CHAP. V, — PROJECTION DE MERCATOR

triangle BCp, ce qui donnerait d'abord les coordonnées Bp, Cp du point C par rapport au point B, et comme celles du point B sont connues, une addition ou une soustraction ferait connaître les coordonnées de C par rapport à A :

n.K = rnA — lip; nC = C/> — Bm.

On calcule habituellement des deux manières par vérification. Les coordonnées d'un quatrième point D seront déterminées de la même manière par la résolution du triangle CBD dont la base BG est maintenant connue ; les azimuts des côtés DB et DG s'obtiendront encore en combinant par addition et soustraction l'azimut de la base avec les angles adjacents du triangle. On aura ainsi tous les éléments nécessaires pour déterminer les coordonnées par rapport à chacun des points B et G, et par conséquent par rapport à l'origine A, avec vérification du calcul.

Ce travail préliminaire terminé» il est possible de dresser les plans de construction.

Pour cela on partagera une feuille de papier en carreaux par deux systèmes de droites parallèles et équidistantes se coupant perpendiculairement entre eux, de manière à figurer des parallèles à la méridienne et à la perpendiculaire. On prendra l'intersection de deux de ces droites pour origine des coordonnées, et l'on conviendra de la distance qui représente sur le terrain le côté des carrés tracés 3ur le papier. Il sera alors facile de placer graphiquement dans chaque carré les points qui ont été calculés ; les sommets des triangles ainsi obtenus, le travail topographique se construira facilement.

Il ne restera plus, pour achever la carte plate de la localité dont on a levé le plan, qu'à effacer les carreaux tracés sur le papier en ne conservant que les perpendiculaires qui passent par l'origine : l'une représentera le méridien et l'autre le parallèle de ce point.

Comme en réalité, dans les calculs qui précèdent, on remplace par des triangles rectilignes rectangles les triangles sphériques rectangles de la surface du globe, on commet une erreur négligeable aux environs de l'origine des coordonnées, mais qui augmente à mesure que l'on s'en éloigne ; aussi, pour ne pas laisser les erreurs s'accumuler, doit-on changer l'origine des coordonnées dès que la distance entre les points que l'on considère et le point de départ dépasse 70,000 à 80,000 mètres. On prend pour nouvelle origine l'un des points de la grande triangulation, et l'on détermine sa latitude

294 2« PARTIE. — COlfSTRUCTIOIf ET USAGE DES PROJECTIONS.

et sa longitude, non plus à l'aide de ses coordonnées, mais en calculant successivement les positions de tous les points de la triangulation principale jusqu'à ce que l'enchaînement des triangles conduise au point que l'on a choisi.

Soit G la nouvelle origine : ce point est relié au point A de la manière la plus simple par les points B et D de la grande triangulation. On arrivera à connaître sa position géographique en calculant préalablement d'abord celle du point B, puis celle du point D. La latitude et la longitude du point B se déduisent de la latitude l 9 et de la longitude t 0 du point A, de la distance d des deux points A et B et de l'azimut z de AB pris au point A, toutes quantités connues par les formules

/ = /,(* + ^C08»/ t Kc08* — (l + e»cos'/ e ) («"sin i)« tang*,^,

cosl

p' sin 4

p' étant le rayon de courbure de la perpendiculaire au point A.

La position du point B étant connue, pour passer à celle du point D il ne reste plus qu'un élément à déterminer, c'est l'azimut du coté BA pris au point B. Si cet azimut était connu, comme la station au point B a lait connaître l'angle ABD, on en déduirait l'azimut de BD. Or l'azimut *' de BA est donné par la formule

* = 18<r + *-î^smi(^^

Le terme (t — 1 0 ) sin J- (/ -f l 0 ) prend le nom de convergence des méridiens des deux points A et B.

La position du point D se calculera ensuite avec la même facilité, en remplaçant dans les formules précédentes l 0 et f 0 par I et I, qui expriment les coordonnées géographiques de B qui viennent d'être cal- Culées, d par la distance BD, a' par p',, rayon de courbure en B, etc. Enfin on arrivera de même à déterminer la position du point G.

La position de la nouvelle origine étant déterminée en longitude et en latitude, et le gisement vrai d'un des côtés de la triangulation qui passe par cette origine étant connu, on pourra calculer, par rapport à ce nouveau point, les distances à la méridienne et à la perpen-

CHAP. V. — PaOJKCTlOMS DK MRRCATOH. 295

diculaire de tous les points qui sont situés dans un rayon de 80,000 mètres et en déduire ensuite les latitudes et longitudes au moyen des coordonnées prises par rapport aux nouveaux axes.

Il y aura donc autant de séries de calculs et autant de projections qu'il y aura d'origines différentes, et les axes dont on se servira dans deux séries seront inclinés entre eux d'un angle égal à la convergence des méridiens des origines correspondantes.

Lorsque l'origine des coordonnées n'est pas dans le plan particulier de la localité qu'on a construit, les parallèles à la méridienne, qui y sont tracées, n'indiquent pas la direction nord et sud de son lieu principal. Pour l'obtenir on calculera la convergence des méridiens en ce point ; nous avons vu que ce petit angle était égal à la différence des longitudes du point considéré et de l'origine multipliée par le sinus de la demi-somme de leurs latitudes ; il devra être porté vers l'est ou vers l'ouest, suivant que le point que l'on considère se trouve à l'ouest ou à l'est de l'origine des axes.

«. Tout ce qui précède se rapporte au tracé d'une carte plate ; nous allons voir maintenant comment il faut réunir les divers plans de construction ainsi obtenus pour former une carte réduite dans le cas où la portion de surface terrestre que l'on considère ne peut plus être considérée comme plane.

Supposons que tous ces plans aient été dressés à une même échelle et que, pour la carte réduite, cette échelle doive être conservée ; cherchons quelle devra être la grandeur n de la minute de longitude ou de l'équateur qui, dans les cartes réduites, est la même sous toutes les latitudes. Si C représente la longueur réelle en mètres des côtés de chaque carré, cette longueur sera représentée à la latitude donnée l par l'expression

Cm | le nombre de minutes de l'équateur que contient 4855,4 X l une minute du méridien à la latitude /,

qui, égalée à la fraction de mètre K, qui représente le côté de chaque carré, donnera une équation d'où l'on pourra tirer, soit la valeur de m quand on connaîtra l'échelle du plan, soit l'échelle du plan à construire quand l'échelle de la carte réduite sera donnée d'avance.

Le nombre de minutes de l'équateur que contient une minute du 'méridien à la latitude l sera donné par la table des latitudes croissantes; si n et n' représentent dans cette table les nombres

de minutes de l'équateur contenues dans les arcs de méridien

P + 10' et P — 10', la valeur de la minute du méridien sera 9Q . On aura donc l'équation

Cm n' — n __

pour déterminer m en fonction de K, ou réciproquement.

Dans les cartes particulières du Pilote français, on a représenté la minute de l'équateur par 0 m ,0271, et, dans les plans de construction, chaque côté des carrés représentait 2,000 mètres. A la latitude ( = 49% on aura donc pour le nombre qui doit exprimer 2,000 mètres à l'échelle de la carte

2000.0",027 30,-il

Lorsqu'on connaîtra la longueur qui devra, sur la carte réduite, représenter une minute de longitude, on tracera la projection, c'est-à-dire les méridiens et les parallèles, suivant les règles de Mercator, et l'on y placera les points principaux de la triangulation au moyen de leurs longitudes et de leurs latitudes; or on ne connaît jusqu'à présent que leurs coordonnées x et y par rapport à la méridienne et à la perpendiculaire d'un point; ces coordonnées serviront à trouver les latitudes et longitudes à l'aide des formules suivantes :