CONCLUSIONS GÉNÉRALES ET PRINCIPALES CONSÉQUENCES

223. Ce qui précède suffit, je pense, pour convaincre nos lecteurs de la possibilité de résoudre, d'une manière purement géométrique, le problème général que nous nous sommes proposé dans le n" 216, et pour montrer la variété des ressources qui sont offertes par l'Analyse des transversales dans toutes les questions où il s'agit de construire le système des intersections d'une ligne géométrique avec une transversale arbitraire de son plan, quand cette ligne est simplement définie par un nombre suffisant de semblables systèmes ou de systèmes équivalents (212 et 215), ce qui fournit aussi des moyens pour la décrire complètement par points sous ces mêmes données.

On voit qu'en définitive ces constructions se réduisent à une suite d'opérations ou de calculs qui appartiennent uniquement au premier degré ou à la Géométrie de la règle, ce qui signifie seulement que les courbes auxiliaires qui, par leurs intersections avec des droites données, servent à déterminer les points qu'on chercbe, se trouvent elles-mêmes construites à l'aide d'opérations purement linéaires. Or, cette circonstance paraît tenir essentiellement

fût sur la courbe, on aurait deux équations, de la forme de celles du n° 216, propres à déterminer deux quelconques des points/;», p', /?",..., considérés comme inconnus; de sorte que le problème serait alors ramené à la résolution de deux autres des degrés « — 3 et 2; et ainsi de suite. — (Note de i83i.)

2o8 PROPRIÉTÉS PROJECTIVES DES FIGURES.

à ce que les relations métriques qui définissent les inconnues se présentent toutes sous la forme de celles que nous avons nommées SLiWeurs projectives, et spécialement de ce que les segments ou distances qui y entrent constituent une fonction symétrique de produits homogènes.

224. La solution que nous avons présentée en dernier lieu (222) nous paraît d'ailleurs aussi simple et aussi rapide que le comporte la nature du problème proposé; car elle ramène de suite la recherche de n points inconnus X, x\ x'\... à celle de n — i autres points n' , n",..., dépendant d'une question du même genre, mais d'un degré inférieur d'une unité, et qui, étant une fois trouvés, permettraient de construire les proposés par le tracé d'une courbe auxiliaire de degré n. Mais, comme ces n — i points tt', ti",... exigeraient, à leur tour, la détermination àe n— 2 autres points analogues, et le tracé linéaire d'une ligne de l'ordre n — 2 et ainsi de suite, on voit qu'en remontant de proche en proche, on fera dépendre la solution du problème d'un ou de deux derniers points qui exigeront le tracé d'une ligne droite ou d'une section conique, et qui serviront à en déterminer trois autres par le tracé linéaire d'une ligne du troisième ordre, quatre autres par le tracé pareil d'une ligne du quatrième ordre, et ainsi de suite jusqu'à ce qu'on soit arrivé aux n points proposés, qui eux-mêmes réclameront le tracé d'une ligne de l'ordre n.

Ces différentes opérations, qui s'exécutent toutes avec la règle, auront donc nécessité le tracé àen — i courbes géométriques dont les degrés respectifs sont représentés par la série des nombres naturels compris entre i et n {*). Or nous ne voyons pas, pour le moment, comme il serait possible de remplacer, généralement, cette suite de tracés assez pénibles par le tracé unique d'une courbe de degré n; et quoique, par elle-même, la chose ne répugne en aucune manière, nous devons cependant avouer que nous l'avons jusqu'ici vainement tentée, même pour la question particulière du n" 213, où le système des équations à résoudre n'exprime autre chose que la dépendance purement descriptive qui lie les m— i points inconnus aux m"^ -h i points donnés, et en vertu de laquelle tous ces différents points appartiennent à une même ligne géométrique du degré m.

La complication dont il s'agit parait, du reste, tenir au fond même de la question, et à ce que les données ou conditions graphiques n'en seraient pas

(*) D'après les observations de la note du n° 222, le nombre des courbes auxiliaires pourra être réduit d'environ moitié.

assez explicitement définies sous le point de vue purement géométrique. Car, par exemple, dans le problème du n** 213 dont il vient d'être parlé, la complication n'a pas lieu lorsque les m- premiers points donnés, situés m par m en ligne droite, sont immédiatement définis par la condition de se trouver sur un second système de m droites, ou, en général, sur une courbe géométrique du même degré que la proposée, et elle n'a pas lieu, non plus, pour le problème du n° 206, où il s'agit de déterminer le système complet des tangentes en un point multiple d'une courbe, dont l'indice est le plus élevé possible par rapport à son degré. Nous verrons en effet, par la suite (Sect. IV), que dans ces cas particuliers la question, bien qu'elle dépende toujours d'un système d'équations analogues, peut se résoudre néanmoins par le tracé d'une seule courbe auxiliaire dont le degré est marqué par le nombre des points qui sont à déterminer.

225. Quant à présent, nous devons nous borner à tirer quelques conséquences générales des recherches qui précèdent, dans lesquelles nous n'avons prétendu qu'indiquer rapidement des moyens généraux de solution, propres seulement à montrer la possibilité et l'étendue d'une classe de questions qu'on serait volontiers tenté de regarder comme tout à fait en dehors du domaine de la pure Géométrie.

En effet, il résulte clairement, des discussions auxquelles nous nous sommes livré dans ce paragraphe, que pour m systèmes de m points, situés sur un égal nombre de droites s'enlrecoupant toutes dans un même plan, et qui, pris trois par trois, satisfont à la relation métrique du n** 165, on peut mener une infinité de lignes géométriques du degré m; mais que, si un dernier point est donné arbitrairement pour y faire passer la courbe, cette courbe sera entièrement déterminée de forme et de position, aussi bien que ses intersections avec une transversale quelconque passant par ce point, ou même avec une transversale entièrement arbitraire. Il résulte aussi de là évidemment que, « si un nombre quelconque, supérieur à m, de systèmes j de m points, situés sur un égal nombre de droites comprises dans un » plan unique, sont tels que, considérés trois par trois, ils satisfassent à la » relation dont il vient d'être parlé, tous ces points appartiendront néces- » sairement à une seule et même ligne géométrique d'un degré précisément » égal à m, et que, si par m quelconques de ces systèmes de points et par » l'un des points restants on fait passer une ligne de ce degré, elle passera » nécessairement aussi par tous les autres » : sur quoi il est important de remarquer qu'au lieu d'épuiser toutes les combinaisons possibles de droites II. 27

ou systèmes de points, on peut se borner, d'après le n** 212, à un certain nombre limité de combinaisons essentielles et vraiment distinctes.

Cette proposition est évidente par elle-même pour le cas de tw = i , où il n'y a qu'un seul point sur chacune des transversales; car les relations qui leur appartiennent expriment que ces points, pris trois par trois et dans un ordre quelconque, sont situés sur autant de lignes droites; mais il était nécessaire de la démontrer rigoureusement pour tous les autres cas, sans en excepter même celui de m = 2, puisqu'il n'est pas certain, àpriori, qu'un nombre quelconque de couples de points, appartenant à autant de droites tracées dans un même plan, sont situés sur une ligne du second ordre unique, bien que, pris trois par trois, ils déterminent complètement (145 et suiv.) une semblable ligne.

226. Ainsi donc, les systèmes de relations métriques qui ont la forme et sont assujetties aux conditions indiquées au n** 165 présentent véritablement tous les caractères d'une définition complète des lignes géométriques, et qui suffit pour mettre à même d'en construire toutes les parties sous des données convenables. Mais, attendu que ces relations sont susceptibles de subir des changements de forme et de devenir même complètement illusoires pour certaines positions des transversales ou du système des points donnés (170 et suiv., 187 et suiv.), il importe de remarquer que les relations qui en tiennent lieu ou qui en sont, d'après nos principes, la traduction plus ou moins immédiate, ne cessent pas de définir, de déterminer même géométriquement, les lignes ou systèmes de points auxquels elles s'appliquent; car toutes les relations purement descriptives, toutes les constructions de points et de lignes auxquelles nous avons été conduits dans ce paragraphe, en raisonnant dans les hypothèses les plus générales sur la position des transversales, toutes ces constructions et relations, dis-je, demeurent, en vertu de la loi de continuité, exactement applicables aux différents états particuliers de la figure, sauf les modifications que réclament les changements de position des points ou des lignes, et qu'indique à l'avance cette même loi.

Cette conséquence d'ailleurs peut être établie directement et sans recourir au principe de continuité, en reprenant la série de nos premiers raisonnements et en y remplaçant immédiatement les relations primitives par leurs transformées, tout en changeant, si cela est nécessaire, le mode de leurs combinaisons et des opérations auxquelles elles donnent lieu, conformément à l'exemple qui en a été offert dans le n° 195 du précédent paragraphe.

227. Considérons maintenant, sur un plan, un système quelconque de points, analogue à celui qui vient d'être défini, ou, si l'on veut, considérons le système complet des intersections réelles ou idéales d'une ligne géométrique, de degré m, avec des transversales rectilignes arbitraires, en nombre quelconque |x, inférieur ou supérieur à m. Supposons que, parmi ces mil points, [in quelconques situés n par n sur nos [l transversales respectives aient entre eux la même corrélation de position que le système des proposés, ou, si l'on veut encore, appartiennent à une certaine ligne géométrique du degré n, il résultera de nos principes que les ii(m — n) intersections restantes et qui se trouvent distribuées m — n par m — n sur ces p< transversales, seront elles-mêmes à une courbe du degré m — n.

En effet, si l'on considère l'un quelconque abc des triangles formés par les intersections mutuelles des transversales dont il s'agit, on aura, par hypothèse, entre les segments qui déterminent sur ces côtés les 3w points qui sont censés appartenir à la courbe (w), une relation métrique de la forme

iap){bq){cr) ^ {bp){cq)[ar) '

en supposant, du reste, que l'on conserve les dénominations et conventions du n" 165. Et, puisque 3/î de ces mêmes points, situés n par n sur les côtés du triangle abc, sont censés appartenir à une autre ligne du degré /i, on aura une seconde relation, de la même forme, entre les segments qui leur correspondent, et en vertu de laquelle tous ces segments disparaîtront, comme facteurs, des produits du numérateur ou du dénominateur de la précédente, laquelle se réduira conséquemment à une autre relation toujours de même forme et exprimant, ainsi que toutes ses analogues relatives aux différents triangles formés par nos transversales, que les [j.[m ■— n) points restants sont effectivement a une courbe du degré m — n, comme il s'agissait de le démontrer. De là aussi ce théorème général :

Si parmi les [xm intersections d'une courbe géométrique de degré m tracée sur un plan et du système de p. transversales rectilignes arbitraires y [in se trouvent situées sur une autre courbe quelconque du degré n, les jj. [m — n) intersections restantes seront à une troisième ligne géométrique du degré m — n.

228. Considérant, par exemple, le système complet des tangentes aux intersections d'une courbe, plane, du degré m, avec une droite arbitraire, il résulte de ce principe général que les m (m — 2) intersections nouvelles de ces tangentes avec la courbe seront sur une autre courbe géométrique du degré m — 1 seulement.

D'où il suit aussi, en vertu du principe de continuité, que le système total des m asymptotes d'une courbe géométrique du degré m rencontre de nouveau cette courbe en m [m — 2 ) points qui appartiennent à une autre courbe géométrique dont le degré est m — 1 seulement.

Supposant la droite ci-dessus des points de contact menée par un point multiple quelconque de l'ordre n, le théorème subsistera toujours, pourvu que l'on comprenne les n tangentes en ce point multiple, au nombre des m tangentes aux intersections de la courbe avec la transversale arbitraire. Qu'il s'agisse, entre autres, d'un point double et d'une ligne du quatrième ordre, on sera conduit à ce corollaire :

Si, par un point double d'une ligne du quatrième ordre, on mène une transversale arbitraire, et deux tangentes par les intersections nouvelles de cette transversale avec la courbe, le système de ces tangentes et du couple de celles qui répondent au point multiple ira rencontrer cette courbe en six derniers points, distincts des premiers et qui appartiendront à une simple ligne du second ordre.

Cette proposition aurait lieu, d'une manière analogue, dans le cas où la transversale passerait par un second point multiple ou s'éloignerait à l'infini, etc. Mais en voilà assez, pour le moment, sur ces corollaires de notre théorème général, que nous verrons, dans la seconde partie de ces recherches, s'étendre aux intersections quelconques des lignes et des surfaces géométriques, et dont nous avions, dès l'année 181 7, appliqué les conséquences aux propriétés de situation des lignes du troisième ordre, que nous avons fait connaître à la fin du § I.

Des lignes géométriques en tant que définies ou construites par les faisceaux convergents de leurs tangentes. — Recherches et éclaircissements sur divers points de la théorie des polaires réciproques .

229. Toutes les relations métriques ou descriptives qui nous ont occupés dans le précédent paragraphe, étant, de leur nature, projectives, elles peuvent immédiatement (Sect. II, Polaires réciproques, n°* 120 et suiv.) être traduites en d'autres qui concernent uniquement les faisceaux de tangentes des lignes géométriques, issues des différents points du plan de ces lignes. Ainsi on déduira de nos recherches des procédés généraux et purement linéaires pour construire autant de ces systèmes qu'on le voudra, quand on s'en sera donné arbitrairement un nombre suffisant pour définir complètement la courbe, et qui permettra de construire celle-ci par l'enveloppement

SECTION III. - ANALYSE DES TRANSVERSALES. 2i3

de ses tangentes, d'une manière analogue à celle par laquelle nous avons vu qu'on pouvait construire les lignes géométriques au moyen de leurs systèmes d'intersections avec des droites variables. On pourra même, si on le désire, déterminer les points de contact de chaque faisceau à l'aide des faisceaux de tangentes, donnés à priori, par des procédés inverses de ceux (171, 175 et 184) qui serviraient à tracer les tangentes aux intersections d'une ligne du degré m, avec une droite arbitraire, quand cette ligne est donnée par ses autres systèmes d'intersections pareils, etc., etc.

D'après les exemples que nous avons déjà offerts dans les n°^ 163 et 185 des §§ I et II de cette Section, nous croyons assez peu utile d'insister sur les résultats auxquels on parviendrait ainsi. Mais, puisque nous en sommes venus à parler du tracé effectif des courbes planes par leurs systèmes de tangentes issues de points donnés, c'est le cas de présenter quelques réflexions spéciales relatives à la nature, au degré de ces courbes et à l'espèce de corrélation ou de réciprocité qui les lie aux lignes géométriques définies, construites par leurs systèmes d'intersections avec des droites données; sujet en lui-même épineux, qui a suscité des doutes, et que personne, ce me semble, n'a encore abordé avec franchise depuis ce que j'en ai moi-même écrit, en 1817, dans le tome VIII, p. 21 r et suivantes, des Annales de Mathématiques de Montpellier, ou p. 476 du tome II de mes Applications, etc., et particulièrement, en 1824, dans Xa Mémoire sur la théorie générale des polaires réciproques (Sect. II, n°' 65 etsuiv.) : sujet dont toute la difficulté réside, comme on le démontre en ces endroits, dans la manière d'envisager et de poser, pour chaque cas particulier, la question relative au nombre et à l'espèce des tangentes issues d'un même point arbitraire, et qui appartiennent à une courbe plane de degré ou d'espèce donnés.

230. On peut voir, dans les Annales citées (t. XVlI, XVIII et XIX, années 1827 à 1829), les singulières inadvertances commises par d'estimables géomètres, faute d'avoir donné une attention assez sérieuse à de telles questions, dont la solution, sous le point de vue général et géométrique, ne laisse véritablement ni doute ni obscurité dans l'esprit, et ne semble dépasser les forces actuelles (i83ï) de l'Analyse algébrique qu'à cause des éliminations laborieuses qu'elle entraîne, et des facteurs singuliers ou étrangers qui compliquent inévitablement les résultats du calcul (*).

( * ) Foyez nos réflexions, à ce sujet, dans l'article déjà cité du tome VIII des Annales de Mathématiques, p. 223 et suiv. (ou p. 496, n'^XVI à XX, du tome II des Applications d'Analyse et de Géométrie, 1864).

2i4 PROPRIÉTÉS PROJECTIVES DES FIGURES.

En signalant ces inadvertances, dans deux articles insérés à la page 109, t. VIII, et p. 292, t. IX (années 1827 et 1828) du Bulletin des Sciences mathématiques de M. de Férussac (*), je donnai à leurs auteurs l'occasion de les rectifier et d'approfondir une matière digne de fixer l'attention de tous les géomètres algébristes; mais cette provocation^ comme on peut le voir à la page 24, t. IX du même Bulletin, ou à la page 162 du tome XVIII des Annales de Mathématiques, ne produisit qu'une rectification de mots par laquelle ces mêmes auteurs convinrent de nommer courbe ou surface de m'^'"^ classe, celle à laquelle, d'un même point ou d'une même droite, on peut généralement mener m tangentes ou m plans tangents, et cela sans rien prononcer sur la relation qui subsiste entre le degré et la classe, ce qui implique une double définition et ne lève point la difficulté quant au fond.

L'inadvertance de nos auteurs consistait effectivement à avoir confondu la classe avec le degré, ou à supposer égaux le nombre des intersections d'un lieu avec une droite et le nombre des tangentes ou des plans tangents qu'on peut lui mener d'un même point ou d'une même droite, guidés en cela, sans doute, par une pure analogie de ce qui se passe dans les lieux du second degré où la réciprocité est parfaite. On peut même voir, par un passage de la page 3o3, t. IX du Bulletin des Sciences, où il est rendu compte d'un Mémoire de Géométrie inséré dans le tome XVIII des Annales de Mathématiques, que nos recherches sur cette matière n'avaient pas suffi pour dissiper toute incertitude au sujet de l'erreur commise, puisqu'on y dit textuellement, en effet, « qu'il n'est pas certain que le degré et la classe d'une courbe soient deux » choses différentes, et que MM. Gergonne et Bobillier n'ont adopté cette » distinction que provisoirement, et seulement à cause des doutes élevés sur » ce sujet par M. Poncelet. *

231. Cependant, lorsque je relevai cette erreur aux endroits cités, je ne manquai pas de rappeler mes recherches de j 8 1 7 sur la théorie de la réciprocité, dans lesquelles, ce me semble, j'ai prononcé d'une manière assez affirmative sur la relation qui lie, en général, le degré ou le nombre des intersections en ligne droite au nombre des tangentes issues d'un même point. Je ne puis m'expliquer cette obstination à nier des faits mathématiques que par un autre passage du Rapport de M. Cauchy (") sur mon Mémoire relatif à

(* ) On trouvera ces articles reproduits dans la Section supplémentaire du présent volume.

(**) Foyez ce Rapport imprimé à la [.âge 227 du tome IX du Bulletin clés Sciences mathématiques. — Pour la commodité des lecteurs, nous le reproduisons à la fin de ce volume, ainsi qu'un extrait des divers articles cités du Bulletin de Férussac. — (Note de i865.)

SECTION III. — ANALYSE DES TRANSVERSALES. 2i5

la théorie des polaires réciproques y passage dans lequel il est dit que, « pour » mettre hors de doute la conclusion du n° 66 de ce Mémoire, sur le degré » de la polaire réciproque d'une courbe donnée, il paraîtrait nécessaire de » substituer à la démonstration géométrique de M. Poncelet une démons- » tration analytique. » Or, le genre de raisonnement que j'ai mis en usage dans cet endroit me semble tout aussi rigoureux que peuvent le désirer ceux qui ne sont pas des admirateurs exclusifs des méthodes purement algébriques.

J'avais en effet démontré, à la page 214 du tome YIII des Annales de Mathématiques, en me fondant sur quelques données de calcul fort simples et en elles-mêmes incontestables (*), que les courbes planes de degré m ont, en général et au plus, m[m — i) tangentes issues d'un point arbitrairement donné et dont les points de contact se trouvent tous situés sur une ligne du degré m — 1 seulement : ce principe une fois admis, on en conclut inévitablement que les réciproques polaires de pareilles courbes sont d'autres courbes du degré m[m — \) en général et au plus.

A la vérité, j'ai négligé de rapporter ou même de rappeler, dans le n*^ 66 du Mémoire précité (Sect. II), cette démonstration analytique relative au nombre des tangentes; mais j'avais cru pouvoir m'en dispenser, attendu qu'elle me semblait à la portée de tout le monde, et que la proposition analogue, sur le degré des surfaces coniques circonscrites à une surface de degré donné, avait déjà été signalée par Monge à la page i5 de son Application de l'Analyse à la Géométrie, ouvrage qui est généralement connu, et qui sert de base à l'enseignement des élèves de l'École Polytechnique. D'ailleurs, la démonstration purement géométrique de ces mêmes propositions repose sur des considérations qui ressortent essentiellement de la théorie générale des courbes et surfaces des divers ordres, que je ne voulais nullement entamer à propos de la doctrine des polaires réciproques, et qui trouvent leur place naturelle dans ce paragraphe, spécialement consacré à répandre un jour nouveau sur les principes qui servent de fondement à cette doctrine.

( * ) M. Bobillier a démontré, depuis, ce théorème par une marche analytique générale et fort élégante, dans le tome XIX des Annales, n° ^, d'octobre 1828; ce qui n'a pas empêché lesa\tint Rédacteur de ce Recueil de manifester, dans une Note annexée au Mémoire de M. Bobillier, des doutes sur la légitimité de nos conclusions, observant que le nombre m [m — i) n'est qu'un simple maximum, une limite que le nombre des tangentes pouvait ne jamais atteindre ; il déclare même ne pas bien concevoir une courbe qu'une droite ne pourrait couper qu'en trois points seulement, et à laquelle néanmoins on pourrait mener six tangentes d'un même point de son plan. Voyez la page 285, t. X, du Bulletin des Sciences, où il est rendu compte de ce numéro des Annales.— (Note de i83i.)

2i6 PROPRIÉTÉS PROJECTIVES DES FIGURES.

232. La justice veut aussi qu'avant d'entamer cette matière et après les réflexions critiques qui précèdent, nous déclarions que les géomètres dont nous avons parlé sont à peu près complètement revenus de leur erreur, ou plutôt des doutes qu'ils avaient élevés contre le résultat de nos premières démonstrations, en reconnaissant, sur des exemples particuliers et par les propres ressources de l'Analyse algébrique, qu'il est des courbes planes, du degré m, qui ont réellement m{m — i) tangentes distinctes issues d'un même point, ou dont la polaire réciproque s'élève réellement au degré m (m — i) (*)• Mais on n'en doit pas moins s'étonner que, dans l'état actuel de nos connaissances mathématiques, il ait fallu, à des savants d'une habileté incontestable, plusieurs années pour se rendre à l'évidence d'un fait géométrique en lui-même fort simple, et qu'avec un peu d'attention (") ou avec de légers calculs ils eussent pu s'approprier tout d'abord ; mais tel est le résultat de l'espèce de défaveur et de prévention qui s'attache aux idées et aux notions les plus évidentes, quand elles contrarient notre manière de voir et les préjugés que nous nous sommes formés sur l'état d'une question.

Montrons actuellement comment, par la voie purement intuitive de la Géométrie, on peut découvrir le nombre des tangentes que, d'un même point, il est, en général, possible de mener à une ligne du degré m donnée sur un plan; ce que, dans notre article du tome VIII des Annales de Mathématiques , nous n'avions, je le répète, établi qu'avec le secours de l'Analyse algébrique, dont la marche, parfois plus expéditive, a le désavantage de ne pas toujours éclairer parfaitement l'objet des questions.

TRANSFORMATION PARTICULIÈRE DES COURBES, APPLIQUÉE A LA RECHERCHE DU NOMBRE DES TANGENTES ISSUES D*UN MÊME POINT; LOI QUI LES LIE AUX POINTS SINGULIERS.

233. En supposant qu'on mette la figure en perspective ou projection conique sur un nouveau plan, de façon que le point donné passe à l'infini, ce qui peut avoir lieu d'une multitude de manières sans rien changer au degré de la courbe ni au nombre des tangentes, la question sera tout d'abord ramenée à celle où il s'agirait de conduire à cette courbe ses différentes tangentes parallèles à une direction donnée.

Cela posé, conduisons à notre nouvelle courbe, censée du degré m, une

( * ) Annales, t. XIX, janvier 1829; Bulletin des Sciences mathématic{ucs , t. XI, p. 91 et 92.

{** ) J'aurais dû ajouter « et de bon vouloir, » puisque la démonstration que j'en avais donnée dix ans auparavant, dans l'endroit déjà cité du tome VIII des anciennes Annales de Mathématiques, avait fixé l'attention même de leur Rédacteur. — (Note de i865. )

suite de transversales parallèles à la direction donnée; elles rencontreront respectivement cette courbe en un nombre m de points réels ou imaginaires, mais en général distincts et à distance donnée, puisque, généralement aussi, ces transversales ne sont ni tangentes ni parallèles aux branches de cette même courbe, la direction donnée étant censée quelconque. Par conséquent le nombre total des distances qui séparent deux à deux ces m intersections, c'est-à-dire le nombre des cordes distinctes qui, dans notre courbe (m), répondent à une même transversale, est généralement et au plus - m (m — i) ;

et, attendu que, pour toute transversale tangente à (m), les deux intersections confondues en une seule au point de contact répondent à une corde nulle, on voit que la question qui nous occupe revient précisément à découvrir toutes les positions de la transversale parallèle à la direction donnée, pour lesquelles cette circonstance particulière arrive.

A cet effet, traçons à volonté, dans le plan de (m), un axefixeç^\\ rencontre, à la fois, toutes les transversales parallèles dont il s'agit; portons, sur chacune de ces transversales et à partir de cet axe, toutes les cordes correspondantes ; et, attendu que le sens de ces cordes n'est pas déterminé à /?non, portons chacune d'elles à la fois au-dessus et au-dessous de l'axe fixe : nous

obtiendrons ainsi, pour chaque transversale, im — -^ — -^ =^m{m — i) nouveaux points, qu'on pourra considérer comme appartenant à une certaine ligne géométrique, et dont la suite, relative aux différentes transversales, formera effectivement une courbe continue comme l'est elle-même, par hypothèse, la proposée, courbe qui se composera d'un nombre m (m— i) de branches, toutes réelles et distinctes, si la première, elle-même, en a un nombre m de pareilles.

En observant d'ailleurs ce qui a lieu pour le cas particulier où la ligne proposée serait formée par un système de m lignes droites, et spécialement celui où elle se réduirait au système de deux droites seulement ou d'une ligne quelconque du second ordre, on reconnaîtra facilement la nécessité d'avoir égard au double sens de chaque corde pour le tracé complet de la dérivée^ et généralement on verra, par la loi de continuité, en suivant avec" attention le mouvement de chacun des points générateurs de cette dérivée par rapport à ceux de la proposée, qu'effectivement tous les points déterminés doublement, comme on vient de le dire, sont assujettis à la même loi ou appartiennent à un même mode de génération continu.

234. Il résulte de ces observations et de ce que chaque transversale pâli. 28

rallëleàraxe fixe rencontre généralement la dérivée en un nombre m (m— i) de points et non davantage, que cette courbe est nécessairement aussi du degré m(m— i), et qu'elle ne saurait être d'un degré plus élevé. C'est là, en effet, une conséquence nécessaire du principe de continuité [Introduction commune aux Sect. III et IV, p. 129), qui veut d'ailleurs qu'on tienne compte aussi bien des intersections idéales que des intersections réelles, et qu'on regarde comme distinctes celles qui se trouvent confondues deux à deux, trois à trois, etc. Donc enfin la ligne que nous venons de construire dans toutes ses parties, et qui est symétrique par rapport à l'axe fixe, rencontrera généralement cet axe en m (m — i) points et non davantage, auxquels correspondront également m [m — i) transversales parallèles ou ordonnées, qu'on pourra considérer comme autant de tangentes de la proposée, attendu que, pour chacune d'elles, l'une au moins des m[m—j) cordes de cette proposée sera nulle.

Tel est donc aussi généralement le nombre des tangentes demandées, nombre absolu et invariable, si l'on entend comprendre, comme nous le faisons en vertu de la continuité, les tangentes imaginaires, les tangentes situées à l'infini, au nombre de celles dont il s'agit, et si nous comptons pour deux, pour trois, celles qui répondent à des intersections doubles, triples de la dérivée avec l'axe fixe d'où se mesurent les ordonnées, intersections qui correspondent au cas où cette dérivée serait tangente à cet axe ou aurait, sur ce même axe, des points de croisement, de rebroussement, des points isolés ou conjugués, etc.: de tels points, qu'on peut comprendre indistinctement (205) sous la dénomination générale de points multiples, ont en effet pour caractère géométrique que toute droite qui y passe contient une ou plusieurs des intersections de la courbe, confondues en une seule en ces mêmes points.

235. On peut juger, d'après cela, que la recherche du nombre effectif des tangentes distinctes de la courbe proposée, et qui sont parallèles à une droite ou issues d'un point donné, se lie intimement à celle des points multiples mêmes de cette courbe. La discussion montre, en effet, que tout point de cette espèce correspond, dans la dérivée, à un point semblable situé sur l'axe de cette dérivée, et que cet axe n'en peut contenir aucun, de ce genre, auquel ne réponde réciproquement un point pareil dans la primitive. On remarquera aussi qu'attendu la symétrie de la dérivée par rapport à l'axe, ce dernier ne peut la toucher réellement qu'en des points où deux branches au moins viennent elles-mêmes se toucher suivant cet axe. C'est ce qui

arrive, par exemple, pour les points de rebroussement, de différentes espèces, appartenant à la courbe primitive; car, non-seulement de tels points demeurent des points de rebroussement du même ordre dans la dérivée, mais en outre ils ont l'axe fixe pour tangente; ce qui suppose au moins trois points confondus en un seul sur cet axe, lesquels répondent par conséquent à un égal nombre de tangentes, de la courbe primitive, superposées entre elles.

En général, la discussion, pour ce cas, prouve qu'à tout point de rebroussement simple et à deux branches, duquel on peut dire et démontrer rigoureusement que la tangente en ce point rencontre généralement la courbe en p points confondus en un seul, de sorte que, le degré de cette courbe étant m par exemple, le nombre des intersections distmctesou indépendantes du point dont il s'agit soit m — p; la discussion prouve, disons-nous, qu'à un tel point correspondent au moins/? tangentes confondues en une seule, si le rebroussement est de la première espèce, et/? — i s'il est de la seconde.

Les points d'inflexion simple, ou qui sont tels, qu'à toute droite arbitrairement menée par ces points correspondent, sur la courbe, autant d'intersections distinctes qu'il est marqué par son degré, ces points, dis-je, ne donnent évidemment pas lieu à des tangentes superposées, à moins que la transversale ne se confonde avec la tangente même du point considéré, auquel cas elle représente deux tangentes réunies en une seule, tout comme la tangente au point de rebroussement simple et de première espèce en représente quatre, et la tangente au point de rebroussement de la seconde espèce cinq. Mais nous ne poursuivrons pas cette discussion épineuse, et qui ne nous fournirait que des données fort incertaines relativement aux points de rebroussement ou d'inflexion d'espèces supérieures.

236. Quant aux points multiples qui répondent au croisement véritable des branches de la courbe proposée ou primitive, on peut, sans aucune incertitude, fixer généralement le nombre des tangentes superposées qui leur correspondent dans la dérivée, en observant que, si p est le nombre des branches distinctes dont il s'agit ou des tangentes à ces branches, cette dernière courbe devra également avoir, au point correspondant de l'axe,/? (/? — 1 ) branches distinctes passant par ce point, et qui indiqueront un pareil nombre de tangentes superposées de la courbe primitive, passant par le point multiple qui lui est relatif.

S'il s'agit d'un point conjugué dont l'ordre de multiplicité soit/?, c'està-dire duquel on puisse dire que/? branches se trouvent confondues en ce

point, le nombre des tangentes qui lui correspondent devra, en vertu de la continuité, être encore considéré comme égal àjo(/î— i), attendu qu'il représente à lui seul une sorte de courbe du degré 7?. On arrive à la même conséquence en regardant le point conjugué comme le croisement de p branches imaginaires de la courbe, d'après la même notion qui permet de regarder indifféremment un point réel comme un cercle de rayon nul ou comme le croisement de deux droites imaginaires.

Du reste, on reconnaîtra aisément l'ordre de multiplicité d'un point quelconque donné, en recherchant rigoureusement combien de points de la courbe, confondus en un seul avec celui-là, porte toute transversale menée arbitrairement par ce même point; sur quoi il est essentiel de remarquer qu'il ne sera pas nécessaire de s'inquiéter de la réalité ou de la non-réalité des branches qui y passent, c'est-à-dire s'il est un point de croisement véritable, ou en partie de croisement (205), en partie conjugué, ce qui peut évidemment arriver dans certains cas.

Il peut aussi se faire que deux des branches de la courbe primitive et qui aboutissent au point considéré aient la même tangente en ce point ou y aient un contact d'un certain ordre; alors, n représentant cet ordre, /î 4- i le nombre des points consécutifs communs aux deux branches, il faudra évidemment ajouter sl p {p — i) le nombre in pour avoir celui des tangentes superposées avec celle dont il s'agit, puisque chacune des intersections consécutives doit être considérée comme un point double.

237. Ces considérations, sur lesquelles nous avons un peu insisté, montrent en quoi réside la difficulté d'assigner, dans chaque cas particulier, le nombre effectif des tangentes distinctes d'une courbe, et qui sont parallèles à une droite ou issues d'un point arbitrairement donné sur son plan. Mais, comme il est évidemment une infinité de lignes, d'un degré donné m, qui n'ont aucun point multiple même dans le sens général que nous entendons, il en résulte qu'il existe aussi une infinité de lignes de ce degré qui ont m{m — i) tangentes distinctes issues d'un point donné. Quoi qu'il en soit, et en admettant même qu'on n'eût jamais vu ni construit de lignes géométriques privées de tout point multiple, il n'en serait pas moins vrai de dire, d'après ce qui précède et d'après le principe de continuité, que toujours le nombre total des tangentes d'une courbe de degré m sera égal à m (m — 1), pourvu qu'on tienne compte des tangentes superposées, des tangentes imaginaires, etc., de la même manière que, dans l'appréciation du degré d'une courbe donnée, nous tenons compte aussi de ses intersections de toutes les

espèces avec une transversale arbitraire, sans nous inquiéter d'ailleurs s'il existe ou non des transversales dont les intersections soient essentiellement réelles ou distinctes.

En effet, la Géométrie intuitive comme la Géométrie analytique nous présentent à l'envi des courbes et des surfaces dont certains points, certaines branches ou nappes sont imaginaires, confondues, réduites à des lignes ou à des points isolés, etc., soit en totalité, soit seulement en partie [Supplément du tome I" de ce Traité, n" 628) (*), sans que ces courbes et surfaces cessent, pour cela, de jouir de certaines propriétés, sans qu'elles doivent cesser, d'une manière absolue, de faire l'objet de nos raisonnements et de nos investigations géométriques, car toutes ces bizarreries ne nous répugnent que parce que nous ne possédons pas bien encore la métaphysique de la science qui a pour objet la grandeur figurée.

EXEMPLES particuliers; RECHERCHE DD DEGRÉ ET DU NOMBRE DES INTERSECTIONS MUTUELLES