MÉTHODE DE PEOBT PODE TENIR COMPTE DE L'APLATISSEMENT

4. Quelque simple que soit la manière de tenir compte de la forme elliptique de la terre, il se présente bien des cas où la simplicité de la construction des cartes particulières de peu d'étendue et quelquefois même une propriété importante de la projection, tient essentiellement à l'hypothè e de la terre sphérique et où il serait cependant utile d'avoir égard à sa véritable figure, (l'est dans ce but que Prony a cherché à déterminer « la position du centre et la longueur du rayon « de la sphère dont la surface s'approche le plus de coïncider avec h celle du sphéroïde terrestre dans le périmètre du pays dont on doit r. former la carte (1). »

Il est d'abord évident que le rayon B de cette sphère est situé sur la normale «à la surface de la terre menée par le centre de figure de pays, et que le plan du méridien elliptique passant par ce centre détermine, par son intersection avec la surface de la sphère, un méridien correspondant.

Supposons d'abord le périmètre du pays à peu près circulaire; le centre de la sphère cherchée su trouvera alors sur la normale à la surface du sphéroïde, p -^mt par le centre du périmètre pris sur la même surface, et il ne s'agît plus que de trouver la longueur H du rayon. Or il est évident mie cette longueur sera celle qui donnera les moindres erreurs sur les arcs de îmYmenuc et il perpendiculaire qui se croisent au point, ctm'ra! II .-V-nf la lal'îm'" e-i a et dont les rayons de courbure sont respectivement o et car c'est sur ces arcs mêmes que les plus grandes anomalies ont lieu avec des signes différents sur l'un et sur l'autre. Soient donc

- = ! -f- e, et P

11) Connaissance cVv temps \tOUY lt>08, p. 37 1.

les erreurs sur la méridienne et la perpendiculaire seront dues respectivement à e et à e', et leur somme numérique sera

Alors, cherchant la valeur de R qui rend cette somme un minimum, on obtiendra

l{=^=a K / ! r== „[i ie'+eV.n'X-e'(: +...)],

V (i—^sin'Xj* (|— ehwHf

c'est-à-dire que le rayon de la sphère qui jouit de la propriété demandée est moyenne géométrique entre ceux de plus grande et de plus petite courbure. Ces deux rayons sont si peu différents que la

moyenne arithmétique > —^- t - est à très-peu près égale à la moyenne

géométrique et pourra lui être substituée.

Prenons maintenant sur la surface du sphéroïde un périmètre quelconque; la détermination du centre de figure n'ayant pas besoin d'être faite avec une extrême rigueur, on se servira pour cette opération des cartes géographiques ordinaires, et l'on tracera un polygone qui coïncide autant que possible avec le périmètre donné; le centre de gravité de la surface de ce polygone, déterminé par les méthodes connues, sera le centre cherché (1).

(1) Pour trouver le centre de gravite d'un polygone tel que AUCDKFH {'.'g. 3), on trace deux axes rectangulaire* a volonté (lotit l'un peut passer par l'un des cotes mêmes du polygone, par le plus grand, par ev uip'". et l'un di ; e>tnp'>se la siirfac • en recta! g'e< et en triangles rcctanglrs par des droites menées par les sommcls parallèle nent aux axes, comme l'indique la îigtire. Le rentre de gia\ité de chaque triangle es! situe s,:r In droite qui joint le sommet au milieu de la hase et au tiers de cette dr oite à partir de la base; le centre «!e gravité Je chaque rectangle est a l'intersection de ses deux diagonales. Supposons l'enc tous ces centres de gravité détermines; soient x, x' x"... leurs distances à |'a\e a, a\ n"... les aires des triangles ou rectangles correspondants; la distance X du centre de gravité cherche au inertie axe oy sera donnée par la formule

nr + n'x' + fi" x"+....

En appelant de même y, y', y"... les distances des divers centres de gravité à l'axe ox, la distance du centre cherché sera

Le centre de gravité du polygone pourra donc se construire facilement à l'aide de ses deux coordonnées X et Y.

Si ces constructions et ces mesures se font sur un canevas préalable ayant la propriété de peu altérer les distances, elle, seront beaucoup abrégées.

Soient p et p' les rayons de plus grande et de plus petite courbure de la surface terrestre, a l'aplatissement, •{< l'angle qu'une section normale quelconque ayant R' pour rayon forme avec la section de plus petite courbure qu'est celle perpendiculaire au méridien; soit enfin \ la latitude de centre de figure île la carte. La géodésie donne les formules

P = — L r = « l-r>Wcos2X) ,

(I — e* sin»/>» J

p' = r = «f * + s U - cos2X)l,

(1-VflB*/) 1 J

K' = —— ^— - = û[l-a(cos2X-cos ï Xcos 2+)],

P + P — IP — PJ cos L 1 T/J "

ou bien, faisant pour abréger

cos 2X — cos'X cos 2^ = m,

on aura

IV =. a[ I — ara).

Cela posé, désignons par A, , A t , A,... les longueurs des arcs produits à la surface du sphéroïde par des sections de plans normaux faites au centre de figure, longueurs comprises entre ce centre et les angles du polygone qui approche le plus du périmètre donné et qu'il suffira de mesurer sur la carte préliminaire qui nous a déjà servi pour trouver le centre de ligure; désignons encore par r,, r,, r,... les rayons de courbure de ces sections, par R' l'un quelconque de ces rayons, enfin par R le rayon de la sphère dont la surface s'approche Je plus de coïncider avec celle du sphéroïde terrestre.

On aura eu général, pour l'erreur e commise sur la valeur angulaire de l'arc A,

A A AfR' — R)

8 ~~K~~ÏV~~ RR' '

ou, sans erreur sensible,

puisque cette dernière expression ne diffère de la précédente que par des termes de l'ordre (R'— R)* et des ordres supérieurs, et que la différence R' — R doit toujours être plus petite que l'excès du

14 l Te PARTIE. — THÉORIE DES PROJECTIONS.

rayon de l'équateur sur celui du pôle. Ainsi les erreurs angulaires relatives aux arcs A t , A,, A s ... seront respectivement

, A t V,-Hi A,(r,-R A 3 (r s -R)

Appliquons la méthode des moindres carrés qui consiste à rendre minimum la somme des cariés des erreurs; on aura

d j~ A*,(r, - H r + \\[r t - R)' + A',(r, - Rj' + j Q

d'où l'on tire après la diflérentiation

mais, d'après ce qui précède, les rayons de courbure des sections normales sont

r, =a{i -nmj r, = «{!-««,)

expressions dans lesquelles

m, = cos 2X — cos'X cos 2^,

m t = cos 2X — cos s X cos 2<î>, w? H = cos 2X — cos'X ces

et où <!>.,,<]>,, '!>,.-• sont les angles que les sections normales font avec la perpendiculaire au méridien central; par conséquent, l'équation (1) prendra la forme suivante :

H / A>, + Av»,H-A> n -f \

a as+as+a',* y-

Soient encore, pour abréger,

on aura enfin

5 = < -. ( '"■ + "''"'• +■"•"''+ ). (ii)

CBAP. 1. — COUSIDÉBATIO** GÉNÉRALES. 15

L'expression du degré de la sphère dont R est le rayon se déduit de celle-ci:

dans laquelle R devra être remplacé par sa valeur précédente, et n par 3,1416; ainsi l'on a