ACD)^+(ACB)^ = (BAD)^+(BCD

' pp ' pS ^ ' py ^ 'pot.

nouvelle relation qui est projective suivant les principes posés art. 4o du tome 1 du Traité des Propriétés projectivcs, et d'où l'on déduirait plusieurs autres relations analogues, en remplaçant les rapports d'aires triangulaires par ceux des lignes de la figure ABCD. Contentons-nous de remarquer que puisqu'on a pour la position actuelle des lignes de \a^g. i8

;?A = pa-f-Aa, pB=^pP + Bp, pC=py-[-Cy, pï) = pS + DS, on peut, à son tour, la transformer en celle-ci :

(ACD).^^ + (ACB).^=(BAD).^-MBCD).Af, ' pp ^ ' pS PI peu.

qui jouit de la même propriété, et a, de plus, l'avantage de demeurer applicable au cas où le point />» est censé à l'infini; elle devient effectivement alors

(ACD).BS + (ACB).D^= (BADj.Cv -+- (BCD).Aa,

comme il serait aisé de le vérifier directement pour ce cas particulier.

Ces diverses relations sont entièrement analogues à celles qui ont été exposées dans le texte pour le cas du plan, et donnent lieu à des conséquences et à des rapprochements qu'il est facile de deviner, et sur lesquels il est peu nécessaire d'insister.

NOTE II

SUR LES RELATIONS LINEAIRES PROJECTIVES ENTRE LES DISTANCES DE POINTS RANGES SUR UNE MÊME DROITE, ET LES FORMULES TRIGONOMÉTRIQUES QUI EN DÉRIVENT.

Avant de terminer, je crois devoir présenter, à l'occasion des recherches qui sont le sujet de celte Section, une observation générale et très-importante, sur laquelle je n'ai pas suffisamment insisté dans le tome P"" du Traité des Propriétés projectiles des figures ; c'est que:

// n'est ^ pour ainsi dire^ aucune relation métrique, entre les distances d'une figure^ qui ne puisse être préparée, généralisée ou transformée cVune manière convenable pour satisfaire aux conditions particulières de projectibilité indiquées aux articles 9, iO et 45 de ce Traité^ et rappelées au «"18 du présent volume.

On en a vu un grand nombre d'exemples dans l'un et dans l'autre de ces écrits, mais ils n'y ont été amenés, en quelque sorte, qu'accidentellement, et l'on n'a nullement insisté sur les principes et les moyens qui pourraient y conduire directement ou généralement.

Or ces moyens, comme on a dû s'en apercevoir, consistent principalement dans les suivants :

i°Se servir des relations qui expriment \<i juxtaposition ou contiguïté des distances rangées sur une même droite, pour transformer la relation proposée en une autre qui satisfasse aux conditions déjà citées, en introduisant même, si cela est nécessaire, de nouveaux points parmi ceux de la flgure ;

2° Restituer, par la pensée, les points qui, dans le passage de la figure générale à celle qu'on examine, ont pu s'éloigner à l'infini en faisant ainsi disparaître, par suite de leur égalité, certaines distances qui multipliaient ou divisaient les termes de celte dernière relation;

3° Enfin chercher à rétablir ces distances dans la relation, sans la troubler et de façon que. sous sa nouvelle forme, elle satisfasse aux conditions prescrites , et devienne par conséquent applicable aux projections centrales ou perspectives de la figure ainsi modifiée par la restitution des points à l'infini.

Le premier de ces moyens convient particulièrement aux relations et aux figures que, par leur nature générale, on reconnaît être essentiellement projeclives, quoique, dans leur état actuel, elles ne satisfassent pas aux conditions particulières précédemment indiquées; les autres conviennent principalement aux relations et aux figures qui, ayant une forme tout à fait particulière et déterminée, ne sauraient la conserver en perspective ou projection centrale ; les articles 17 et 20 de cette Section nous ont offert des exemples qui se rapportent au premier de ces moyens, et l'article 21 en contient un seul qui se rapporte aux derniers ; mais la théorie du centre des moyennes distances eût pu aisément en fournir un grand nombre de cette sorte. Enfin, il est des relations et des figures qui permettent l'emploi sim.ultané de ces deux moyens ; et, parmi ces relations, celles qui expriment \di juxtaposition des distances rangées sur un même droite sont, sans contredit, les plus simples et les plus remarquables, outre qu'elles sont susceptibles de conduire à des principes de Trigonométrie aussi beaux qu'étendus. Je crois, en conséquence, devoir choisir ces relations particulières pour nouvel exemple propre à éclairer les applications des préceptes qui précèdent, d'autant plus que ces sortes d'identités jouent un rôle nécessaire et fort important parmi toutes celles qui peuvent en général appartenir aux figures. Observons d'ailleurs, une fois pour toutes, que dans le cas dont il s'agit, où tous les points sont sur une même droite, les conditions de projectibilité se réduisent simplement à ce que les différents termes de la relation proposée renferment

les mêmes lettres, ou qu'en considérant ces différentes lettres comme autant de quantités simples, elles puissent disparaître comme facteurs, soit dans chaque terme séparément, soit dans l'ensemble de tous les termes [voyez les n°' 9 et suivants du tome P"" déjà cité).

Cela posé, considérons d'abord trois points quelconques A, B,C [Jîg. 19) situés en ligne droite: on aura, pour la position actuelle de ces points,