II

retombera sur le cas particulier démontré directement par Mac-Laurin, dans son Traité des lignes géométriques, à l'aide du principe de l'article 7 qui lui est dû. Mais on peut généraliser davantage encore ces diverses propositions.

44-. Si nous remplaçons en effet, dans le théorème ci-dessus, les différentes droites données par des plans situés d'une manière quelconque dans l'espace, la suite des points q ne sera plus simplement sur une droite, mais sur un dernier plan qu'on pourra nommer le plan des moyennes harmoniques relativement au pôle des transversales.

On pourrait établir ce théorème directement et d'une manière analogue a celle que nous venons de mettre en usage pour les systèmes de lignes droites, en partant du cas particulier, et très-facile à démontrer, où l'on n'a que deux plans à considérer; mais on peut le déduire aussi très-simplement du théorème qui précède.

Par le point qui sert de pôle aux transversales et d'origine aux segments harmoniques, menons, en effet, un plan arbitraire ; il coupera les plans proposés suivant un système de droites ayant, d'après le théorème cité, une droite unique pour axe des moyennes harmoniques par rapport à ce pôle ; or tous les axes semblables se rencontreront évidemment deux à deux ; donc ils seront tous compris dans un seul plan, qui sera le plan même des moyennes harmoniques des proposés, suivant la définition admise ci-dessus. Ainsi :

Un système de plans quelconques a toujours, par rapport à un point fixe pris pour origine et pour pôle des transversales i un plan unique de moyennes harmoniques, c'est-à-dire renfermant tous les centres de moyennes harmoniques des points d intersection qui appartiennent aux diverses transversales.

45. Remplaçons encore, dans le théorème de l'article 42, le pôle par une droite servant d'axe des origines harmoniques, les transversales droites par des plans transversaux passant par cet axe ; enfin supposons les droites proposées situées d'une manière quelconque dans l'espace : je dis que la suite des centres (29) de moyennes harmoniques des points d'intersection de ces droites et des différents plans transversaux, par rapport à l'axe commun des origines, sera une dernière ligne droite, qu'on pourra nommer Vaxe de moyennes harmoniques des proposées par rapport au premier axe.

Projetons, en effet, sur un plan quelconque, le système des droites proposées et l'axe des origines harmoniques, à partir d'un point quelconque de cet axe pris pour centre de projection, c'est-à-dire de façon que cet axe y devienne un point; tous les plans transversaux seront représentés par des

droites en projection, et les centres de moyennes harmoniques qui appartiennent aux points d'intersection de ces plans et des droites proposées resteront encore (29) de pareils centres pour les points de la projection, par rapport au point ou pôle qui représente l'axe des origines harmoniques; mais ces derniers centres sont (42) sur une droite, donc les autres restent dans le plan projetant unique de cette droite ; et, comme pareille chose doit avoir lieu pour tout autre centre et tout autre plan de projection, on voit que les différents centres de moyennes harmoniques que l'on considère dans l'espace doivent se trouver à l'intersection commune, et par conséquent unique, de tous les plans projetants analogues à celui qu'on vient d'examiner en particulier. Donc enfin nous pouvons énoncer ce théorème :

Un système de droites quelconques étant donné dans l'espace, si ïon coupe ce système par une suite de plans transversaux passant par une même droite ou charnière, puis qu'on détermine, pour chaque plan, le centre (art. 32 et suivants) de moyennes harmoniques des points d'intersection qui lui appartiennent, en prenant la charnière pour axjce des origines harmoniques, la, suite de tous ces centres sera une même droite, axe des moyennes harmoniques des proposées .

46. Supposons que, dans les figures relatives aux théorèmes qui précèdent, le point et la droite qui servent de pôle ou de charnière aux droites et aux plans transversaux passe à l'infini, ces systèmes de droites et de plans transversaux deviendront respectivement parallèles, et les centres de moyennes harmoniques des points qui s'y trouvent se changeront (26 et 29) en des centres de moyennes distances; on arrivera donc, pour ces derniers centres, à des théorèmes qui ne seront que des cas très-particuliers de ceux dont il s'agit, et qu'il sera d'ailleurs très-facile d'établir directement d'après les propriétés généralement connues de cette sorte de centres. Or, en partant de là, on pourra réciproquement s'élever aux théorèmes généraux par des principes de projection analogues à ceux qui ont été mis en usage dans le Chapitre précédent (31); car on remarquera aisément que la figure relative à l'un de ces systèmes peut toujours être regardée comme la perspective plane ou en relief de l'autre.

47. La doctrine du centre des moyennes harmoniques donne lieu à plusieurs autres propriétés générales des systèmes de points, de droites et de plans, qui ne le cèdent en rien, pour l'élégance, à celles qui précèdent. Parmi ces propriétés, on peut ranger les principes mêmes qui ont été énoncés art. 29, 30 et 31, lesquels sont purement relatifs à des systèmes de points quelconques rangés sur un plan ou dans l'espace; nous nous contenterons

d'en indiquer rapidement quelques autres, qu'il n'eût pas été convenable

d'examiner aux endroits cités.

Soit un système de plans quelconques passant par une même droite; concevons un dernier plan par cette droite, dont les différents points soient pris pour origine des segments harmoniques, et qui sera par conséquent le plan des origines harmoniques relativement à tous les autres. Cela posé, traçons à volonté une droite transversale, et déterminons sur elle le centre de moyennes harmoniques de toutes ses intersections avec les derniers plans par rapport au point de section du plan des origines; il est évident, d'après les principes posés art. 42 et 44, que ce centre et tous ses semblables seront compris dans un seul et même plan passant par la droite commune aux proposés, et qu'on pourra nommer le plan des moyennes harmoniques de ceux-ci par rapport au plan des origines. Ce même faisceau de plans convergeant en une même droite sera évidemment tel, que tout plan transversal y déterminera un faisceau de droites concourant en un même point, et ayant (27) un axe des origines et un axe des moyennes harmoniques; enfin il existera entre les sinus elles tangentes trigonométriques des angles formés par ces plans, des relations analogues à celles que nous avons vu (18 et 19) appartenir aux faisceaux harmoniques de simples droites projetantes situées dans un plan unique, mais qui seront plus générales étant relatives à des coefficients numériques quelconques.

48. Supposons maintenant que tous les plans proposés concourent simplement en un même point; en prenant une droite arbitraire, passant par ce point, pour axe des origines, le lieu des centres harmoniques relatifs aux diverses transversales qui s^ appuient sur cet axe sera évidemment encore un plan unique passant par le point commun aux proposés; car il renfermera à la fois et tous les axes de moyennes harmoniques (27) des faisceaux de droites convergentes déterminées dans les plans proposés par tout plan transversal passant par l'axe des origines, et tous les axes de moyennes harmoniques (42) des systèmes de droites résultant de l'intersection de ces mêmes plans par un plan transversal arbitraire, relativement au point où ce plan rencontre l'axe des origines; ce qui ne saurait avoir lieu évidemment sans qu'il soit un seul et même plan.

49. Ces lemmes étant établis, concevons un système de points quelconques dans l'espace, et un plan pris pour plan des origines harmoniques ; par une droite quelconque de ce plan, menons de nouveaux plans vers les points donnés, et déterminons pour chaque système pareil (47) le plan des moyennes har-

moniques par rapport au plan commun des origines : ce plan et tous ses semblables passeront par un seul et inême point (31), centre de moyennes harmoniques des proposés.

Ce théorème offre, comme on voit, une autre manière d'énoncer le principe de Tarticle 31 déjà cité:

Concevons encore un système de droites quelconques situées dans l'espace, et prenons une dernière droite arbitraire pour axe des origines harmoniques ; cela posé, d'un point quelconque de cet axe menons aux diverses droites des plans, et prenons (48), par rapport à l'axe dont il s'agit, le plan des moyennes harmoniques de ce système de plans : ce plan et tous ses semblables passeront (45) par une seule et même droite qui sera l'axe des moyennes harmoniques des proposées.

50. Les divers exemples que nous venons de donner doivent suffire pour montrer la nature des propositions qu'il est possible de déduire des divers principes de la doctrine du centre des moyennes harmoniques, pour les systèmes de points, de droites et de plans quelconques. Il y en aurait d'autres bien plus difficiles à établir, et qui sont en quelque sorte les réciproques des précédentes : ainsi, par exemple, ayant vu (42) que le lieu des centres de moyeunes harmoniques des différentes transversales passant par un point ou pôle, et rencontrant un système de droites données dans un plan, est une seule et dernière droite, axe des moyennes harmoniques des proposées, on pourrait se demander réciproquement quelle est l'enveloppe de tous les axes semblables de moyennes harmoniques des différents points d'une même droite prise dans le plan des proposées, etc.; mais cette question et toutes ses analogues exigent d'autres principes pour être résolues, et elles se rattachent intimement à la théorie des courbes et surfaces géométriques, que nous nous proposons d'établir dans d'autres Mémoires, auxquels celui-ci ne sert pour ainsi dire que d'introduction.

11 semble d'ailleurs qu'on ne trouvera pas superflus et dénués d'intérêt par eux-mêmes les développements dans lesquels nous venons d'entrer, et dont la plupart nous seront très-utiles pour la suite de ces recherches. Par ces mêmes considérations, nous croyons pouvoir, avant de terminer, ajouter à tout ce qui précède quelques réflexions tendant à modifier et à rendre plus concis l'énoncé de plusieurs des théorèmes qu'on vient de faire connaître, en même temps qu'elles serviront à établir l'espèce de dépendance qui existe entre la théorie des centres de moyennes harmoniques et les principes déjà connus de la théorie des transversales.

51. Considérons le système de trois droites quelconques /)A, pB, pC {Jig. i4), situées dans un plan et convergeant en un même point/); soient a, jS et 7 trois points quelconques de leurs directions respectives; on aura, pour exprimer que ces trois points sont en ligne droite,

triangle apy = triangle up^-h triangle (3/? y,

et, par conséquent,

pcc.py.s'mocpy = px.p^. sin ocp^ -h p^.py.sin^py;

d'où, en divisant tout parle produit /?a./)p./?y,

sin AoC — TT = sinApB hsinBoC — •

^ pp py pet

Supposons que le point a soit, par rapport à p, le centre de moyennes harmoniques des points a, a', a",..., situés sur la droite pk, et cela pour les coefficients numériques quelconques m, m', m",...; pareillement que ]S soit le centre de moyennes harmoniques des points è, b' , b'\..., de /)B par rapport à/? et pour les mêmes coefficients; qu'enfin y soit le centre pareil des points c, c', c",...', le nombre des points situés sur chaque droite étant d'ailleurs le même, on aura (26)

\pa

poc

m fa

m pa!

m pa"

m' pb'

m" pb"

pc"

py pc pc pc \pcJ

dans lesquelles 1 est le signe abrégé de somme.

Si nous mettons ces valeurs des réciproques àe pa^ p^, py dans la relation trouvée ci-dessus, elle deviendra

sin ApC.2 (~\=sinApB.l(-] -hsinBpC.l (^Y

nouvelle relation qui permet d'exprimer ainsi très-simplement le théorème du n°43:

Ayant sur un plan un système de droites quelconques abc, a'b'c', a!'b"c" ,..., si, d'un point p pris à volonté sur ce plan, on mène trois transversales arbitraires pA, pB, pC rencontrant respectivement les proposées en a, a', a",..., b, b' , b",..., c, c' , c",..., on aura constamment, pour des coefficients numé-

riques m, m', m'\..., appartenant respectivement à ces mêmes droites ^

sinApC.2g)=sinA;,B.2(^;)+smB^C.2(^).

Il est évident, en effet, que cette relation exprime tout autant que le théorème de l'article cité; car on en conclut d'abord que le centre des moyennes harmoniques de a, a! y a",..., celui de b, b\ b",...y enfin celui de c, c', c",..., sont en ligne droite, quelles que soient les transversales/? A, pB, pC menées à travers le système des proposées; laissant donc deux d'entre elles fixes, et faisant varier la troisième autour de/?, on voit que la suite des centres des moyennes harmoniques qui lui appartiennent sera une seule et même droite.

52. La relation que nous venons d'établir ci-dessus pour exprimer que les trois points a, /3, y situés sur les transversales/? A, /?B, /?G convergeant en un même point/? appartiennent à une même droite, et la relation beaucoup plus générale que nous avons déduite du théorème de l'article 43, relativement à un système quelconque de points a, b, c,..., a', b\ c',..., a", b'\ c",..., situés trois par trois en ligne droite, doivent être considérées toutes deux comme des cas particuliers et des conséquences très-simples de celles qui ont lieu pour trois transversales arbitraires /?A,/?B, /?C {Jig. i5) formant par leurs rencontres mutuelles un triangle /?^r, au lieu de converger en un même point.

En effet, on a alors, comme on sait (*), dans les hypothèses ci-dessus,

acp.Ç,r.yq = ocq.^p.yr,

{pa).{rb).{qc) = {qa).{pb).{rc),

dans la dernière desquelles (/?«) représente le produit de tous les segments pa, pa', pa",..., [rb) celui de tous les segments rè, rb\rb\...y et ainsi de suite pour les autres.

Or, si nous mettons la première de ces relations sous cette forme

ocp{^p + pr).yq=z{a.p+pq).i^p.{yq-\-qr), nous en retirerons la suivante, en développant et divisant par/?r, a/?.y^ = a/?.(3;?.^^H-Pp.y^.^ + [3/>.^Mr,

( * ) Carnot, Essai sur la Théorie des transversales^ Traité des Propriétés projectives, etc.

qui devient, en remplaçant les rapports des côtés du triangle /?^r par les sinus des angles opposés, et en supposant ensuite que/?, q, r se confondent en un seul point/? [fig. i4)>

px.p^. sinApC = poc.pp.s'mkpB -h p^.py. s'inBpC,

laquelle est précisément la relation obtenue directement à l'article 51 , pour le cas où les transversales/?A,/?B, qC concourent en un même point.

53. D'après cela, il est donc naturel de considérer les relations générales qui concernent un nombre quelconque de points rangés sur les trois transversales en question, comme étant pareillement des modifications l'une de l'autre; et c'est, en effet, ce qu'apprend le calcul appliqué à ce cas général d'une manière analogue à celle qui vient d'être mise en usage pour le cas particulier; mais nous établirons cette conséquence dans un prochain Mémoire, indépendamment de tout calcul, c'est-à-dire par des considérations purement géométriques, et cela même quels que soient les points que l'on considère sur les côtés du triangle transversal pqr, la seule condition étant qu'ils satisfassent à la relation générale déjà posée ci-dessus

{pa).{rb).{qc) = {qa).ipb).{rc).

Quant au cas présent, où l'on suppose les points a, b, c,..., a', b' , c',..., a", b\ c",..., situés trois par trois en ligne droite, la même dépendance peut être établie très-simplement sans recourir à des transformations algébriques prolixes.

En effet, d'après ce qui précède, on aura pour ces différents groupes de points, lorsque (Jig. il\) le triangle /?^r s'évanouit,

sinAoC -T- = sin A»B |-sinB»G — ,

^ pb '^ pc ^ pa

sin ApC— r7 = sin ApB — ; -+- sin B»C — >» '^ pb ^ pc ^ pa

sin A/? C -^, = sin A/? B -^ -h sin B/? C -^ ;

multipliant la première de ces équations par m, la deuxième par m', la troisième par m",.. ., etc., m, m', m",. . ., étant des nombres quelconques relatifs aux droites abc, a'b'c', «"/>"c",. .., ajoutant enfin toutes les nouvelles équations, on retombera directement sur la relation générale posée art. 51. Ainsi, le principe de l'article 43 est une conséquence très-simple

de la théorie des transversales rectilignes, et il serait facile de prouver la même chose des autres principes posés en cet endroit; mais, au lieu de nous arrêter à ces détails, nous nous contenterons d'ajouter quelques nouvelles remarques à toutes celles qui précèdent, renvoyant a la Note ci-après pour montrer comment on peut les étendre facilement au cas de l'espace.

54. La relation à laquelle nous sommes parvenus pour exprimer que les trois points a, ]S, y [fig- i4) sont situés en ligne droite sur les transversales/?A, /)B,/)C, peut être mise sous une autre forme, qui offre l'avantage particulier d'être indépendante des lignes trigonométriques, et de ne point devenir insignifiante quand le point/? s'éloigne à l'infini, comme cela arrive pour la première. Coupons en effet le faisceau des droites/) A, /?B, />C par la nouvelle droite ABC, nous aurons

d'où l'on tire

triangle A/ïC AC /ïA.pC.sin A/?C

triangle B/ïC ~ BC ""pB.pC.sin BpC*'

. . „ AC »B . „ ^ sm A/?G = Bp* 4 * smB/?C.

On aurait de même, par la comparaison des triangles A/?B et B/?C,