CONSIDÉRATIONS GÉNÉRALES SDR LES PROJECTIONS

1. Les difficultés que présentent la construction et l'emploi des globes terrestres ou célestes de grandes dimensions ont fait renoncer à leur usage et mis dans la nécessité de chercher à représenter sur des surfaces planes la situation des divers lieux de la surface sphérique que l'on considère. Les opérations graphiques que l'on effectue dans ce but constituent ce que l'on appelle en géographie la méthode des projections.

Ces représentations embrassent, ou la surface totale du globe, ou une de ses parties principales, ou une seule contrée; dans le premier cas on les appelle mappemondes, et planisphères lorsqu'elles ont la forme circulaire; dans le second cas ou les nomme tartes générales; dans le troisième, cartes spéciales.

Les cartes géographiques spéciales se distinguent en chorographiques, qui représentent une province avec ses cours d'eau, ses montagnes, ses points principaux: en topographi^ues, qui comprennent, pour une moindre étendue de pays, les détails de la nature du terrain, les grandes constructions et jusqu'aux habitations isolées et aux divisions des champs; et enfin en pl<uis ghnnrtriques, qui représentent une localité as.>ez petite pour que la surface a représenter puisse être considérée comme plane.

Les cartes peuvent encore prendre d'autres dénominations suivant l'usage auquel elles sont appropri ; es ; telles sont les cartes hydrographiques destinées à la navigation, les cartes gèoLhjiguea et autr. s destinées à l'élude de la physique du globe.

Les surfaces de la sphère et des sphéroïdes n'étant pas développables, c'est-à-dire ne pouv ant être étendues sur un p!.ui s.uis déchirure ni duplicature comme les surfaces coniques ou eyiindi iqu.es, il est impossible d'en donner une représentation plane dans laquelle les conliguratious, les distances des lieux el l'étendue relative des

régions soient conservas dans leurs rapports mutuels. Les géographes sont clone obligés d'altérer sur une carte certains rapports de grandeurs plutôt que d'autres, suivant le besoin, ou bien de représenter tous ces rapports par approximation; il en résulte divers systèmes de projections qui varient suivant le but qu'on se propose d'atteindre.

Comme la situation des différents lieux d'une sphère se détermine généralement par les cercles de latitude et de longitude, c'est-à-dire les parallèles et les méridiens qui passent par ces lieux, toute la difficulté consiste dan? la projection de ces cercles. Dans les premières cartes qu'on a construites, cette représentation a presque toujours été soumise aux règles de la perspective; l'idée de placer les lieux de la terre c mine les verrait un observateur situé à une distance plus ou moins grande du centre du globe, est très-simple et très-naturelle, puisque la voûte rél. ste se présente à nous sous un aspect analogue, et qu'il eu est de même des astres que nous pouvons apercevoir, tels que la lune: mais rien n'oblige à suivre cette méthode sans exception. On peut en effet, ainsi que le fait remarquer Layrauye (1), regarder les cartes géographiques sous un point de vue plus général et comme des représentations quelconques de la surface du globe; alors il n'y a qu'à tracer les méridiens et. les parallèles suivant une loi quelconque donnée, et à placer les différents lieux par rapport à ces lignes comme ils le sont sur la sphère par rapport aux < » .î les de longitude et de latitude.

1). cette manière, la construction d'une carte géographique devient un problème mut à fait indéterminé, maison peut le déterminer en l'assujetti -aiil à certaines conditions données suivant la destination cîe la carie; on peut demander, par exemple, que l'étendue des pays soit roriMYvée, c'est-à-dire que des portions égales de la terre soient représentées par des portions égales de la carte ; dans les cartes marines on demande que les différents rumbs de vent y soient représentés par des droites faisant entre elles les mêmes angles que ces rumbs l'ont dans la rose du compas. On peut aussi s'imposer la condiiion de représenter les méridiens et les parallèles par des courbes d'une nature donnée, tout en satisfaisant à une autre condition, telle, par exemple, que la conservation des angles. On voit que les conditions du problème peuvent varier à l'infini.

(1) S'ur la comtruçtKm des cartes t/èogra/ihiaues, dans les Nouveaux mémoires de ï Académie de Utrlin, auiicc MWXLXXIX, page* l«l .1 210.

Mais, quelle que soit la condition que l'on impose, quel que soit le canevas que l'on adopte, la carte que l'on tracera sera entachée par rapport à la portion de la surface sphérique qu'elle représente, de l'une au moins des deux erreurs : exagération des surfaces, ou déformation, c'est-à-dire altération des angles ; nous donnerons le nom d'altération à l'erreur totale que comporte une carte, soit qu'elle provienne de l'une seulement de ces deux erreurs partielles, soit qu'elle résulte de leur existence simultanée, ce qui a lieu dans beaucoup de cas, soit que l'on cherche à réduire les trop grands écarts résultant de l'une des deux erreurs par l'introduction de l'autre, soit qu'on n'ait d'autre but que de représenter les méridiens et les parallèles par un système de lignes faciles à construire.

INFLUENCE DE LA FORME 8PBÉR0ÏDALE DE LA TERBE DANS LA CONSTBOCTION DES CAITES GÉOGRAPHIQUES. — ÉLÉMENTS DO SPHÉROÏDE.

*. La terre n'étant pas une sphère, mais un corps que l'on peut regarder comme un ellipsoïde de révolution, il est naturel de tenir compte de la forme réelle dans la construction des cartes géographiques d'une grande précision.

Si l'on compare la longueur H05C3 m ,7 d'un degré du méridien, à l'équateur, avec la longueur du degré au pôle 111680 mètres, on trouve une différence de I I .16"', 2 qui n'est que ~ environ de la première longueur, et si l'on compare le degré à l'équateur avec le degré à la latitude de A5% 1H119 W ,4, on trouve que la différence 555'", 7 n'est que le j\ 9 du premier. Ainsi les degrés du méridien , quoique inégaux, diffèrent très-peu, et dans les projections qui n'exigent pas une extrême précision, on peut supposer la terre sphérique.

Il en est naturellement ainsi dans les planisphères et les mappemondes, et dans les cartes générales qui embrassent une étendue de pays assez grande pour que la centième partie d'un degré de 'atitude (quantité d'ailleurs plus grande que l'erreur que l'on commet en réalité) soit inappréciable à l'échelle de la carte.

Dans les autres cas, il est facile de tenir compte de l'aplatissement aux pôles; d'après ce que nous avons dit, en effet, les coordonnées des différents points d'une carte, les éléments qui servent à en construire le canevas, peuvent toujours être considérés comme des fonctions des coordonnées et des éléments correspondants de la surface que l'on veut représenter, la forme de ces fonctions étant définie par

6 i" PARTIE. — TIlf.OIUE I)LS rrOTCTi

la loi qui préside à la cou f ruction \n lieu de faire intervenir, dans

ces fonctions, le- éî.'un'rts d'une spV-re. il sera îcnt au-'-i facile de cunsî'li' i r;- le- éléments d'un sphéroïde ; ces éléments, étant eux-in£mes en chaque point des fonctions connue-; de la laîeudt et <1. 1;; longitude géographique, les coordonnée- de la projet- [!• m pourront toujours être exprimées, théoriquement du moins, par des fonctions de ces mêmes Variables.

Nous reviendrons en détail sur ce sujet lorsque nous nous occuperons de la théorie mathématique des caries au point, de vue de la conserva fi on «les conliguralimis, drs di--ianc.es ou des surfaces ; et, dans chaque système que m>u- éluderons en particulier, nous donnerons le nm\ on do tenir compte de la forme (lliptique de la terre.

Nous allons donner ici, sans les démontrer, les formules qui expriment les divers éléments du splu roïde en fonction des éléments connu- et des variahh s lons/nude /, et latitude / qui déterminent la position de chaque point à la surface de la terre.

3. La terre peut être considérée connue un ellipsoïde de révolution, c'est-à-dire comme décrit par la rotation d'une ellipse autour de son petit axe dont 1rs extrémités sont appelés pèles de la terre (fig. 1). Tout plan pas-aiit par cet axe coupe la surface suivant une ellipse dont on dé-a^no le p< t t ave par 11', le grand axe par 2a, et tout plan perpendiculaire trace une circonférence dont le rayon varie avec la di. tance de .ce plan au polo; l'équatour, c'est-à-dire l'intersection du sphéroïde par un pian perpendiculaire à son axe et également distant des deux pôles, a éxidemment pour rayon a.

On appelle exeeutricin.' <?, le rapport -- ; ainsi,

aplatissement a, \e rapport ; ainsi.

11 en résulte

Comme l'aplatissement de la terre diffère peu de r J- 0 -, on peut, dans la plupart des cas, négliger a 1 et pivndre

ce qui revient à négliger les puissances quatrième et suivantes de l'excentricité, car

«s=i — (1 — = 1 — (1 — * €«—«<?* — ) = -Je* + +

Si l'on supposait la terre sphérique et d'un rayon a égal au demi grand axe du sphéroïde, les plans des méridiens seraient les mêmes pour les deux surfaces; ainsi les longitudes / comptées a partir d'un même premier méridien sont indépendantes de l'aplatissement. II. n'en est pas de même des latitudes /. Sur la sphère la latitude est l'angle du rayon au point que l'on considère avec l'équatcur; sur le sphéroïde c'est l'angle de la normale au point considérée avec le grand axe, et l'angle V de l'équateur avec le rayon qui joint le même point de la surface au centre de l'ellipsoïde prend le nom de latitude gèoeentrique.

Ces deux latitudes l et ï sont liées entre elles par la relation a' tang/' = 6* tang/,

ou

tang /' = ( 1 — oc)' tang / = (1 — e*) tang /.

La différence NMG = I — V = i peut s'exprimer par la formule

tangi = asin2/ — «* sin/ cos3/ — a'sin'/ sin 4/

que l'on remplace ordinairement par

a sin 2/

sinT

La normale MN = N au point dont la latitude est i est exprimée par

N = r = a{\ + ; e' sin' 1),

(|— e'sin'-'O*

en négligeant comme précédemment les termes en e\ e*

Le rayon de courbure p du méridien est exprimé par

9 = '°~" r) , = N' * — = «(1 - e') (1 + { e- lin" /).

(I — c « sin*/J»

Le rayon CM = R est exprimé par

r . 4 /t— e*i2 — e'jHn*/ /i + (»— e'jtangV k /

cos/ cos/'cos(/— /')'

Le rayon r du parallèle de latitude l qui, dans l'hypothèse de la terre sphérique, est exprimé par

acos/,

a pour expression, sur le sphéroïde,

a cos / . r = r = N cos /.

[i -e'sin 1 /} 1

Appelons s la longueur d'un arc de méridien se terminant à la latitude l; on aura

ds = — 1 = ? r!l=adl[i -e« + î e« sin»/),

équation qui donne approximativement la distance itinéraire entre deux hVux voisins situés sur le même méridien et dont la diflérence des latitudes est dl: on devra prendre pour l la latitude du milieu de celte petite distance.

Si l'on veut traduire dos arcs terrestres en secondes de degrés, et réciproquement, des nombres de secondes en distances linéaires, on se servira de la formule

* = aï[\ + \e* sinV) = N5,

dans laquelle A désigne la distance de deux lieux très-voisins, 8 l'arc correspondant décrit du point de rencontre des normales avec un rayon égal à l'unité (lig. 2).

En appelant o" le nombre de secondes du petit arc 3, on aura

o = 8"sinl",

d'où

asml* «sini" v

Un arc s de méridien se terminant d'un côté à l'équateur et de l'autre au parallèle de latitude / est exprimé par la formule

s = a\- 1») [M — J B sin 2/ + \ C sin M ),

dans laquelle

f A =!-f *e' + ti* l >

CIIAP. I. — CONSIDÉRATIONS GÉNÉRALES. 9

La différence s — .s' = S de deux arcs de méridiens, c'est-à-dire l'arc S de méridien dont les latitudes des extrémités sont l et est exprimée par la formule

S = û(l-e') [A(/ — — B sin {/-/') cos (/+/') + \ C sin2(/-/') cos2(/+/')].

Dans ces formules, les arcs 5 et S sont exprimés par la même unité que a, soit en métrés, soit en degrés de l'équateur si l'on prend pour a la valeur

Pour la commodité des calculs on devra diviser le premier terme A(/ — t) du développement de s, par le nombre

180° , , i — r <x — et remplacer / — / par .

La valeur du complément du logarithme de \>. est

c' log;a = 2 r 2 4 187737.

De la sorte / — ï désignera le nombre de degrés de la différence des latitudes extrêmes.

Faisons / = l + 1°; la longueur D„ de l'arc de 1° du méridien à la latitude l sera

J80°(1— c* sin 1 //

ou

D m = a ( 1 — «?*) [A arc I "— B sin I " cos (2 / + i ') + J C sin 2" cos 2(2/ + 1 ") ].

L'arc de 1° de longitude, c'est-à-dire l'arc d'un degré du parallèle dont la latitude est l, sera

a* cos/ r Ncos/ d p= r = 7TJ^ N cos/= ,

I80-(1— c'sin»/)»

expression qui se réduit évidemment à

a- cos / 4 480 9

si l'on suppose la terre sphérique.

C'est d'après les deux équations D m et D p qu'a été construite la

table I, en prenant pour a et e* les valeurs qui conviennent à l'aplatis-

■emem . = ^

Si, dans l'équation qui donne 5, nous faisons l = 90° = ^, nous

obtenons le quart Q du méridien elliptique, c'est-à-dire la distance du pôle à l'équateur

ou, plus simplement, en négligeant e\

équations dans lesquelles les longueurs q et a sont exprimées par la même unité.

Enfin la surface 7. d'une zone du sphéroïde comprise entre l'équateur et le parallèle de latitude / est exprimée par

Z = SraTil - e 9 ) (sin / + ^ sin 3 / + ?Ç sin 5 / +

équation qui se réduit à

Z = Z~a* sin/,

lorsqu'on suppose la terre sphérique.

Si, par la verticale d'un lieu, on mène deux plans perpendiculaires entre eux et dont l'un passe par les pôles de la sphère céleste, ils intercepteront sur cette surface deux grands cercles. Les pieds des normales menées des différents points de leurs circonférences sur la terre formeront le wïriUcn et la ; perpendiculaire au méridien en ce lieu, la première de ces courbes est plane parce que la surface terrestre est considérée comme un ellipsoïde :1e révolution. Elle se confond à son origine avec la méridi.'iinu du lieu qui n'est autre chose que l'intersection du plan du méridien avec l'horizon. La seconde est à double courbure; néanmoins on peut la considérer dans une certaine étendue comme faisant partie de la section de la surface terrestre par le plan mené perpendiculairement au méridien suivant la verticale du lieu. On démontre que, dans ceUe hypothèse, la méridienne est la section normale de plus grande courbure, et que la perpendiculaire est, au contraire, celle déplus petite courbure. Le rayon de courbure de la méridienne est