V PROJECTION DITE DE DONNE OU DO DÉPÔT DE LA GUERRE (V

t. Nous avons vu précédemment que cette projection, qui possède la propriété de représenter les surfaces en véritable grandeur, se traçait de la manière suivante.

Sur une droite OA' (fig. 102) on porte à partir d'un point G choisi pour centre de la carte et auquel on assigne d'avance une latitude les longueurs des arcs de méridien calculées d'après la formule (2)

S=a(l— «')[A(/— / 1 )-Bsin(/-/ 1 )cos(/+/ ( )+ACsin2(/--/ 1 )co82(/+/ 1 )].

et réunies dans la table I. Puis d'un centre commun 0 situé à une distance de G égale à la cotangente de la latitude /, calculée sur l'ellipsoïde, c'est-à-dire à

„ . . acotang/, (1— ^sin»/,)'

formule dans laquelle N, représente la grande normale au point G, on décrit des arcs de cercle passant par chacun des points de division de la droite OA' ; ces arcs représentent les parallèles.

On porte ensuite sur chacun d'eux, à partir de la droite OA' qui représentera le méridien du milieu pris pour premier méridien, les longueurs respectives des degrés de chaque parallèle, calculées par la formule

. 2it Trflcos/ a — -— - N cos / =

180(1 — e'sin 1 /)*

et réunies dans la table 1, et l'on fait passer des courbes par les

(1) Voir V partie, chap. III, § 12, et chap. VI, f 14.

(2) Voir \" partie, chap. I, § 3.

points correspondants de chaque parallèle ; ces courbes représentent les méridiens ; elles tournent leur concavité vers le méridien du milieu seul figuré par une droite. La projection n # XVII représente l'hémisphère nord.

Pour éviter les petites erreurs dues à ce que, en portant bout à bout les longueurs des arcs de 1°, on regarderait chacun de ces arcs comme égal à sa corde, il convient de calculer l'amplitude de chaque parallèle correspondant à une longitude totale 2t.

Soit 2 8 l'angle, au centre commun 0 (fig. 103) , sous-tendu par cet arc de parallèle à la latitude 1. Sur l'ellipsoïde, l'arc représenté par A'M est exprimé par

3ëô' Ncos '>

et, sur la carte, l'arc A'M a pour valeur

En égalant ces deux expressions on obtient la valeur de 0

0 = — cos /,

formule dans laquelle on devra remplacer p par

p = OA' = OC — A'C = p 1 ±S = N 1 cotang/ t ±S,

le signe -}- correspondant au cas où la latitude Z est moindre que et le signe — au cas contraire.

Les valeurs de p,, c'est-à-dire des cotangen tes aux diverses latitudes, ont été calculées et réunies dans la table I ainsi que les valeurs de la grande normale; il sera donc très-facile d'obtenir p et par suite Û. On n'aura plus alors qu'à partager chaque arc A'M eu un nombre ( de parties égales pour obtenir les points d'intersection avec les méridiens de degré en degré.

9. Dans la plupart des cartes que l'on a à construire, le centre 0 sort des limites de la feuille et il est impossible de décrire les parallèles d'un mouvement continu; on calcule alors les coordonnées de leurs intersections avecles méridiens en les rapportant à deux axes rectangulaires qui sont le méridien moyen et la tangente au parallèle moyen.