CHAP. IX. — PROJECTION ZÉNITHALE ÉQUIVALENTE
Le méridien central et l'équateur sont divisés de la même manière et le méridien qui limite l'hémisphère est divisé en arcs égaux ; les méridiens coupent à angles droits l'équateur, et les parallèles coupent à angles droits le méridien central et celui qui limite la mappemonde.
La projection n° XX a été construite dans ce système.
3. Arrivons maintenant au cas général où la sphère est supposée projetée sur l'horizon d'un point quelconque 0 dont nous désignerons la latitude par X et dont nous prendrons le méridien, représenté par une droite, pour méridien principal.
Les formules de transformation de coordonnées qui expriment 8 et z en fonction de l et de t sont
sin(/-f<p) . . sinf ,
cos 8 = — sinX, et sm: == ■—■ nos/, cos? smO
dans lesquelles l'angle auxiliaire <p est donné par la relation
tang<p = cos/ cotang X.
Le rayon p de chaque almicantarat, c'est-à-dire la distance du point considéré au centre de la carte, s'exprimera ensuite à l'aide de la formule
On pourrait aussi employer les formules suivantes
/-X /-X tang -X- = cotang - —j- ; tang — = cotang - - ,
cos/ . cosX .
sin 0 = - — sin i — -r- r-, sm 1 î smz sin M
les deux premières formules donnent les arcs —~ et — 0 — dont
la somme est z et la différence M.
Quand on connaîtra z et 0, et par suite % il sera facile de placer le point II en menant par le centre une droite faisant avec le méri-
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dien principal l'angle s, et en portant ensuite de 0 en M la longueur p.
L'emploi de l'un quelconque des deux systèmes de formules donne des résultats très -exacts, mais la méthode est assez laborieuse dès qu'on doit calculer les coordonnées d'un grand nombre de points. Nous avons dit (1) que sur toute projection zénithale les méridiens et les parallèles pouvaient se construire par analogie lorsqu'on possédait une projection stéréographique ayant pour centre le même point de la sphère que la projection zénithale. Cette construction atteint une grande exactitude pour la projection qui nous occupe. Lorsqu'on aura, en effet, déterminé comme nous l'avons dit la grandeur de l'arc de grand cercle qui unit le point considéré au point central, la longueur de la corde de cet arc, que l'on obtiendra immédiatement sans avoir à s'inquiéter du nombre de degrés et minutes correspondant, sera la longueur que l'on devra porter sur le rayon vecteur préalablement tracé.
On pourrait aussi dresser une échelle numérique en remarquant que si l'on pose dans la figure 41 (2)
cK' = atang«}> = p i ,
on aura
corde BR = p e = 2a sin ? = — ^ —
Il est très-facile de dresser une table qui donne un certain nombre de valeurs de p, en fonction de z t et qui sera la clef de la transformation ; et il est utile de remarquer que cette transformation est générale, c'est-à-dire qu'elle s'applique à la projection stéréographique sur un horizon quelconque, de sorte que le tracé peut être exécuté au moyen de cette formule ou de cette table en prenant un point quelconque du globe pour centre du tracé. La seule condition nécessaire est que les deux projections aient pour centre les projections d'un même point de la sphère.
(1) Voir I" pnrtie, chap. IV, S 3.
(2) Voir page 1*3.
