Il suit de là, entre autres, que

Le degré de la polaire réciproque d'une courbe donnée est au plus égal au nombre qui exprime combien, d'un point arbitraire, on peut mener de tangentes à cette dernière courbe.

Car si l'on trace à volonté une droite ou transversale au travers de cette polaire réciproque, le nombre de ses intersections avec elle sera marqué par celui des tangentes à la proposée qui passent par le pôle de la transversale.

Mais on prouve aisément, à l'aide de la loi de continuité ou de toute autre manière, que le nombre des tangentes qti'il est possible de mener à une courbe plane du degré m, par un point quelconque de son plan, est en général et au plus m (m — i) ; donc aussi :

Une courbe de degré m a pour réciproque polaire une autre courbe qui est, en général et au plus, du degré m (m — i ) .

D'où il suit, en particulier, que ;

Toute ligne du second ordre a pour réciproque polaire une ligne qui est ellemême de cet ordre.

Sans nous arrêter aux conséquences qu'on peut déduire de là pour les

sections coniques, conséquences qui, pour la plupart, sont indiquées dans le

tome I" de ce Traité, nous ferons, sur ce qui précède, plusieurs remarques

essentielles et que nous ne devons pas passer sous silence.

67. D'abord il paraît évident que, quoique la polaire réciproque d'une courbe de degré m soit en général du degré m[m— \) , on ne peut cependant (65) lui mener, d'un point pris arbitrairement sur son plan, que m tangentes au plus, bien qu'il semble en général que le nombre des tangentes possibles pour une courbe du degré m (m— ») soit m (m— \)[m[m— i) — ij;

mais cela tient à ce que cette courbe est d'une espèce particulière parmi toutes celles du même degré, et qu'une courbe du degré m n'a pas toujours et nécessairement m (m — i) tangentes, réelles ou imaginaires, passant par un point pris à volonté sur son plan.

Eu effet, d'une part, il est visible que si la courbe (m) que l'on considère a un ou plusieurs points multiples, le nombre des tangentes véritables dont il s'agit sera nécessairement diminué, attendu que les droites qui joignent ce point multiple au point donné, quoique ayant deux ou plusieurs points communs avec la courbe et confondus en un seul, n'en sont pas moins, en général, des sécantes de cette courbe, qui, d'ailleurs, ne sauraient être distinguées, sous certains rapports, des véritables tangentes, puisqu'elles remplissent exactement les mêmes conditions.

D'une autre part, en se reportant à nos deux polaires réciproques, dont l'une est du degré m, on s'apercevra sans peine (63) que tout point multiple de l'une a pour polaire une tangente commune à un nombre de branches de sa réciproque marqué par Vordre de multiplicité du point dont il s'agit, et vice versa, qu'une telle tangente a pour pôle un point multiple de Vordre marqué parle nombre despoints de contact de cette tangente ; enfin on voit que ces points de contact sont les pôles des tangentes au point multiple de la réciproque.

Or une courbe plane quelconque du degré m a évidemment, en général, un certain nombre n de tangentes communes à deux de ses branches; donc la réciproque polaire aura pareillement ce même nombre n de points doubles, et par conséquent le nombre m[m — i) [m[m— \) — i], que nous avons trouvé pour exprimer celui des tangentes à cette polaire qui passent par un point donné, devra être diminué de 2«.

En effet, il est aisé de s'assurer, par la loi de continuité, que la droite qui passe par un point double doit être considérée comme la réunion en une seule de deux tangentes de la courbe, c'est-à-dire qu'elle fait doublement partie des M (M — i) tangentes que d'un point quelconque on peut en général mener à une courbe plane géométrique du degré M. Elle diminuerait ce nombre de trois unités, si elle appartenait à un point triple, et en général de/? unités, si elle appartenait à un point multiple de l'ordre/?; mais on voit, d'après ce qui précède, que de tels points singuliers ne peuvent exister que pour des courbes d'une espèce tout à fait particulière, tandis que le contraire a lieu pour les points qui ne sont que doubles.

68. Une conséquence de ce qui précède, c'est que la polaire réciproque

d'une courbe du degré m n'est pas toujours du degré m [m— i), comme on l'a avancé ci-dessus (66); ce degré peut être moindre si la proposée a des points multiples, car le nombre des tangentes véritables qu'on peut mener à (m) par un point quelconque de son plan, sera diminué d'autant d'unités qu'il y a de branches distinctes passant à la fois par tous ces points multiples, et il devra en être de même du nombre m [m— i) qui exprime, en général, le degré de la polaire réciproque de (m) ; le pôle de toute droite qui passe simplement par un point multiple de cette dernière ne faisant pas partie de la réciproque, et appartenant simplement à une tangente commune à plusieurs branches de cette réciproque.

Enfin, d'après la remarque faite plus haut, une telle tangente est la polaire d'un point multiple de la courbe [m), et un point quelconque de sa direction a nécessairement (56) pour polaire une droite quelconque passant par ce point multiple, tandis que les seuls points de contact de cette tangente avec la réciproque de [m) sont les pôles des véritables tangentes du point multiple dont il s'agit; de sorte que, dans la recherche ci-dessus (65, 66) des intersections d'une droite arbitraire et de la réciproque de la courbe [m), on ne doit pas tenir compte des intersections relatives aux tangentes de [m) qui passent simplement par les divers points multiples, à moins qu'on ne veuille considérer les polaires de tels points singuliers comme faisant réellement partie de la réciproque, par ce seul motif que leurs différents points sont les pôles d'une série de droites qui, sous certains rapports, peuvent être censées des tangentes de la courbe primitive (m).

69. Les points d'inflexion^ de rebroussement et les points conjugués donnent lieu k des remarques analogues.

En effet, \e point conjugué d'une courbe pouvant être considéré comme une branche isolée et infiniment petite de cette courbe, ou, plus généralement, comme X intersection réelle de deux branches imaginaires de celte même courbe, toutes les droites qui y passent doivent être considérées comme de véritables tangentes dont les'pôles, par rapport à la section conique auxiliaire, sont situés sur une même droite appartenant tout entière à la polaire réciproque de la courbe proposée. Or, la droite menéed'un point quelconque donné au point conjugué représentant au moins le système de deux tangentes issues de ce point et confondues en une seule, on voit que la polaire d'un point conjugué peut être envisagée comme le système de deux branches de la courbe réciproque, confondues en une seule et même droite. Faisant donc abstraction de cette droite, on voit que le degré de la réciproque sera abaissé au moins

de deux unités : il le serait évidemment de quatre, si le point conjugué était double ou représentait deux branches de courbe devenues infiniment petites, etc.

70. Par un point de rebroussement du premier ou du second genre, il passe également une infinité de tangentes; ainsi, ce que nous venons de dire du point conjugué s'y applique directement : cependant, comme le point de rebroussement a de plus une tangente réellement déterminée, renfermant deux éléments consécutifs et superposés de la courbe, la polaire réciproque de celle-ci aura un point singulier répondant au premier, et que la discussion, par rapport à la section conique auxiliaire, apprend être nu point d'inflexion quand le rebroussement est du premier genre ou que la tangente passe entre les branches^ et un point de rebroussement du second genre quand celui du proposé est de ce genre, ou que la tangente laisse d'un même côté les deux branches qui y passent.

A l'inverse, un point d'inflexion a pour réciproque polaire un point de rebroussement du premier genre ; mais comme, d'après la loi de continuité, les droites qui passent par un tel point ne sauraient plus être prises pour des tangentes de la courbe proposée, la remarque précédente n'a plus lieu, à moins qu'on ne regarde la tangente en ce point comme faisant partie de la courbe, et en constituant une véritable branche.

71. J'ajouterai une dernière remarque à toutes celles qui précèdent, concernant les branches infinies et les asymptotes des courbes qui sont polaires réciproques par rapport à une section conique donnée dans leur plan commun : c'est que les points à l'infini de l'une de ces courbes ont pour polaires les tangentes de la réciproque issues du centre de la section conique auxiliaire, tandis que les asymptotes relatives à ces points sont les polaires des points de contact de ces mêmes tangentes; de telle sorte, par exemple, que, quand l'une des deux courbes a une ou ^\ns\Quv^ branches paraboliques, c'està-dire dont les asymptotes sont entièrement à l'infini, sa réciproque a un même nombre de branches passant par le centre de la section conique auxiliaire, lequel est ainsi un point multiple.

Ce qui précède offre, comme on voit, les moyens de discuter parfaitement le cours et les affections diverses que peut présenter la polaire réciproque d'une courbe quelconque continue, donnée sur le plan d'une section conique, choisie à volonté pour servir d'auxiliaire ou de directrice; bien plus, on est en état de découvrir le degré véritable de cette polaire réciproque dans chaque cas particulier, et de trouver'même, sans recourir à la descrip-

tion effective, la position des divers points singuliers et des asymptotes qui lui appartiennent, ou, plus généralement, la direction de ses branches infinies; sur quoi il est essentiel de remarquer que plusieurs des points à Tintini de ces branches peuvent eux-mêmes être des points singuliers, tout comme cela arrive pour les points à dislance donnée et finie.

Pour se rendre compte de cette particularité, il suffit, en effet, de considérer un point singulier ordinaire, et à distance donnée, d'une courbe quelconque, et de supposer ensuite qu'on mette la figure en projection centrale ou perspective sur un plan parallèle à la projetante de ce point, c'est-à-dire de façon que ce même point passe à l'infini dans la nouvelle figure.

Ainsi il y a des points d'inflexion et de rehroussement, des points multiples et conjugués, etc., à V infini comme à distance donnée, ce qui, je crois, n'a pas encore été remarqué des géomètres, ou du moins n'a pas attiré leur attention autant que le sujet le mérite par lui-même.

72. Nous sommes maintenant en état de passer au cas où la figure contiendrait deux ou un nombre quelconque de courbes situées sur le plan d'une section conique prise pour auxiliaire, et de découvrir ce qui se passe dan» la polaire réciproque de cette figure; car, d'après ce qui a été dit art. 63, il paraîtra évident que tout pom^ d'intersection commun à deux des courbes de l'une des figures a pour polaire, dans l'autre, une tangente commune aux réciproques de ces courbes; ei vice versa, toute tangente commune à ces mêmes courbes a pour pôle l'un des points de rencontre des courbes réciproques : ainsi le nombre àes points de rencontre et des tangentes communes appartenant à l'une des figures est précisément égal à celui des tangentes et des points de rencontre (\\xi appartiennent à l'autre; de plus, ces deux systèmes ont entre eux les diverses relations examinées (art. 59) pour un système quekonque de points et de droites et son système polaire.

Par exemple, les points de concours des tangentes communes de l'un des systèmes sont les pôles des sécantes ou cordes communes de l'autre, et vice versa, comme aussi les droites qui joignent deux à deux les points de concours dont il s'agit ont pour pôles, dans l'autre système, les points où se coupent deux à deux les sécantes communes, etc.

73. Soient deux courbes, l'une du degré m et l'autre du degré n, situées dans le plan commun d'une section conique prise pour directrice : leurs polaires réciproques seront, en général (66), des degrés m[m — i), n{n-' i), et, comme on sait, elles se rencontreront aussi en général et au plus en mnim— i) (n— i) points, auxquels correspondront, d'après ce qui pré-

cède, un égal nombre de tangentes communes des courbes primitives; donc

on a ce théorème :

Deux courbes géométriques de degrés m etn étant tracées sur un même plan, le nombre des tangentes communes à ces courbes est, en général et au plus, mn [m — i) [n — \). ,

Quant au nombre des tangentes communes aux polaires réciproques de ces courbes, il ne saurait évidemment surpasser celui mn, qui appartient aux points mêmes de rencontre des courbes m et n\ sur quoi on pourrait faire des réflexions analogues à celles que nous avons rapportées ci-dessus (67 et 68) pour le cas où les tangentes partent d'un même point.

Ajoutons, pour terminer, que lorsque les courbes m et /i ont un point de contact ou d'osculation d'un certain ordre , les polaires réciproques de ces courbes en ont pareillement un de ce même ordre et qui correspond au premier; car/? étant cet ordre, il en résulte que les courbes m et /i ont/? -h i tangentes consécutives communes confondues en une seule au point de contact, de sorte que les réciproques de ces courbes ont aussi p + i points consécutifs communs confondus en un seul au point correspondant; on voit en outre que, dans ce même cas, le nombre des points communs distincts et des tangentes communes distinctes des courbes de l'un et de l'autre système, se trouve diminué de/? unités.

74. Je crois inutile d'examiner les diverses autres relations de situation qui peuvent exister entre le système des courbes primitives et de leurs réciproques, par exemple celles qui auraient lieu pour des tangentes et des points communs à l'infini, soit de simple contact, soit d'osculation^ etc. ; j'en dirai tout autant de celles qui peuvent appartenir en commun au système d'un nombre quelconque de courbes situées dans un même plan : ce qui a été dit du cas particulier d'une seule courbe suffira toujours pour faire découvrir ces relations sans difficulté, si l'on s'est bien pénétré de la théorie des polaires réciproques.

Au surplus, les principes qui viennent d'être exposés concernent proprement les relations descriptives des figures planes, et, parmi ces relations, celles qui n'ont trait qu'au cours indéfini des lignes, sans égard à aucune mesure, à aucune grandeur déterminée ou constante, en un mot celles qui n'ont trait qu'aux propriétés de situation des lignes et des points tracés dans un plan commun. Nous examinerons plus loin ce qui arrive pour les relations qui, au contraire, concernent uniquement les rapports de grandeur que nous avons nommés métriques; et, quant aux applications de ces mêmes

théories, nous renverrons au précédent volume du Traité des Propriétés projectivesy qui en offre de nombreux exemples relatifs aux systèmes de sections coniques et de lignes droites. Nous ne saurions revenir ici sur ces applications spéciales sans faire un double emploi, d'autant plus qu'elles se présentent comme d'elles-mêmes, et ne donnent lieu à aucune observation nouvelle, à aucune difficulté particulière. C'est pourquoi nous allons de suite passer au cas où les figures que l'on considère sont situées d'une manière quelconque dans l'espace.