II
Des figures polaires réciproques dans l'espace.
75. La théorie des polaires réciproques, dans l'espace, offre la plus grande analogie avec celle qui concerne les figures simplement tracées dans un plan; elle n'en est même, comme on va le voir, qu'une extension facile.
Soit, en effet, une surface du second ordre quelconque, et un point pris arbitrairement pour/?o/e des rayons vecteurs, ou d'une suite de transversales rectilignes rencontrant respectivement la surface en deux points; le raisonnement déjà mis en usage (55) pour les courbes du second ordre prouvera encore que le lieu des centres de moyennes harmoniques des différents couples de points d'intersection, par rapport au pôle considéré comme origine commune des segments, sera du premier degré ou une surface plane. On arriverait d'ailleurs a la même conséquence en considérant ce qui se passe dans les différents plans menés par le pôle des transversales, et en observant que les polaires (55) qui répondent respectivement aux différentes courbes d'intersection de ces plans et de la surface proposée doivent nécessairement s'entrecouper deux à deux, et être ainsi comprises dans un même plan, qu'on peut nommer indifféremment le plan des moyennes harmoniques, le plan polaire relatif au pôle considéré en particulier.
Il est évident d'ailleurs que le plan polaire, quand il rencontre la surface proposée ou que le pôle est au dehors de cette surface, contient les différents points de contact de celle-ci avec les tangentes issues du pôle; c'està-dire que, dans tous les cas, il est le plan de contact, réel ou idéal, de la surface conique circonscrite à la proposée, et qui a son sommet au pôle.
Enfin on voit que, quand le pôle d'un plan s'éloigne à l'infini, ce plan passe par le centre de la surface auxiliaire, ou devient un plan diamétral conjugué à la direction du diamètre qui contient le pôle; comme aussi, JI. 10
quand le plan polaire passe tout entier à l'infini, le pôle devient le centre
même de la surface auxiliaire, et vice versa.
76. Considérons à présent trois points arbitrairement situés par rapport à une surface du second ordre quelconque : les trois plans polaires qui leur correspondent respectivement dans la surface, iront se couper en un même point, et les cordes de la surface, qui appartiennent aux trois droites joignant ce point à chacun des proposés, seront (55) divisées harmoniquement par le couple des deux points dont il s'agit; le point d'intersection des plans polaires de nos trois points proposés a donc lui-même pour polaire un plan qui passe par ces trois points; d'où résulte ce principe entièrement analogue à celui qui a été établi (56) pour le cas particulier des sections coniques, et qui, comme lui, est fondamental :
Si un certain point est situé sur un plan quelconque, le plan polaire de ce point, par rapport à une surface du second ordre quelconque, passera nécessairement par le pôle de ce plan, et vice versa, de sorte que ces deux systèmes seront polaires réciproques à l'égard de la surface auxiliaire du second ordre.
Il suit de là aussi que : un nombre quelconque de plans passant par un même point a pour réciproque polaire un nombre pareil de points ou pôles situés dans un même plan; et, vice versa, un nombre quelconque de points situés dans un même plan, a pour polaire réciproque un système pareil de plans passant par un même point.
77. Considérons maintenant une droite quelconque dans l'espace, et prenons arbitrairement deux points sur sa direction; les plans polaires de ces points se rencontreront suivant une nouvelle droite, qui sera évidemment telle, que tout point de sa direction aura réciproquement pour plan polaire un plan passant par la première droite; car le point dont il s'agit, appartenant à la fois aux deux premiers plans, son plan polaire, d'après ce qui précède, doit renfermer aussi les pôles de ces plans, c'est-à-dire les deux points pris à volonté sur la droite donnée.
La réciproque de cette proposition est également vraie, c'est-à-dire que tout plan passant par la droite donnée a pour pôle un point de l'autre droite; car un tel plan renferme les deux points ci-dessus pris à volonté sur la droite proposée, et par conséquent son pôle doit appartenir à la fois (76) aux plans polaires de ces deux points ou à la droite de leur intersection commune; de plus, si l'on applique à cette seconde droite les raisonnements qu'on vient d'établir sur la première, il sera facile de prouver qu'elles jouissent entièrement des mêmes propriétés réciproques à l'égard de la surface
du second ordre auxiliaire; on peut donc dire qu'elles sont polaires réciproques et énoncer ce théorème :
La droite, polaire réciproque d'une droite à l'égard d'une surface du second ordre, est à la/ois le lieu des pôles des différents plans qui passent par la première, et V intersection commune des plans polaires des différents points de cette première; de sorte que ces propriétés sont réciproques entre les deux droites dont il s'agit.
78. Ajoutons, comme chose évidente d'après ce qui précède, aue, si par l'une quelconque de ces droites on mène, dans la surface auxiliaire, une suite de plans sécants, ils rencontreront l'autre droite en des points qui seront respectivement, pour les courbes d'intersection, les pôles de la première. On voit encore que, si l'on joint par une nouvelle droite deux quelconques des points de celles-là, sa direction ira rencontrer la surface auxiliaire en deux autres points qui la diviseront harmoniquement ou en segments proportionnels; de sorte que, en supposant l'une quelconque de ces droites à l'infini, dans une direction donnée par un plan, sa polaire deviendra un diamètre de la surface auxiliaire, et vice versa.
Enfin, si l'on considère deux ou un nombre quelconque de droites passant par un même point, leurs polaires réciproques seront (77) situées- dans le plan polaire unique de ce point, et, à l'inverse, si un nombre quelconque de droites sont situées dans un seul et même plan, leurs polaires réciproques passeront par un point unique, pôle de ce plan.
79. En remarquant que la réciproque polaire d'une droite n'est autre chose que la direction indéfinie de la sécante, réelle ou idéale, qui, sur la surface du second ordre, renferme les points de contact des plans tangents issus de cette même droite, on déduira aisément de ce qui précède les théorèmes spéciaux établis d'abord par Mon ge, Livet, Brianchon et Chasles sur les droites polaires ou conjuguées.
Mon objet n'est point d'ailleurs d'examiner les conséquences particulières qu'on peut déduire de là pour les surfaces du second degré, conséquences qui ont été également exposées, par les géomètres cités, dans les anciens Recueils de VÉcole Polytechnique; je me contenterai ici de remarquer que les considérations précédentes sont basées sur la définition la plus générale des lignes et des surfaces du second ordre, et qu'elles offrent la plus grande analogie avec celles qui ont été exposées à la fin de la première Section, relativement aux centres et aux axes de moyennes harmoniques des figures reclilignes et polyédrales.
lO.
80. Après ce qui vient d'être dit sur les réciproques polaires du point, du plan et de la droite, il ne sera pas difficile de découvrir les diverses relations graphiques ou descriptives qui peuvent avoir lieu entre une figure composée d'une manière quelconque des mêmes objets, et celle qui en est la polaire réciproque par rapport à une surface du second ordre prise à volonté pour directrice. Cette discussion étant d'ailleurs entièrement analogue à celle que nous avons établie pour les figures planes, nous nous bornerons à quelques exemples généraux relatifs aux polygones et aux polyèdres, en les choisissant de préférence parmi ceux qui peuvent nous servir à passer immédiatement aux relations de réciprocité qui concernent les courbes et les surfaces à double courbure, considérées comme limites des polygones et des polyèdres qui leur sont inscrits ou circonscrits respectivement.
81. Soit d'abord un polygone rectilignè et gauche ûiMQ d'une manière quelconque dans l'espace : il y aura dans ce polygone plusieurs choses distinctes à considérer, telles que les sommets, les côtés, les angles aux sommets et les plans comprenant ces angles respectifs, qu'on peut wommeM plans aux sommets ou au périmètre. Supposons qu'on prolonge indéfiniment les côtés de ce polygone, on pourra les considérer comme les arêtes d'une sorte de surface composée de faces planes angulaires et que nous nommerons, pour abréger, polyèdre angulaire ou indéfini. A son tour, le polygone proposé pourra être envisagé comme résultant de l'intersection mutuelle des arêtes consécutives de ce polyèdre.
Cela posé, si nous appliquons à ce système les considérations offertes par la théorie des polaires réciproques, deux arêtes ou côtés consécutifs quelconques auront pour polaires (78) deux droites situées dans le plan polaire du sommet appartenant à ces côtés, et qui se rencontreront ainsi en un point, à son tour pôle du plan qui contient ces mêmes arêtes ou côtés. La suite des droites pareilles formera, par ses intersections successives, un nouveau yoo/)'gone gauche, et celle des plans qui leur appartiennent formera un nouveau polyèdre indéfini ây^LUt ces droites pour arêtes; polygone et polyèdre qu'on pourra nommer les polaires réciproques des premiers à l'égard de la surface auxiliaire du second degré, attendu les relations de réciprocité qui les lient entre eux d'après ce qui précède.
Remarquons d'ailleurs que, quand l'un des polygones est tout entier compris dans un plan, et que sa surîâce polyèdre s'évanouit en quelque façon, l'autre se réduit à un point {7S) pôle de ce plan; de sorte que la surface polyèdre réciproque se change en un véritable angle solide ayant ce même
point pour sommet, et dont les faces ont réciproquement pour pôles les sommets du polygone plan proposé.
82. Si, revenant au cas général de deux polygones gauches quelconques polaires à l'égard d'une surface du second ordre donnée, nous passons aux courbes à double courbure, limites de l'un et de l'autre de ces polygones, de même que nous l'avons fait (63) dans le cas du plan, il résultera de ce qui précède que ces deux courbes jouissent entre elles de cette propriété, que les tangentes de l'une sont les polaires de celles de l'autre, tandis que les points de la première sont les pôles des plans osculateurs de la seconde, et vice versa.
Mais, d'après ce qui vient d'être observé pour les simples polygones, il existe, dans le cas de l'espace, une autre considération essentielle qui n'a pas lieu dans le cas du plan : c'est que la suite des tangentes à une courbe à double courbure, et dont elle peut être censée l'intersection continuelle, forme une véritable 'surface développable ayant cette courbe pour arête de rebroussement, et pour plans tangents les différents plans osculateurs de cette même courbe. Il en résulte, en effet, que Venveloppe des plans polaires des différents points d'une courbe à double courbure n'est pas simplement la polaire de cette courbe, mais le système complet des tangentes à cette polaire, c'est-à-dire la développable osculatrice qui lui appartient : or cette propriété est réciproque entre les deux courbes dont il s'agit et leurs développables osculatrices.
Quant aux différents jo/ât/i^ tangents à l'une de nos deux courbes, et il en existe une infinité passant par un même point ou une même tangente de cette courbe, ils ont évidemment pour pôles (77) les différents points de la développable réciproque appartenant à l'arête polaire de la tangente dont il s'agit.
83. Concluons, de tout ce qui précède, qu'une courbe à double courbure et sa développable osculatrice étant données dans l'espace, ou, ce qui est aussi général et revient au même , une surface développable et son arête de rebroussement étant données de même, il correspondra à ce système un système analogue composé également d'une développable et de son arête de rebroussement, système qu'on pourra nommer le réciproque polaire du premier, par rapport à la surface du second ordre prise pour auxiliaire, et dont les propriétés seront telles, que :
« 1° Les droites génératrices de l'une des développables seront les réci- » proques polaires de celles de l'autre ; > 1° Les plans tangents de l'une des développables, ou les plans oscula-
» leurs de son arête de rebroussement, seront les polaires des différents » points de l'arête de rebroussement de l'autre ; et, vice versa, les points de * son arête de rebroussement seront les pôles des plans tangents de la dé- » veloppable réciproque ou des plans osculateurs de l'arête de rebrousse- » ment de cette développable;
r> 3° Tout plan passant par une génératrice de l'une des développables, » c'est-à-dire par une tangente à son arête de rebroussement, aura pour y pôle un point de la développable de l'autre système; et, vice versa, un y point quelconque de l'une des surfaces développables aura pour plan po- » laire un plan passant par une génératrice de l'autre, c'est-à-dire qu'il sera » simplement tangent à l'arête de rebroussement de cette surface, etc. >
Il convient d'ajouter à tout ceci que, quand l'une des courbes que l'on considère est plane, auquel cas sa développable osculatrice est elle-même comprise tout entière dans le plan qui lui appartient, la courbe de l'autre système se réduit simplement à un /?om^ (81) pôle du plan dont il s'agit; de sorte que la développable correspondante est alors une véritable surface conique.
84. Proposons-nous maintenant de rechercher directement le degré de la développable réciproque d'une courbe à double courbure donnée , aussi bien que celui de l'arête de rebroussement de cette développable. Soit, à cet effet, m le degré de la courbe donnée, et appelons n celui de sa développable osculatrice : nous verrons bientôt qu'il existe une relation nécessaire entre les nombres m et n.
Cela posé, le degré de la développable réciproque de la courbe [m) sera évidemment égal au nombre des points d'intersection d'une droite arbitraire avec cette développable : or, d'après ce qui précède, cette droite a pour polaire réciproque dans le système proposé une autre droite, et les plans polaires des points d'intersection qui s'y trouvent sont des plans passant (77) par cette droite réciproque, et (83) simplement tangents à la courbe. D'un autre côté, par une droite donnée à volonté dans l'espace, on ne peut mener, en général et au plus, que m {m— i) plans tangents à une courbe de degré m, puisque, si l'on fait la projection orthogonale de la figure sur un plan perpendiculaire à la droite, la question revient (66) à demander le nombre des tangentes à la projection de la courbe, qui passent par le point unique de la projection de la droite, et que le degré de cette courbe n'a pas cessé d'être m. Donc enfin le degré de la développable réciproque d'une courbe de degré m est, en général et au plus, m [m— i). -.Quanta l'arête de rebroussement de cette développable, son degré est
marqué par le nombre des points suivant lesquels elle est rencontrée par un plan arbitraire; or ce plan a pour pôle, dans le système primitif, un point quelconque, et ses intersections ont pour réciproques des plans passant par ce point et touchant (83) la développable {n) de [m). Mais le nombre des plans tangents que, d'un point quelconque donné, on peut, en général, mener à une développable de degré tz, est égal au nombre des tangentes qui répondent à ce point et à une section plane quelconque faite par ce même point dans la surface, section qui est également du degré n; donc le nombre des plans tangents dont il s'agit, et par conséquent le degré cherché de l'arête de rebroussement de la développable réciproque, est n{n — i).
85. Nous avons dit qu'il existe une relation nécessaire entre les nombres m et n, qui expriment les degrés respectifs d'une courbe à double courbure et de sa développable osculatrice, ou, ce qui revient au même, de l'arête de rebroussement d'une surface développable et de cette surface ellemême. Pour la découvrir, cherchons en combien de points une droite arbitraire rencontre la surface dont il s'agit, lorsque le degré de son arête de rebroussement est m : à chaque point pareil répondra une génératrice de la surface, tangente à la courbe (m), de sorte que le plan qui la renferme, ainsi que la transversale arbitraire, sera lui-même tangent à cette courbe; le nombre des points d'intersection cherché sera donc égal à celui des plans tangents qu'on peut mener à la courbe (m), par la droite dont il s'agit : or nous avons fait voir ci-dessus que ce dernier est, en général, m [m — i); donc tel est aussi, en général et au plus, le degré n de la développable osculatrice de la courbe {m).
Il suit de là évidemment que, dans la seconde des questions ci-dessus, il faudra remplacer le nombre n par celui m[m — i) que nous venons de trouver, ce qui donnerait pour le degré de l'arête de rebroussement, polaire réciproque de la développable (n) de (m), (m — i) [m (w— r)^ i]. Mais cette première limite peut être diminuée, quoique les raisonnements que nous avons établis, pour le cas où n est immédiatement donné sans que l'on connaisse m, soient en eux-mêmes très-rigoureux et très-concluants dans ce cas général; en effet, la connaissance du degré m de l'arête de rebroussement permet de modifier ainsi ces premiers raisonnements.
86. Le degré de l'arête de rebroussement polaire réciproque de la développable {n) est égal, comme on l'a vu (84), au nombre qui exprime combien, d'un point donné arbitrairement, on peut mener de plans tangents à cette développable {n), ou de plans osculateurs à l'arête de rebrousse-
8o PROPRIÉTÉS PROJECTIVES DES FIGURES,
ment {m) de cette développable. Or le système de tous les points de contact de ces plans tangents avec la développable (n) est lui-même sur une autre développable de degré n — i ( * ), laquelle rencontre bien la développable [n) en n{n — \) génératrices en général, mais ne rencontre l'arête de rebroussement (m) qu'en m[m—i) points au plus, dont les plans osculateurs remplissent seuls complètement les conditions de la question ; donc m [n — ï) = m\m[m — i) — \^ est, en général, le degré de l'arête de rebroussement, polaire réciproque de la surface [n) ou m (m— i).
Nous pourrions faire, sur ces dernières considérations, et en général sur toutes celles qui précèdent, relatives aux degrés des courbes et des surfaces, des réflexions analogues à celles que nous avons présentées, dans les n°' 67, 68 et suivants, sur les simples courbes planes et leurs réciproques; mais elles se présentent d'une manière trop facile, et elles nous écarteraient trop de notre sujet pour qu'il soit convenable de nous y arrêter.
87. Pour terminer ce que nous avions à dire sur les courbes à double courbure et les surfaces développables, nous remarquerons qu'une telle courbe n'a jamais qu'une seule développable osculatrice, mais qu'il en est une infinité qui lui sont simplement tangentes, c'est-à-dire dont les éléments plans la touchent en chaque point de son périmètre, de la même manière qu'une surface développable quelconque n'a qu'une arête de rebroussement unique, composée d'ailleurs d'une ou de plusieurs branches distinctes et pour laquelle les plans tangents de la surface sont des plans osculateurs, tandis que cette même surface renferme une infinité d'autres courbes à double courbure simplement touchées en chaque point par les plans tangents de la surface.
Or, si l'on considère ce qui se passe par rapport à une surface du second ordre prise pour auxiliaire, il sera aisé de reconnaître (83) qu'une surface développable ( 71 ) étant circonscrite à une courbe à double courbure quelconque (m), ou, ce qui est la même chose, passant par cette courbe, la suite des pôles des plans tangents à cette surface sera une courbe à double courbure (/?), située elle-même sur la développable enveloppe des plans polaires des points de la courbe proposée (m); si donc, pour fixer entièrement la position de la surface développable (n), on l'assujettit à passer par une seconde courbe à double courbure donnée {m')^ la courbe (/)) qui est la
(*) Cette proposition, qu'on démontre aisément par l'analyse algébrique, sera établie directement dans la suite de ces recherches, relatives aux propriétés générales des courbes et des surfaces géométriques.
SECTION IL — DES POLAIRES RÉCIPROQUES. 8i
polaire réciproque de cette surface dans l'autre système, ou le lieu des pôles de ses plans tangents, sera à la fois sur la développable réciproque de la première {m) des deux courbes proposées, et sur la développable réciproque de la seconde (m') de ces courbes, c'est-à-dire qu'elle sera à l' intei section commune de ces développables. Mais, d'après ce que nous avons vu ci-dessus (84), le degré de ces développables est en général m(m— i), m'{m'—i), m et m' étant ceux des courbes proposées; donc mm' (m — i) [m' — \) est aussi celui de l'intersection dont il s'agit: d'où l'on conclut réciproquement (84) que le degré de la développable circonscrite à nos deux courbes [m] et {m') est, en général, mm' {m — \){m' — \) [mm' [m — i) ( m' — i ) — i] , bien qu'on ne puisse lui mener, au plus, que mm' (m — i) (m' — i) plans tangents d'un point quelconque donné.
88. Il serait inutile de nous appesantir davantage sur ces applications particulières, relatives aux surfaces développables et aux courbes à double courbure; les principes et les exemples généraux qui précèdent doivent suffire pour montrer comment on doit s'y prendre dans chaque cas : en conséquence, nous allons passer immédiatement à ce qui concerne les surfaces quelconques; mais auparavant nous devons dire quelques mots touchant les figures polyédrales, dont ces surfaces peuvent être regardées comme les limites.
' Considérons donc un polyèdre quelconque dans l'espace, et prenons à volonté une surface du second ordre pour auxiliaire; d'après ce qui a été établi art. 76 et suiv., il est clair que la figure polaire de ce polyèdre sera elle-même un autre polyèdre, dont les 5ommez^, les/ace* et les «r^^c-s seront respectivement les polaires réciproques Aes> faces, des sommets et des arêtes du proposé; de telle sorte, par exemple, que les sommets de l'un seront les pôles des faces de l'autre, Qivice versa; ainsi l'on peut dire de ces polyèdres qu'ils soni polaires réciproques l'un de l'autre.
Considérons entre autres un hexaèdre ordinaire quelconque, composé, comme on sait, de six faces et de huit sommets: son polaire réciproque aura donc, au contraire, six sommets et huit faces, de sorte que ce sera un octaèdre à faces triangulaires; car le nombre des sommets appartenant à chaque face sera égal au nombre des faces appartenant à chaque sommet de l'hexaèdre, c'est-à-dire trois. En général, on voit que les angles solides de l'un des polyèdres seront toujours (81) remplacés par des polygones plans de l'autre, contenant le même nombre d'arêtes que ces angles et autant de sommets qu'ils ont de faces planes.
