Ces considérations peuvent s'étendre à l'espace

En effet, trois plans quelconques, formant un angle solide, auront pour réciproques polaires, à l'égard d'une sphère quelconque, trois points compris dans le plan qui a pour pôle le sommet de l'angle solide, et qui, étant joints par des droites au centre de cette sphère, donneront lieu à un nouvel angle soWàe supplémentaire (111) du premier. Si donc l'un de ces angles se meut en demeurant constant^ il en ira de même de l'autre; et, d'après la théorie des polaires réciproques (91 et 93), si le premier a ses faces perpétuellement tangentes à une même surface du second degré, les points ou pôles qui déterminent les arêtes du second demeureront continuellement sur une autre surface du second degré quelconque, et vice versa, de telle sorte que le lieu des sommets du premier angle solide sera remplacé (91) par la surface enveloppe des plans qui contiennent ces trois pôles. Or Monge a démontré, en particulier, que, « quand trois plans rectangulaires, tangents à-une surface du second degré, se meuvent autour de cette surface, le sommet de l'angle triédre rectangulaire qu'ils forment décrit en général une sphère » ; donc aussi :

Quand un angle triédre rectangulaire est mobile sur son som/net, le plan qui joint trois quelconques des points d'intersection de ses arêtes avec une surface du second degré quelconque, ou, sil'onveut, le plan du triangle qui sous-tendV angle triédre dans cette surface, roule et glisse sur une autre surface qui est du second degré comme la première.

Quand le point qui sert de sommet commun à tous les angles trièdres rectangulaires est sur la surface proposée, on démontre directement, avecM.Frégier, que les plans mobiles correspondants pivotent sur un point unique; mais alors, en se reportant à la figure primitive polaire réciproque de celle dont il s'agit, on reconnaît que la surface à laquelle est sans cesse circonscrit l'angle triédre rectangulaire a un plan tangent à l'infini (97) polaire du centre de la sphère auxiliaire ou du point qui sert de sommet à tous les angles de l'autre système; donc cette surface est alors l'un des paraboloïdes,

loo PROPRIÉTÉS PROJECTIVES DES FIGURES,

et le lieu des sommets des angles trièdres rectangulaires qui lui sont circonscrits, a la place d'être une sphère comme dans le cas ci-dessus, est simplement le plan (Wrecteuv polaire du point fixe de l'autre système; ào, la même manière que, pour la parabole, le lieu des sommets des angles droits circonscrits est une droite unique, directrice ordinaire ou polaire focale de cette parabole, etc.

115. Sans entrer dans de plus grands détails sur les propositions qui précèdent, et sans discuter en particulier les relations qui peuvent lier entre eux les divers objets qu'elles concernent, nous nous contenterons de remarquer, d'une manière générale, que :

1° La réciproque polaire d'une circonférence de cercle, à l'égard d'un cercle quelconque de son plan pris pour auxiliaire, est une section conique ayant pour foyer le centre de ce dernier cercle, et pour directrice la polaire du centre du premier; 2° la réciproque polaire d'une sphère, à l'égard d'une autre sphère quelconque prise pour auxiliaire, est pareillement une surface du second ordre de révolution ayant pour ïo^ev principal le centre de cette dernière sphère, et pour plan directeur le plan polaire du centre de la première.

Les réciproques de ce théorème sont également vrais; c'est-à-dire que :

La polaire d'une section conique ou d'une surface du second ordre de révolution quelconque, qui a pour foyer le centre d'un cercle ou d' une sphère pris pour auxiliaire, est une autre sphère ou un autre cercle ayant pour centre le pôle du plan directeur ou de la directrice.

C'est, en effet, ce qu'il est aisé de reconnaître en rapprochant, par exemple, les remarques du n^ 112, de cette propriété très-anciennement connue des sections coniques : « l'angle sous lequel on voit, du foyer d'une section conique, la partie d'une tangente quelconque terminée aux deux tangentes qui répondent aux extrémités du grand axe de la courbe, est toujours constant et égal à un quadrant. »