CHAPITRE PREMIER

PROJECTION STÉREOGRAPH IQUE.

f . La projection stéréographique est une projection perspective dans laquelle l'œil est supposé à la surface de l'hémisphère opposé à celui que l'on veut représenter, à l'extrémité du diamètre passant par le point choisi pour centre de la carte.

Nous avons montré que la position du plan de projection ne pouvait apporter de changement que dans l'échelle de la construction; nous supposerons dans ce qui va suivre que ce plan passe par le centre de la sphère.

Nous ne tiendrons pas compte de l'aplatissement de la terre ; il est toujours suflisant, en effet, dans le tracé des mappemondes, de supposer la terre sphérique ; la considération de l'aplatissement compliquerait beaucoup les calculs et les constructions, et les difïérences seraient inappréciables aux échelles que l'on adopte ordinairement. Dans les cartes particulières, pour lesquelles, du reste, la projection stéréographique n'est que rarement employée, il sera toujours plus commode et suffisamment exact d'appliquer la méthode de Prony (1), qui remplace la portion de sphéroïde à représenter par une portion de sphère dont il est facile de calculer le rayon, et qui ne change par conséquent rien aux règles établies dans l'hypothèse de la sphéricité. Si nous supposons le périmètre du pays à représenter à peu près circulaire, il suffira presque toujours de prendre pour rayon de la sphère au point central de la carte

en appelant X la latitude de ce point central.

». Nous avons déjà montré, en étudiant les projections orthomorphes, que la projection stéréographique jouissait de la propriété

V Voir «"partie, chnp I, S i.

de conserver les angles tracés sur la surface de la sphère; nous allons donner une nouvelle démonstration géométrique et directe de ce théorème que :

« Les angles tracés sur la surface de la sphère conservent leur grandeur en projection. »

Soit (fig. 02) V le point de vue, E(ïF le plan de projection perpendiculaire au rayon OV, À le sommet de l'angle considéré qui est formé par deux courbes quelconques tracées sur la surface de la sphère. Cet angle étant mesuré par celui des tangentes aux deux courbes au point A, cherchons comment se projettent ces deux droites AD, AD'.

Le point A se projette en a. Le plan DAD' perpendiculaire au rayon OA est tangent à la sphère en A et contient la tangente AT au grand cercle passant par A et V et perpendiculaire lui-même au plan de projection ; DU' intersection du plan tangent et du plan de projection, tous deux perpendiculaires au grand cercle passant par A et V, est donc perpendiculaire à ce cercle et par suite aux droites AT et aT. En outre oT = AT, car le triangle aAT est isocèle, puisque les angles en a et A ont même mesure ; les deux triangles aTD* ATD, tous deux rectangles en T, sont donc égaux ; il en est de même des triangles ATD', aTD'; de là résulte l'égalité des angles DAD', DaD' formé par les deux courbes considérées sur la sphère et par leurs projections.

11 résulte de ce théorème général que, dans la projection stéréographique, la projection d'un cercle tracé sur la surface de la sphère est elle-même un cercle.

Pour le démontrer, considérons le cône tangent à la sphère le long de ce cercle (fig. 63) . Chaque génératrice de ce cône est perpendiculaire à la tangente correspondante au cercle de base. Or ces génératrices ont pour projections des droites passant toutes par le point *, projection du sommet S du cône; les tangentes au cercle de la sphère se projettent évidemment suivant les tangentes à la courbe de projection. D'après la propriété générale, AT étant perpendiculaire à AS, al devra être perpendiculaire à sa; sa sera donc une normale à la courbe ; toutes ces normales passant par un même point s, il en résulte que la courbe projection est une circonférence. Ainsi la projection d'une circonférence est une autre circonférence.

a. Le rapport entre les longueurs élémentaires correspondantes de la projection et de la sphère reste le même autour de chaque point

CHAP. I. — PROJECTION STÉRËOGftAPHIQLE. 239

et ne varie qu'avec la distance de ce point au centre de la projection; il est exprimé par la formule

2cos*-

dans laquelle 0 désigne l'arc de grand cercle qui réunit le point considéré au centre de la carte (I). En appelant i la latitude de ce centre, on pourra toujours exprimer 0 en fonction de la latitute / et de la longitude / du point considéré, à l'aide de la formule

cos e = £i!l!L±i> sin X,

COStp

dans laquelle l'angle auxiliaire <p est donné par la relation

tang<p = cos/cotangX,

et les longitudes t sont supposées comptées à partir du méridien du point central.

Nous n'avons pas besoin d'ajouter que si le plan de projection, au lieu de passer par le centre de la sphère, est à une distance du point de vue égale à I)', ce rapport m, de même que toutes les lignes de la

projection, devra être multiplié par le rapport -.

Le rapport M" des surfaces élémentaires de la projection et de la sphère a pour expression

ou, plus généralement,

ia'cos* |

ce rapport est égal a—, au centre de la projection, croît avec G, est