AB »C

sm A/3B = T^.^. sin B/)C;

substituant ces valeurs dans la relation citée, supprimant le facteur sin B/7C, et multipliant ensuite tous les termes par BC./?A, il viendra

AC./?B^AB.pC BC./>A

p^ ~ py /^a '

nouvelle relation qui, satisfaisant aux conditions indiquées art. 18, estprojective de sa nature; elle n'apprend d'ailleurs guère plus que celle d'où nous sommes partis, quand on suppose le point p à l'infini, puisqu'elle se réduit alors à celle-ci AC = AB + BC, qu'on doit considérer comme une simple identité géométrique.

Mais, en observant qu'on a

/)B = /?[3-!- B(3, pc=py -\-Cy, pA=pa-\- Xoc, on en déduira sur-le-champ

AC.^ = AB.^ + BC.^, />(3 py poc

IL n

5o THÉORIE DES CENTRES DE MOYENNES HARMONIQUES.

qui est également projective, mais n'a pas l'inconvénient de devenir identique quand les droites /?A, />B, joC sont parallèles [fig. i6), ou que /> s'éloigne à l'infini.

On a alors, en effet, à cause que les distances infinies /?|S, ^7, /?a peuvent être censées égales entre elles,

AC.B[3=AB.Cy4-BC.Aa,

pour exprimer que les points a, |S, y sont situés en ligne droite, de même que les points A, B, G.

Supposons maintenant que l'on considère, sur les transversales /> A, /îB, /?C, un nombre quelconque de points a, b,c,. . ., a', b' , c\. . ., a", b", c",. . ., rangés trois par trois en ligne droite : on aura donc, pour remplacer la relation générale de l'article 51, dans le cas de \^ fig. i4> en représentant par le signe 2 une somme de termes analogues, et ayant égard à la loi naturelle des signes de position,

ACE [m^\ = AB.2 [m ~\ + BC.2 (m —

ph) \ pcj \ pa

et dans celui de lay?^. 16, où le point/? est à l'infini,

AC.2(m.B6) = AB.I(m.Cc) + BC.2(m.Aa),

relations dont la première exprime que les centres des moyennes harmoniques, et la seconde que les centres des moyennes distances des groupes de points respectifs a, a' , a",. .., b, b\ b",..., c, c', c",, . ., sont situés en ligne droite, et qui, l'une et l'autre, peuvent être considérées, ainsi que celle du n° 51, comme des modifications particulières de la relation (52) qui se rapporte au cas général où les transversales /7A, /?B, /?C sont quelconques et forment un triangle /?^r {fig. i5).

Au surplus, nous aurions pu partir directement de la relation qui appartient à \^fig' 16 et qu'il est facile d'établir à priori, pour en déduire de suite celle qui se rapporte à la fig. i4» en employant à cet effet des principes de projection analogues à ceux qui ont été mis en usage à la fin du n*' 21 ; mais la marche précédente nous a paru plus directe et plus lumineuse.

NOTE I

SUR LES moye:!JS d'exprimer que quatre poIxNts quelconques, appartenant respectivement a

UN MÊME nombre DE DROITES CONVERGEANT EN UN POINT UNIQUE DE LESPACE, SONT SITUÉS SUR UN SEUL ET MÊME PLAN.

Soient a, ^, 7 et ^ [fig. 17) quatre points quelconques situés respectivement sur les côtés pq, qr^ rs et sp du quadrilatère gauche /^^r^y ; on aura, comme on sait, d'après la théorie des transversales, pour exprimer que ces quatre points sont dans un même plan, la relation

ap.pq.'^r.Ss = xq .pr.js.Sp ;

d'où il serait aisé de déduire (S2) celle qui est relative au cas où, le quadrilatère /^«/ry s'évanouissant, les droites pq, qr, rs et ps concourent simplement en un même point p [fig. 18). Mais on peut arriver au même but d'une manière entièrement directe et simple, par des procédés analogues à ceux qui ont été mis en usage (51 ) pour le cas particulier de trois points situés en ligne droite, en considérant non plus l'aire des triangles, mais la solidité des pyramides qui s'y appuient et ont le point/» pour sommet commun.

En effet, pour que les quatre points a, j3, 7, (î, placés sur les transversales pk, /?B, />C,/>D, se trouvent compris dans un même plan, il est nécessaire évidemment et il suffit qu'on ait la relation

S0l./?a7^ + sol./^ay^ = sol./'a^o + sol./?S7^;

or on a, d'après les principes connus et en représentant par l'expression sin [pè,a.p'j) le sinus de l'angle formé par la droite piî avec le plan a;?7, et par («^7) l'aire du triangle qui a pour sommets les points a, ^, 7,

, . («£7) D^.sin (»<î,ao7) I . , \ • / -> \ •%

S0l.pa7^=: "^ ^' 1^ ^^ ' " = -sm (a^7).sm [pà, a.p-^].p7..p'j.pQ,

ou, ce qui revient au même,

sol.^a7^ = - sin ( A/jC).sin [pD, ApC).pcc.py.p§.

On aurait pareillement, et selon les mêmes conventions ,

sol. pocpy = ^sin (A/?C).sin(/pB, ApC).poi..pp.py , so\.py.po = - sin (B/?D).sin {pA,Bpi>).pot..p''i.pS, sol.p^yS = ^sin (B/?D).sin {pC,BpD).pp.py.pS;

5i THÉORIE DES CENTRES DE MOYENNES HARMONIQUES.

donc, substituant et divisant par le produit- .pci.pp.py.pd, il viendra la relation

sin (A;>C).sin {pD,ApC) sin (A/'C).sin (/?B,A/^C)

sin(B/?D).sin {pA,BpTt) sin (B;?D).sin (/?C, B/?D) PU P<^

qui est entièrement analogue à celle de l'article 5i, et d'où l'on déduirait des conséquences semblables pour le cas d'un nombre quelconque de groupes de quatre points rangés dans un plan, (el que celui des points a, p, y et §.

Considérons maintenant un plan arbitraire ABCD, auquel correspondent les quatre points A, B, C, D sur les droites/» A, /?B, ^C, />D, nous aurons, comme ci-dessus, en nommant P la perpendiculaire abaissée de p sur le plan ABCD,

sol./jACD = i P.(ACD) = \ sin(A;^C).sin(pD, A/;C)./^A./?C.yjD,