II. a

toutes, de désigner par (X) la droite indéfinie qui contient les n points inconnus x, x', x",. . . ainsi que les n-\-i points donnés a, b, c, cl,. . . g, h, et généralement par (A) toute transversale ou droite arbitraire contenant a, par (R) toute transversale contenant b, par (C) toute transversale contenant c, etc.; ces différentes transversales étant d'ailleurs situées dans un plan unique passant par (X). Enfin noys convenons également de désigner par (AR) l'angle ou le système des deuxdroites(A) et (R), par (ARC) le triangle formé par la rencontre mutuelle des trois droites (A), (R) et{C), en supposant d'ailleurs que C représente l'intersection de (A) et de (R), A l'intersection de (R) et de (C), etc.

217. Première solution générale. — Les conventions qui précèdent étant admises, concevons, par l'un quelconque a des points donnés sur (X), la transversale arbitraire (A); prenons à volonté, sur cette droite, n\iO\nisp, p', p", . . ., distincts de «, pour y faire passer une ligne du degré n, que nous désignerons par ( n ) et qui devra contenir, en outre, les n points x, x', x",..., lesquels seront ainsi déterminés quand (n) le sera. Par le point 6, menons pareillement l'arbitraire (R), et, sur celte arbitraire, prenons les n — i points quelconques q', q'^, q'",... pour y faire passer également la courbe (n); la /i'*"" intersection q, de celte courbe et de (R), sera évidemment déterminée en vertu de la première des équations ci-dessus. Car le triangle (ARX), étant considéré comme transversal de (n), donnera la relation

(Bp){\q){Xx) {ap){\q){bx) {\p){Aq){Bx) {Xp)ibq){axy

attendu qu'ici le sommet R du triangle (ARX) se confond avec a et le sommet A avec b.

On aura donc, pour déterminer (166) le point g sur (R),

{ap)(Xq'){bx)\q {ap){Xq') ^ X^ {\p){bq')iax)bq {\p){bq')' bq ''

équation dans laquelle il n'y a d'inconnues que \q et bq.

Si d'ailleurs K était donné en produits de segments, comme cela a lieu pour la question du n" 207, il est clair (172 et suivants) qu'on pourrait construire linéairement le point q au moyen de tous les autres. El il est évident réciproquement que la connaissance du système des n points q, q', q",. . . et de celui des n points p, p', p",. . ., équivaut à celle du rapport K, et peut par conséquent tenir lieu de la première des équations proposées.

Menons pareillement la transversale arbitraire (C) par c, et prenons sur elle les n — I points quelconques r', r", r'", . . . considérés encore comme appartenant à ( n ) ; on construira la n''"'" intersection /-, de (n) et de (C), en regardant, à son tour, le triangle ( ACX } comme transversal de la courbe ( n ) dont il s'agit ; au moyen de quoi, le système de ces n nouveaux points et des deux précédents devra encore être censé équivaloir aux deux premières des relations données, ou tenir lieu de la connaissance de K et de L.

SECTION III. - ANALYSE DES TRANSVERSALES. 2o3

On continuerait ainsi évidemment tant que le nombre des systèmes de points p, de points q, de points r, . . ., de points m, successivement déterminés de cette manière, ou tant que le nombre des droites arbitraires (A), (B), (C),. . . (F) qui leur correspondent, ne surpasserait pas n — i ; mais on ne saurait aller au delà, vu que le système des n points x, x', x",. . ., qui doit être censé donné par les équations cidessus, réuni aux n — i autres systèmes des n points j», des n points q,. . -, des n points u que nous supposons appartenir, ainsi que le premier, à une courbe unique du degré n, ne laissent plus d'arbitraire (214) que le choix d'un seul et dernier point, dont la connaissance, comme on va le voir, complète entièrement les données graphiques nécessaires pour déterminer celte courbe, et pour ramener son tracé à la résolution de systèmes d'équations analogues aux proposées (211), mais en nombre inférieur d'unç unité; ou, ce qui revient au même, pour ramener ce tracé à celui d'une autre courbe dont le degré serait seulement n — i.

218. Pour le démontrer, soit v ce point choisi à volonté dans le plan des droites (X), (A), (B), . . .; menons les nouvelles droites vg et nh aux derniers points g et h donnés sur (X); ces droites, que d'après les conventions précédentes nous nommerons (G) et (H), rencontreront de nouveau et respectivement la courbe (n) en n — I points j', j",j"',. . . et en n — i points z', z" , z'",. . . dont la détermination, je le répèle, dépendra de la résolution d'une question analogue à la proposée, mais d'un ordre moins élevé.

Considérant, par exemple, la droite (G) ou vgen particulier, on prendra succès* si vement chacun des n — i triangles ( GX A ), ( GXB ), ( GXC ),...,( GXF ) pour transversal de la courbe, ce qui donnera lieu à autant de relations dislinctes de la forme de celles du n° 213, et qui seront, en effet, aptes à définir les n — i intersections j', j", /'", . . . relatives à la droite dont il s'agit, attendu que les valeurs des rapports

~ — -, -4 — -5 7^ — [,•••■> qui entreront dans leurs seconds membres, seront toutes

{ax) [ox) [ex]

données immédiatement par les n équations primitives (216) qui définissent les points X, x', x", .... Supposant donc qu'on sache déjà résoudre, pour le degré n — I ou pour n — i équations, le problème général qui nous occupe, et traitant le système des points z', z", z'", . . . , comme on vient de le faire pour celui des points /', j", 7 '", . . . , on connaîtra n -+- 1 systèmes de n points en ligne droite, relatifs à la courbe (n), lesquels seront en nombre plus que suffisant (211 et suiv.)pour en déterminer les différents systèmes d'intersections avec une droite mobile autour de l'un quelconque de ces points, et ce à l'aide d'une suite d'équations qui se rapportent elles-mêmes toutes au degré n — i .

219. On simplifiera un peu la première partie de ces constructions, celle qui se rapporte à la détermination des points/', r", y'" ,. • • et z' , z", z'",. . ., en remarquant que, puisque les n — i points q', r', s\. . . et les n — i points q", r", s", . . . ont été pris d'une manière entièrement arbitraire, on peut les choisir respectivement sur les droites (G) et (H) qui joignent le point v aux deux derniers des points donnés, g et h.

En effet, attendu que les n — i points v, q', r, s',. . . appartiendront alors à la

2o4 PROPRIÉTÉS PROJECTIVES DES FIGURES.

courbe (ai), la droite (G) qui les porte ne rencontrera plus celle-ci qu'en un seul et dernier point/, que l'on construira immédiatement et linéairement (165 et 172] en considérant (GXA) comme un triangle transversal de cette même courbe. On construira pareillement le n'^"" point d'intersection z, appartenant à vli ou (H), parla considération du triangle (HXA); menant enfin la droite j-z, que nous nommerons (Y), elle rencontrera («) en n — 2 autres points qu'on déterminera, à leur tour, en considérant les /i — 2 triangles ( YAB ), (YAC), (YAD),..., (YAF) comme transversaux de cette courbe, ce qui donnera sur-le-champ autant d'équations distinctes, de la forme des proposées, mais qui ne se rapporteront plus qu'au degré n — 2.

La courbe [n), qui, par ses intersections avec (X), donne les w points^, x',x" ,. . . demandés, devant contenir le système des « points trouvés en dernier lieu sur (Y), ainsi que les n — i autres systèmes de points q, de points /■,..., de points u, situés sur les droites respectives (A), (B), (C),...,(F), cette courbe, dis-je, qui doit en outre passer par v, se trouvera complètement déterminée (211 et suiv.) comme dans le cas qui précède, et son tracé sera ainsi ramené à celui d'une série d'autres courbes d'un degré moindre d'une unité que le sien propre, et dont chacune n'exigera, à -son tour, que des constructions d'un degré moindre d'une unité, et ainsi de suite jusqu'à ce qu'on soit retombé sur des constructions du second ou du premier degré seulement.

220. Deuxième solution générale, plus simple. — Ces constructions étant encore fort compliquées, on pourra les simplifier notablement, du moins en ce qui concerne le tracé de la ligne auxiliaire {n), si, au lieu de se donner un point ordinaire, tel que v, pour y faire passer cette ligne, on supposait que ce point fût multiple d'un certain ordre; seulement alors il faudrait diminuer en conséquence le nombre des droites (A), (B), (C),. . . ou des systèmes de points arbitraires qu'elles portent.

Supposant, par exemple, que v soit multiple de l'ordre n — 2, il est clair que la courbe {n) sera entièrement déterminée (198 et suiv.) par le système des n points x définis par les équations du n° 216, et des n points /? de ( A ), des n points ^ de ( B ), construits comme il a été expliqué au commencement du n" 217, de sorte qu'on ne pourra plus se donner arbitrairement aucun autre point pour y faire passer cette courbe. Par conséquent, si, à l'aide de ces deux derniers systèmes de points seulement, du point multiple v et des n équations données qui se rapportent aux n -+- i points «, b, c,. . . , g el h, on parvient à déterminer un dernier système de n points /•, r', r" ,. . . situés à l'intersection de (n) et d'une droite quelconque, on sera par là même en état de construire tous les points de cette courbe par un procédé qui n'exigera (198 et suiv.) que la répétition d'opérations du premier et du second degré seulement.

Pour prouver la possibilité de déterminer un tel système de points ou un système de points équivalent, montrons d'abord comment on peut construire les deux intersections de la courbe avec chacun des rayons vecteurs vc, vd,. . ,, vget vh, ou(C), (D ),..., (G) et (H), qui sont en nombre n — i. Soient, par exemple, y' etj" les intersections inconnues relatives à (C); on considérera successivement les triangles (CXA), (CXB) comme transversaux de la courbe {n), ce qui donnera deux relations

SECTION m. — ANALYSE DES TRANSVERSALES. 2o5

dans lesquelles il n'y aura d'inconnus que les segments des points f , y" dont il s'agit, et ceux des points x, x' , x",. . .; remplaçant donc les rapports des produits de ces derniers segments par leurs valeurs déduites de celles des équations proposées (216) qui sont relatives aux points a, b et c, on aura deux équations propres à construire j' et j", par le tracé d'une ligne qui, d'après ce qui précède (219), sera simplement du second ordre, et pourra même être construite par des opéralions purement linéaires.

Ayant déterminé, de la même manière, le système de deux points z' et z" situés sur vc, celui de deux points t' et /" sur vd, et ainsi de suite, on pourra supposer, pour simplifier le reste de la solution, que les points p' et g', qu'on s'était d'abord donnés d'une manière entièrement arbitraire sur (A) et (R), aient été choisis de laçon que la direction p' q' passe par le point c, direction que nous désignerons par (C) pour la distinguer de (C) ou cv. Cela posé, afin de déterminer les n — 2 autres intersections de (C,) avec la courbe {n), on considérera successivement les n — 2 triangles (CXD), (C,XE),. . ., (C.XG), (C,XH) comme transversaux de cette courbe, ce qui donnera un pareil nombre d'équations distinctes, propres à déterminer les intersections dont il s'agit, attendu que les rapports des produits relatifs à X, x', x",... pourront encore en être éliminés, au moyen des équations proposées.

Supposant, de même, que la droite (D.) des points p" et q", restés totalement arbitraires, ait été prise, à son tour, de façon à passer par le troisième point d, on déterminera pareillement ses n — 2 autres intersections avec (n); et l'on voit qu'on pourrait opérer encore ainsi à l'égard d'une troisième droite contenant />'", q'" et passant par e, ce qui permettrait de construire la courbe tout entière par le procédé des n"' 200 et 201. Mais, comme chacune de ces opérations suppose la résolution de n — 2 équations de la forme de celle du n° 216, il sera plus simple et plus expéditif de se borner à la considération des deux premières droites/?'^', p"q" ou (C) et (1),), dont les systèmes d'intersections avec notre courbe (n), joints à ceux des droites (A) et(R), suffisent pour construire successivement tous les couples d'intersections de cette courbe avec des transversales arbitrairement menées par le point multiple v.

221. Soit, en effet, vu' ou (U) une pareille transversale rencontrant la courbe aux points u' et u" ; pour déterminer directement ces points, on imaginera une ligne du second ordre qui les contienne à la fois et passe, de plus, par les trois points q', p', p" qui sont connus et dont celui du milieu est à l'intersection de (A) et de (Ci). Cette ligne rencontrera, de nouveau, la droite (R) qui contient tous les points q, q', q",. . . , et la droite (D,) qui contient p", q" et d, en deux autres points qu'on déterminera linéairement en considérant, d'une part le triangle (UAR), d'une autre le triangle (UC,D,), comme à la fois transversaux de (n) et de la ligne du second ordre dont il s'agit; car il en résultera deux couples d'équations, de chacun desquels éliminant les produits de segments relatifs aux intersections communes u' et u" de ( U ) avec les courbes dont il s'agit, on déduira deux nouvelles équations qui ne contiendront plus que les simples rapports des segments relatifs à chacun des deux

2o6 PROPRIÉTÉS PROJECTIVES DES FIGURES.

points inconnus de la ligne du second ordre. Celte ligne, passant en outre par les trois autres points q' , p' et p" , sera ainsi complètement déterminée, et donnera, par ses intersections avec (U), le couple des points u' et u" demandés.

Faisant maintenant varier la transversale (U) autour de v comme pôle, on obtiendra, d'une manière assez rapide, la suite de tous les couples de points analogues à «' et u", qui tracent la courbe [n] dont les intersections .r, x' , x",. . ., avec la droite (X), se trouvent être précisément les n points satisfaisant aux équations proposées.

222. Troisième et dernière solution générale. — Si, au lieu de supposer v un point multiple de l'ordre n — 2, on le supposait de l'ordre n — 1, on ne pourrait, au plus, se donner arbitrairement que les n points p, p', p", . . ., situés sur la droite (A) menée à volonté par a; car nous avons vu (203 et suiv.) qu'un tel point multiple et les deux groupes de n points, p, p', p", . . ., x, x', x", , . . , dont le dernier doit toujours être censé défini complètement par les n équations primitives, suffisent pour déterminer et même pour construire linéairement la courbe du degré n qui passe par ces différents points. D'ailleurs, en suivant toujours l'esprit des méthodes mises en usage dans ce qui précède, on chercherait à déterminer, au moyen des points arbitraires p, p', p",. . . du point multiple v et des n équations proposées, un nouveau système de n points de la courbe, situés en ligne droite, lesquels, réunis avec les premiers, serviraient à décrire linéairement cette courbe sans qu'il fût nécessaire de recourir directement aux points x, x', x", . . .

En effet, menant de v vers les différents points b, c, d,. . ., g, h, en nombre n, des droites ou rayons vecteurs (B), (C), (D ),..., (G) et (H), on déterminera linéairement leurs dernières intersections avec la courbe [n), et qui sont distinctes de v, en considérant successivement les triangles (AXB), (AXC), (AXD ),,.., (AXH) comme transversaux de cette courbe, et remplaçant, dans les équations correspondantes, les rapports des produits de segments [ax), [hx], [ex], [dx],. . .,{hx) par leurs valeurs tirées des équations primitives; car il n'y restera plus d'inconnus que les rapports simples des paires de segments qui, sur chacun des rayons vecteurs vb, vc,..., vh de ces triangles, appartiennent aux n intersections cherchées, rapports qui seront ainsi donnés immédiatement par chaque équation. Conduisant enfin, pai' l'un quelconque p des points/?, />', />",... et par b, je suppose, une nouvelle droite (B, ), les n — i autres intersections tt', -k",. . . de cette droite et de la courbe seront déterminées par un système d'équations du même genre que les proposées, en nombre n — i, et qui seront données par les triangles successifs (XB,C). (XBiD),. . ., considérés à leur tour comme transversaux de cette courbe (*).

( * ) La question so trouve ainsi ramenée à une autre du degré n — i seulement ; mais on la rabaisserait de suite au (« — 2)* degré, si, au lieu. de prendre les points/^, p', p",... de (A) totalement arbitraires, on déterminait l'un d'entre eux d'après la condition que l'intersection de pb ou(B,) avec cv ou (C), par exemple, fût sur la courbe {n). En effet, la même" équation qui, d'après ce qui précède, donne cette dernière intersection au moyen des points /?, /»', /?",..., servirait aussi à déterminer linéairement l'un de ceux-ci au moyen de l'intersection dont il s'agit, censée donnée à priori; et, si l'on supposait qu'à son tour l'intersection de r/v ou (D) et de (B,)

Ayant ainsi toutes les intersections/?, p', p",... ei p, i:',rf,... relatives aux droites (A) et (R), on sera en état de construire linéairement autant d'autres points de (n) qu'on le voudra, situés sur les différents rayons vecteurs qui partent du point multiple V. Menant, par exemple, la transversale vm, qui rencontre en m et /respectivement les droites (A) et (R,) dont il s'agit, on sera en état de construire sa nouvelle intersection z avec (n), en ne faisant usage que d'une simple règle; mais, au préalable, il sera nécessaire de déterminer la tangente au point/?, qui est commune à (A) et à (R), ce qu'on fera sans difficulté à l'aide de la relation même qui, d'après le n° 171, lie le point z à l'intersection correspondante de cette tangente et de mv, intersection que nous nommerons a. En effet, la considération du triangle Imp, dont le sommet p est sur la courbe (n), donne la relation

{mp'){m:'] lv"~' Iz ma.

{np') {In') mv"~' mz Ix

qui servira à déterminer linéairement (172, ilk et 184 ) le point a de la tangente en p, si l'on suppose que v/ se confonde précisément avec la direction de l'un des rayons vecteurs vb, vc,. . ., pour lesquels, d'après ce qui précède, z est connu, ou qui servira à construire linéairement z, quand la tangente dont il s'agit aura été construite une fois pour toutes.