impropre à représenter d'une manière satisfaisante les configurations des régions plus élevées en latitude.

S" Les proportions zénithales, que nous avons étudiées séparément avec tous les détails nécessaires, possèdent ce grand avantage que les azimuts relatifs au point central sont conservés ; que les erreurs, de quelque nature qu'elles soient, y sont égales à égale distance du centre, nulles à ce centre qui peut être pris arbitrairement, et par conséquent d'autant plus faibles que les régions considérées sont plus voisines de ce point ; ces erreurs sont, en outre, très-faciles à calculer.

Parmi ces projections, la plus facile à tracer est la projection stéréographique, qui n'altère pas les angles et permet de résoudre trèsrapidement par des constructions planes les problèmes de la sphère; quoique ce système double les longueurs et quadruple les surfaces le long de la circonférence qui limite un hémisphère, il est bon qu'il figure dans les atlas, mais il ne devrait pas y figurer seul ; la projection zénithale équivalente de Lambert et la projection équidistante, employées simultanément avec la projection stéréographique, permettraient de se rendre un compte exact des surfaces et des distances, non-seulement au point central, mais encore des différents points entre eux, lorsque ces points ne sont pas à plus de 30 à A0 degrés du centre. Sur la circonférence de l'hémisphère projeté dans le système équidistant, les surfaces élémentaires de la carte et de la sphère sont entre elles dans le rapport de 1,57 à 1, au lieu de 4 à 1, comme dans la projection stéréographique. Nous donnons aux chapitres IX et XIV (2* partie) le moyen de construire rapidement ces deux projections, soit directement, soit à l'aide d'une projection stéréographique déjà tracée et ayant pour centre le même point du globe.

Lorsque l'on veut représenter un hémisphère sous l'aspect méridien, il est souvent suffisant de remplacer le système équidistant par