D'après cela on voit que

« Si deux figures quelconques sont polaires réciproques à l'égard d'un » cercle ou d'une sphère, et qu'il existe entre les ouvertures d'angles de » l'une une certaine relation donnée, on pourra, de suite, en conclure une » relation semblable entre les angles formés, autour du centre de la sphère » ou du cercle auxiliaire, par les diamètres ou plans diamétraux dont la j> direction contient les pôles ou polaires des côtés et des èdres des premiers » angles. >

Et réciproquement :

« Si l'on connaissait une telle relation d'angles au centre pour l'une des

» figures, on serait en état d'en conclure, de suite, une autre semblable » entre les angles mêmes des plans et des droites de la réciproque polaire. »

Considérons, par exemple, nu polygone équiangle sur un plan : son polaire réciproque (60), par rapport à un cercle quelconque, sera tel, que les droites ou rayons dirigés vers ses différents sommets feront des angles consécutifs égaux entre eux, pourvu qu'on les prolonge indéfiniment; ces angles d'ailleurs seront ceux sous lesquels on voit les différents côtés du polygone polaire, du centre du cercle directeur.

Considérons encore un angle solide dont les angles dièdres soient égaux entre eux : le polygone plan qui est (81) son polaire réciproque, jouira de la même propriété que ci-dessus relativement au centre de la sphère prise pour auxiliaire ;,et si, de plus, les angles plans du solide proposé étaient tous égaux entre eux, non-seulement les angles au centre, plans, sous lesquels on voit les différents côtés du polygone réciproque, seraient égaux entre eux, mais il en serait encore de même des angles dièdres sous lesquels on voit les angles au périmètre de ce polygone.

111. Ces remarques s'étendraient aisément à un polyèdre équiangle et à son polaire réciproque, en observant que les différents angles solides du premier ont pour réciproques les polygones plans du second, eivice versa.

En général, on traduira d'une manière semblable toutes les relations d'angles qui pourraient avoir lieu dans l'un de ces polyèdres; car, si l'on considère, par exemple, un des angles solides qui le composent, le centre de la sphère auxiliaire étant compris dans l'intérieur de cet angle, il sera aisé de voir, d'après ce qui précède (109), qu'en menant de ce centre des droites veirs les sommets du polygone polaire de l'angle solide proposé, on formera un nouveau solide dont les angles plans seront suppléments des angles dièdres respectifs du preniier, et dont les angles dièdres seront, à leur tour, suppléments des angles plans de ce premier solide; de sorte que le nouveau et l'ancien angle solide seront proprement ce que les géomètres sont convenus d'appeler des angles solides supplémentaires.

La même chose ayant lieu entre les divers angles solides et les dfvers polygones plans des deux polyèdres réciproques, on voit quelle espèce de relation subsistera, en général, entre les angles propres de l'un et les angles au centre qui appartiennent à l'autre. Mais, sans nous arrêter aux conséquences qu'on pourrait déduire de là pour les polyèdres en général et pour certains polyèdres en particulier, nous allons donner quelques exemples simples et faciles qui montreront l'importance et l'utilité des remarques ci-dessus (109), IL i3

en ménie temps qu'elles serviront à en faire connaître l'esprit dans les applications à des propriétés données.

112. Supposons, en premier lieu, que la figure étant tout entière comprise dans le plan du cercle auxiliaire (S), fig. 23, on considère un angle quelconque ABC, constant de grandeur et dont les côtés soient assujettis à se mouvoir autour de deux points quelconques A, C de leurs directions; les pôles A' et G' des côtés de cet angle devront aussi rester sur les polaires A'B', CE' des points fixes A et C, et l'angle au centre A'SC sera constant comme supplément de l'angle en B.

A l'inverse, un point quelconque S et deux droites fixes A'B', A'C étant donnés sur un plan, aussi bien qu'un angle constant A'SC mobile autour du point S, la figure polaire de ce système, à l'égard d'un cercle quelconque dont le centre est en S, sera précisément composée d'un angle constant ABC mobile autour de pôles fixes A etC, comme celle d'où nous sommes partis.

Mais le sommet B d'un tel angle se meut toujours sur un cercle passant par les points fixes A et B; donc la polaire A'C qui sous-tend l'angle A'SC roule ou glisse, de son côté, sur une section conique tangent^ aux droites fixes A'B', A'C; ce qui donne lieu au théorème que nous avons fait connaître au n° 472 du tome P^ de ce Traité.

113. Si l'angle constant ABC, au lieu de pivoter autour des points fixes A, C, demeurait perpétuellement circonscrit'^ une section conique quelconque, on voit que la corde A'C, polaire de son sommet, demeurerait au contraire sans cesse inscrite (63) à une autre section conique, en sous-tendant un angle constant A'SC mobile autour du point S.

Et réciproquement, on peut toujours regarder le système d'une sectijon conique et d'un angle constant A'SC mobile autour d'un point quelconque S de son plan, pris pour sommet, comme le réciproque polaire du premier système. Toutes les fois donc que le sommet B décrira une section conique, la corde inscrite A'C, roulera pareillement sur une autre section conique : or c'est ce qui aura lieu, en particulier, lorsque l'angle B ou son supplément S sera droit; ainsi les théorèmes des n°* 487 et 488 de l'ouvrage déjà cité sont réciproques l'un de l'autre.

Maintenant on remarquera que, quand la courbe à laquelle est circdnscrit l'angle B est une parabole ^ ayant par conséquent une tangente à rinjini, sa polaire réciproque, circonscrite à toutes les cordes A'C, passe (71) parle centre S du cercle auxiliaire, c'est-à-dire par le sommet de l'angle S; et réciproquement, que si le sommet de l'angle constant et mobile-S se trouve sur

la courbe qui contient les extrémités des cordes A'C sous-tendanles de l'angle en S, la courbe sur laquelle roulera l'angle ABC sera une parabole. Mais alors le sommet B de cet angle se meut sur une section conique, qui devient une ligne droite quand V angle équivaut à un quadrant; donc pareillement la corde A'C roule sur une autre section conique, qui se réduit à un point quand l'angle A'SC. est droit, et par conséquent les théorèmes des n°* 452 et 481 de l'ouvrage cité sont les réciproques de ceux énoncés art. 482.