SECTION IV

PROPRIÉTÉS COMMUNES AUX SYSTÈMES DE LIGNES ET DE SURFACES GÉOMÉTRIQUES D'ORDRE QUELCONQUE (*).

Dans les précédentes Sections, comme dans tout le cours du premier volume de cet Ouvrage, nous nous sommes bien plus occupés de rétablissement

{*) Cette Section constituait un quatrième Mémoire séparé du précédent, mais qui devait l'accompagner dans la présentation, en i83i, à l'Académie des Sciences de l'Institut, et dont les matériaux avaient été préparés ou du moins ébauchés, dès avant mon entrée comme professeur à l'École d'application de Metz, en janvier 1825. Ce ne fut que dans l'hiver de i83o à i83i, pendant la suspension du cours de Mécanique, que je pus en reprendre la rédaction et lui donner la forme actuelle, demeurée imparfaite en raison des lacunes qu'elle renferme à divers points de vue, et qui proviennent de la suppression de nombreux corollaires et développements, suppression maintenue fidèlement dans la présente publication, afin d'en resserrer le contenu dans de justes limites. Seulement, j'ai tâché de suppléer à ces lacunes par l'addition de quelques passages ou résumés servant de points de transition et de supplément aux parties supprimées, quoique non entièrement effacées dans l'ancien manuscrit.

A cela près, comme dans les précédentes Sections, je n'ai apporté aucune modification essentielle au texte, sauf une correction qui sera mentionnée plus loin au n" 292 ; car je ne considère pas comme telles l'arrangement indispensable des titres, sous-titres, le numérotage des articles et les renvois laissés en blanc dans les parenthèses, dont le remplissage, après trente-cinq ans écoulés, m'est devenu extrêmement pénible et peut contenir quelques inexactitudes, malgré la scrupuleuse attention que j'y ai apportée. La seule chose qu'il me soit permis d'affirmer, c'est que je n'ai introduit dans cette publication aucun perfectionnement qui puisse en altérer le sens, en étendre la portée, ou m'approprier des idées que je ne possédais pas en i83i, alors que je présentai mes derniers Mémoires à notre Académie des Sciences. Et c'est précisément en vue de sauvegarder mes propres droits de priorité qu'obligé d'ajourner la publication du volume que je livre au public si tardivement, j'ai cru devoir à diverses époques prendre date relativement aux théories principales qu'il renferme, par certains articles ou passages d'articles imprimés, qu'on trouvera reproduits dans la Section supplémentaire ci-après.

A l'égard des suppressions mentionnées ci-dessus et qui remontent toutes à l'époque précitée (i83o à i83i), il est nécessaire de remarquer qu'elles concernent principalement les applications du principe de réciprocité polaire (Sect. III) à diverses propositions dans le genre de celles que M. Gergonne avait si fortement recommandées dans les Annales de 1827, et dont j'avais non moins vivement combattu en 1828 et 1829 la fastidieuse multiplication et superfluité [voir la Section supplémentaire, § II, ou le n° 304 ci-après[). J'ajoute que les propositions principales, maintenues dans la rédaction de l'hiver de i83o à i83i, sont en majeure partie extraites d'un cahier manuscrit remontant à l'hiver de 1822 à 1823, cahier conservé parmi mes papiers et dont le préambule seulement est rapporté dans le § I" de la Section ci-après. — (Note de i865.)

des méthodes et des principes généraux que de l'exposition dogmatique des propriétés ou théorèmes individuels relatifs à certaines figures, quels qu'en fussent d'ailleurs le mérite et l'utilité propres. Car les méthodes, les principes généraux et féconds sont à mes yeux, je dois le redire, les acquisitions les plus précieuses comme les plus rares en Mathématiques; tandis que les théorèmes particuliers, isolés, sans lien nécessaire, les problèmes et les corollaires plus ou moins ingénieux qui découlent de ces principes étant en nombre pour ainsi dire illimité, ne peuvent se retenir dans la mémoire quand ils ne sont pas d'une application journalière et en quelque sorte usuelle. C'est là une vérité incontestable et jusqu'à présent incontestée, qui doit nous diriger dans l'exposé des méthodes de cette quatrième Partie, dont l'étendue serait sans bornes si nous ne prétendions nous restreindre aux conséquences les plus générales, les plus élégantes et les plus simples de chaque espèce.

De V involution dans les systèmes de points en ligne droite, de courbes ou de surfaces a intersections communes.

252. Les précédentes Sections nous ont offert des exemples divers de faisceaux formés de droites et de plans quelconques rayonnant autour d'un lieu commun d'intersection ou de convergence mutuelle, et susceptibles de prendre différents noms selon la loi ou condition qui les unit entre eux ; par exemple, d'être tangents à des lignes ou surfaces données, etc.

La Section III, en particulier, offre des exemples de systèmes plus complexes, dont les propriétés remarquables sont énoncées sous une forme plutôt implicite qu'explicite; quoique, en y réfléchissant, il soit facile, pour les lecteurs attentifs, d'en tirer, sans trop d'hésitation, les divers corollaires qui doivent nous occuper dans ce paragraphe, j'entrerai néanmoins ici dans quelques développements sur certaines théories géométriques d'un intérêt spécial, relatives à de tels systèmes, notamment sur celles de ces questions qui se rapportent aux transversales ou sécantes (réelles ou idéales), communes à tout un système de lignes, de surfaces géométriques de même ordre.

Cette étude, en effet, est facile d'après les procédés généraux de la Section III, c'est-à-dire en considérant de telles sécantes comme faisant partie des côtés indéfiniment prolongés d'un triangle ou polygone rectiligne

SECTION IV. — DES SYSTÈMES DE LIGNES ET DE SURFACES. 287 transversal du système proposé. Car, par la combinaison mutuelle, successive ou simultanée, des équations de segments qui se rapportent aux hypothèses adoptées dans chaque cas, on éliminerait de ces relations purement métriques tous les segments communs aux lignes ou systèmes de lignes géométriques prises deux à deux, et l'on arriverait ainsi à de nouvelles relations métriques ou descriptives, tout à fait indépendantes de la grandeur et par conséquent de la réalité effective de ces segments communs ou des intersections qui s'y rapportent; ce dont on a eu de nombreux exemples dans la précédente Section. On pourrait ensuite passer au cas de deux, de trois systèmes distincts de sécantes communes, etc.; mais il m'est impossible ici de suivre cette marche méthodique ou ascendante, et je dois me borner à présenter quelques éléments ou fragments épars de cette théorie, propres seulement à fixer l'attention des lecteurs.

PRÉLIMINAIRES RELATIFS A DES CAS SIMPLES d'iNVOLUTION ET d'iNTERSECTION MUTUELLE DE LIGNES GÉOMÉTRIQUES SUR UN PLAN.

253. Commençons par rappeler que les propriétés individuelles des lignes géométriques continues s'appliquent également aux systèmes composés de droites ou de courbes, en nombre quelconque, situées sur un même plan, et considérées dans leur ensemble comme un lieu géométrique unique, sinon continu dans toutes ses parties, ayant pour degré la somme de leurs degrés propres, et assujetti aux mêmes conditions, telles que de passer par certains points, etc. Or, cette double considération conduit à un grand nombre de propositions curieuses, relatives aux combinaisons de lignes géométriques situées dans un même plan.

Considérant, par exemple, une courbe plane géométrique (A;„) du degré TUy coupée par deux droites arbitraires ca, cb, puis une seconde courbe quelconque (B;„) du même degré et passant par les intersections respectives de ces droites avec la première; ces deux courbes seront telles, que si on les coupe ainsi que leurs sécantes communes [réelles ou idéales) par une troisième droite arbitraire ab^ les groupes distincts de m intersections, qui leur correspondent respectivement sur cette dernière droite, seront en involution simple par rapport aux points a, b d'intersection relatifs à ce couple de sécantes; c'est-à-dire que, si l'on nomme/?, p',p",..., q, q' , q'\..., les intersections respectives de la transversale arbitraire ab avec les deux courbes, rt et 6 étant les points où elle est coupée par les deux premières sécantes indéfinies ca, cb, communes aux courbes (A,„) et (B,/i), on aura l'égalité de

rapports composés

np . ap' . np" ... aq.aq' . aq" . . .

bp.bp'.bp"... bq.hq'.hq"...

soit, selon nos conventions (165),

[ap] ^(fi).

[bp] {bqy

relation métrique dans laquelle on peut évidemment échanger entre elles les lettres a et b sans la troubler.

Cela paraîtra évident à priori, si l'on considère successivement les deux courbes comme transversales du triangle abc formé par la rencontre des trois droites ci-dessus, et qu'on élimine des relations métriques qui leur appartiennent les segments relatifs aux intersections communes.

254. Remarquons d'ailleurs que, si l'un des points p,p',... venait à se réunir avec l'un quelconque des points q, g',..., les segments relatifs à ce couple de points disparaîtraient naturellement de l'équation, et qu'il en serait de même des segments relatifs à un nombre quelconque de couples de points confondus, ce qui réduirait l'involution à une autre d'ordre inférieur, relative toujours à deux groupes ou systèmes de points en nombre égal de part et d'autre.

255. Si, au lieu de deux courbes de même degré sur un plan, on avait eu à en considérer deux (A,„), (B„) de degrés différents m etn, m étant plus grand que n, on pourrait ajouter à celle du degré le moins élevé une ligne ou un ensemble de lignes formant un lieu du degré m — n, par exemple, un système de m— n droites, et alors, en séparant dans l'équation ci-dessus les produits des segments relatifs aux intersections de la transversale et du système additionnel, on aurait, en nommant k, k\... ces intersections, et que nous distinguerons ainsi du système des points ^, ^',^",... relatifs à h ligne du degré n :

[ap] {aq){ak) [aq) [ap) [bp)

{bp)~{bq)ibk)-'^{bq)' iaq)~ (bq)^

K désignant le rapport de {ak) à [bk) que l'on peut regarder comme donné, ce qui permet d'étendre la notion de l'involution simple au cas où les groupes de points p,p',... et de points q, q',... sont en nombres différents.

256. Au lieu de considérer comme situées d'une manière quelconque sur

SECTION IV. — DES SYSTÈMES DE LIGNES ET DE SURFACES. 289 le plan des deux courbes les m— n droites ou la ligne de degré m — n que l'on adjoint à la courbe (B„) pour former un lieu de degré m, on peut leur supposer des situations tout à fait particulières, et arriver ainsi à divers théorèmes plus ou moins remarquables.

Ainsi, par exemple, on peut supposer que la ligne complémentaire de (B„), au lieu d'intersections distinctes k, k', k" avec la transversale aby ait un point multiple ou de convergence de ses diverses branches rectilignes Du curvilignes, situé en k sur ab, de sorte que

m—n m—n , [ ClJ(\''' — "

{ak) = a/f , {bk) = b/i ,.••> et par conséquent K=(t-t|

On peut même supposer que ces branches deviennent parallèles ou que le point de convergence k passe à l'infini, ce qui donne simplement

K = I, et par conséquent 7— ^ = rr-ij

{aq) [bq)

forme particulière de l'involution qui ne dépend plus de la donnée numérique K, et peut conduire à beaucoup de conséquences jusqu'ici inconnues.

257. Considérons maintenant les 3 m intersections d'une courbe géométrique continue et plane de degré m avec le système de trois transversales rectilignes arbitraires, et supposons que 3/i de ces intersections, situées n par n sur des transversales différentes, appartiennent à une courbe unique du degré n ou à un système de droites et de courbes de degrés équivalents en somme à /i : il est aisé de voir, d'après les mêmes principes, que les 3 (m — n) intersections restantes seront à une courbe du degré m — n.

En effet, si nous regardons la courbe proposée de degré m comme transversale du triangle formé par les trois droites, et que nous conservions du reste les dénominations du n° 165, nous aurons

{ap){bq){cr) ^ \,bq)[cq)[ar) '

mais, attendu que les 3/2 groupes de points /?,/)',/?",...,/>'""' ^; q, q\ ^",..., q[n-\).^ r, r', r",..., /-'""'^ appartiennent à une courbe du degré n, on aura une relation semblable entre les segments relatifs à ces points, ce qui réduira la proposée à celle-ci :

{ap<'')){bqW){cr("^) {bp^"^){cq^")){arW)~ ''

laquelle, d'après nos conventions, montre que les trois groupes de points p{n) ^^ p/jn)^ q{n) .^ ^{m) ^ ^[n) ^ ^(/«) g^j^j ^^ yjjg autrc courbc du degré m — n.

24o PROPRIÉTÉS PROJECTIVES DES FIGURES.

Ce théorème peut s'étendre à un nombre quelconque de droites arbitraires ou à un polygone quelconque considéré comme transversal d'une courbe plane géométrique.

DE l'iNVOLUTION COMPLÈTE DE TROIS GROUPES DE m POINTS EN LIGNE DROITE.

CONSTRUCTION LINÉAIRE DE l'uN DES GROUPES PAR LES DEUX AUTRES.

258. Considérons le système des intersections de m transversales droites arbitraires tracées sur un plan avec une ligne géométrique quelconque du degré m située sur ce plan : il résulte des principes établis dans la précédente Section (210 à 216) que, par cesm^ intersections, on pourra en général conduire une infinité d'autres lignes géométriques de même degré m, et que si un nouveau point est arbitrairement donné pour y faire passer l'une de ces lignes, elle sera complètement déterminée aussi bien que ses m — i autres intersections avec une transversale arbitraire passant par le point dont il s'agit. Or il existe entre le groupe de ces derniers points et les deux groupes de m points d'intersections de la transversale arbitraire, soit avec la courbe, soit avec le système des m droites données, considéré comme une autre courbe de degré m, des relations extrêmement remarquables et qui se déduisent immédiatement du théorème des n°* 180 et suiv. 11 en résulte en effet que les systèmes d'intersections de ces deux courbes sont à la fois en involution par rapport à tous les couples d'intersections relatives aux lignes

droites données, ce qui donne en tout TiSJ]! — Il relations métriques pro-

jectives analogues à celles du n*^ 253, mais parmi lesquelles m — i seulement sont distinctes (210 et 213) et comportent naturellement toutes les autres; de sorte qu'elles sont seulement aptes aussi à donner m — i des points qui appartiennent à l'une ou à l'autre des deux courbes quand les 2m -+- 1 points restants sont assignés.

Soient p,p',p",..., les m intersections de la transversale avec les m droites données; q, q', ^",..., ses m intersections avec l'une des deux courbes correspondantes, et r, r', r",..., celles qui appartiennent à l'autre; les w — i relations distinctes dont il s'agit pourront être écrites ainsi :

{pr) [p'r) - {p"r) " {p'" r) '°"''" -

dans lesquelles la première lettre de chacun des produits indiqués par les parenthèses est censée conserver le même indice supérieur pour tous les

facteurs de ces quantités, tandis que l'indice relatif à la seconde lettre change, suivant nos conventions générales (165), en passant d'un facteur à un autre.

259. Les trois systèmes de points considérés jouissent d'un grand nombre d'autres propriétés curieuses et qui établissent entre eux une réciprocité complète.

Substituons en effet à l'une de nos deux courbes, à celle, par exemple, qui contient tous les points r, r' , r",..., un système de m droites quelconques, et concevons, par les nî^ intersections de ces droites avec les proposées relatives aux points/?, /?',/?",..., une nouvelle ligne géométrique qui contienne de plus q, on aura, pour déterminer les m — 1 autres points où elle rencontre la transversale pr, m — i relations semblables à celles cidessus qui définissent les m — i points q\ q" , q",...\ donc les mêmes constructions (210 et suiv.) qui donnent ces derniers points au moyen du premier q serviront aussi à construire les m — i points inconnus de la nouvelle courbe, lesquels par conséquent ne pourront être autres que les points q\ q", q'\... eux-mêmes. Car, pour chacun de ces systèmes de points inconnus, on aura

jpg) ^ JPr) jpg) ^ ipr) (pg) ^ [pr]

ip'g) ip'rf {p"g) (p"rf {p"'q] ip"'r)' "

relations dont les seconds membres sont des rapports numériques de produits donnés, les mêmes pour les deux systèmes dont il s'agit.

Donc enfin on aura aussi entre les points proposés, les m — i nouvelles relations

irp){r'p){r"p){r"'p) (rq) (r'q) [r"q) (r*'^)-^'^'*

exprimant que les deux groupes de m points/),/?',/?",... et q, q\ q",... sont, chacun à son tour, en involution par rapport à chacun des couples de points du troisième groupe r, r', r",..., c'est-à-dire que ce dernier et le premier jouissent de propriétés exactement rm/?ro^Me^ à l'égard du second.

Supposons maintenant qu'au lieu de mener les nouvelles transversales rectilignes par les points r, r\ r",..., on les eût conduites par q, q' , q",..., respectivement, on en conclurait pareillement que ce dernier groupe et celui des points/?, p\ p\... sont en involution réciproque par rapport au premier, de sorte qu'on aurait encore

{gr)-{q'r) (^V) " (^'"r) " ^'^' II. 3i

Les trois systèmes de relations que nous venons d'établir sont donc tels, que l'un quelconque d'entre eux entraîne forcément les deux autres; ce qui permet généralement de construire m — i points de l'un des trois groupes auxquels ces systèmes d'équations appartiennent quand le dernier point de ce groupe et tous ceux des deux autres sont donnés.

260. Cette liaison remarquable entre trois groupes de m points situés en ligne droite peut se nommer involution complète et réciproque de ces points, pour la distinguer de celle (253) qui est relative à deux systèmes de m points comparés à deux points seulement. On voit qu'elle est absolument analogue à l'involution ordinaire de trois couples de points due a Desargues, de sorte qu'elle doit entraîner avec elle un grand nombre de conséquences curieuses relatives aux propriétés des systèmes de lignes et de surfaces géométriques, analogues par extension à celles (143, 150, 151) des lignes et des surfaces du second ordre. Mais, avant de les exposer, donnons un procédé graphique suffisamment simple et rapide pour déterminer les points de l'un des deux groupes au moyen de ceux des deux autres et de l'un quelconque des points du premier de ces groupes.

261. Proposons-nous, par exemple [Jig. l\i) de construire le groupe des points r, /'', r",..., en nombre m, quand on en donne le premier r et tous ceux des deux autres groupes /?,//,/>",..., et^, q', q\

Menons par les points de ces derniers groupes deux systèmes de droites arbitraires s'entrecoupant en m"^ points dans un plan quelconque passant par la droite qui contient tous les groupes; par le point donné r et les m^ points dont il s'agit, traçons également une ligne géométrique du degré m, ou plutôt déterminons par les méthodes des n°* 210 et suivants les m — i nouvelles intersections de cette ligne 'à\ec pq ; évidemment ces intersections se confondront avec \es m ~ i points demandés. Mais on peut ici notablement diminuer le nombre des opérations graphiques que supposent ces méthodes, en imaginant qu'après avoir mené par le point r une transversale arbitraire, on ait pris à volonté m points sur cette transversale pour y faire passer les deux systèmes de droites considérées; il résultera en effet des principes souvent cités (Sect. III) que les m"^ — m = m{m — i) autres intersections de ces systèmes seront à une courbe du degré m — c complètement déterminée, qu'on pourra construire (224) par points avec la règle, et qui viendra couper la droite des points donnés p, /)',..., q, ^',..., aux m — i points demandés. Mais on peut simplifier davantage encore la construction en supposant que, des m points choisis arbitrairement sur la transversale

SECTION IV. — DES SYSTÈMES DE LIGNES ET DE SURFACES. 243 issue du point donné r, m— \ soient confondus en un seul s, et que le dernier point, soit a, reste seul distinct des autres etde^.

En effet, par suite de cette hypothèse, la courbe du degré m — i dont il vient d'être parlé acquerra un point multiple de l'ordre m~i confondu avec le point donné s\ de plus, elle passera par les m — i intersections des transversales de chacun des systèmes qui contiennent s avec la dernière transversale de l'autre système, ne renfermant pas s mais a, ce qui fixe complète-: ment la courbe de position et permet de la construire' entièrement par points à l'aide du procédé linéaire très-simple du n** 204, qui n'exige en effet que l'emploi de la règle.

La courbe ainsi obtenue viendra rencontrer la droite/)^ aux m — i autres points r\ r", r'",... demandés, lesquels, avec r, sont en involution complète par rapport aux deux groupes de m points/?, //,/>",... et q, q\ q",... qu'on s'est àoimès à priori sur cette droite indéfinie/»^.

262. Ces constructions faciles nous permettent de résoudre très-simplement la question où il s'agirait de faire passer par un point quelconque donné sur le plan de deux systèmes indépendants ou faisceaux distincts de m droites, une courbe géométrique qui contînt tous les points de rencontre de ces systèmes, au nombre de m^, ou plus généralement de tracer la courbe géométrique qui passerait par un point arbitraire et par les nr intersections réelles ou imaginaires de deux lignes géométriques ou systèmes de lignes droites ou courbes du degré m, problème entièrement analogue à celui que nous nous sommes proposé de résoudre dans les n*^^ 210, 216 et suivants, pour le cas où les intersections dont il s'agit sont immédiatement données et situées m par m sur m lignes droites distinctes.

Prenons, en effet, le point qu'on s'est arbitrairement donné sur la courbe cherchée, pour pôle d'une suite de transversales rencontrant les deux lignes ou systèmes de lignes donnés en m points respectivement; déterminons, d'après ce qui précède, les m — i autres points qui, avec le pôle fixe, sont en involution par rapport aux im points dont il s'agit; la suite de tous ces points formera une ligne continue passant une seule fois par le pôle des rayons vecteurs et qui sera par conséquent du degré m seulement. Je dis, de plus, qu'elle passera nécessairement aussi par les m* intersections communes aux lignes données; car, d'après les relations qui lient entre eux (259) les trois groupes distincts de points en involution, il est clair que deux points quelconques de deux groupes différents ne peuvent se confondre en un seul sans qu'il n'en arrive autant à l'un des points du troisième

groupe. Concevant donc que la transversale ci-dessus ait été menée par l'une quelconque des m^ intersections des lignes données, on voit que l'un des m — I points inconnus relatifs à cette transversale et à la troisième courbe devra nécessairement se confondre avec l'intersection commune dont il s'agit.

Deux lignes planes quelconques du degré m ne pouvant se rencontrer en plus de m^ points, il est clair que la courbe qui vient d'être construite ne saurait rencontrer aucune des proposées en d'autres points que ceux qui sont communs à leur système; mais c'est ce qui résulte immédiatement aussi des raisonnements par lesquels nous venons de prouver que cette première courbe passe par les intersections des deux autres.

263. Pour démontrer que la courbe ne passe qu'une seule fois par le pôle des rayons vecteurs, ce qui est assez évident en soi, il ne s'agit que de démontrer que cette courbe n'a qu'une tangente unique en ce pôle. Or, si l'on considère une pareille tangente comme transversale des deux lignes données, il faudra que l'un au moins des m — i points inconnus qui lui appartiennent se confonde avec le pôle fixe; et, comme d'après les propriétés de l'involution complète ces deux points, avant d'être confondus en un seul, devaient être tels (258) que, par rapport à leur couple, les systèmes d'intersections des courbes données fussent en involution simple, il faut bien (37) que, dans le cas où ils cessent d'être distincts, les centres de moyennes harmoniques de ces systèmes d'intersections soient aussi les mêmes., pris par rapport au pôle fixe. Mais, d'après le théorème de Côtes, le lieu des centres de moyennes harmoniques conjugué à ce pôle pour chacune des deux courbes est une ligne droite (n°42 et p. i3(); donc la tangente cherchée devra passer par l'intersection des deux droites ou axes pareils relatifs aux courbes données; donc enfin cette tangente est unique, comme il s'agissait de le démontrer.

264. On peut arriver aux mêmes conséquences, et par conséquent au tracé de la tangente du pôle, sans rien emprunter aux données précédentes. Supposant en effet qu'on ait mené deux transversales infiniment voisines par ce pôle, et concevant par les intersections voisines de nos deux courbes autant de lignes droites qui seront des tangentes véritables de ces courbes, il est aisé de voir que la tangente cherchée sera aussi la tangente d'une quatrième courbe qui passerait par le pôle fixe et par les m- intersections des deux systèmes distincts formés par les m tangentes de l'une des courbes données et par les m tangentes de l'autre. Cherchant donc l'intersection des deux

SECTION IV. - DES SYSTÈMES DE LIGNES ET DE SURFACES. 245 axes de moyennes harmoniques de ces systèmes, conjugués au pôle fixe, on aura un second point de la tangente cherchée.

265. Revenons à notre courbe qui, passant par le pôle fixe, contient en outre tous les points d'intersection commune des deux courbes données, et prouvons directement : 1° que toute droite arbitraire la rencontre au plus en m points; 2" que ces m points sont toujours en involution complète avec les deux systèmes d'intersections de la même droite et des courbes proposées.

Soient rie pôle fixe, et 5, ideux quelconques des intersections de la courbe qui y passe avec la droite arbitraire dont il s'agit; traçant les transversales rs, rt, dont la première rencontre l'une des courbes données aux m points p, p', p\..., et l'autre aux m points q, q' , q",..., tandis que la seconde les rencontre respectivement aux m points p,, /?'j, />",... et aux m points q\, q\, q\,..., les deux premiers groupes de points seront évidemment en involution par rapport aux points r, s, et les deux derniers le seront également par rapport aux points r et t, de sorte qu'on aura

i'-q) (57)' [rq,) {tq,)'

Soient enfin/?,» P^^Pi'-" ^t 5^2» Ç2* /a"-* les intersections respectives de nos deux courbes avec la droite arbitraire st, et considérant successivement ces courbes comme transversales du triangle rst, on aura

{rp){sp,){tp,) ^^ [rq)isq,){tq,) ^^^ {rp,){sp,){tp) ' {rq,)[sq,){tq)

divisant l'une par l'autre ces équations et égalant entre eux leurs premiers membres, on obtiendra, en vertu des deux équations primitives, qui définissent 5 et / par rapport à r,

{sp,) [tp,) ^ [sq,] [tq,)''

ce qui indique que les deux groupes /?2,/?2,/>2»-" et q.^, q\, q\,... de points d'intersection des courbes proposées, avec la droite arbitraire st, sont aussi en involution simple par rapport à ^ et ^.

La même chose ayant lieu pour deux autres points d'intersection quelconques de la droite dont il s'agit et de la courbe qui contient le pôle fixe, on voit que toutes ces intersections sont telles, que les systèmes des m points p^ et des m points q^ sont à la fois en involution par rapport à chacun des groupes qu'elles forment; donc leur système total est en involution corn-

plète par rapport à ceux dont il s'agit, et leur nombre ne saurait surpasser m, comme il s'agissait de le démontrer; donc enfin le degré de la courbe à laquelle ils appartiennent ne saurait non plus surpasser m, de sorte qu'il est en général ou précisément m.

De là résulte un grand nombre de conséquences dont il nous suffira d'indiquer les principales.

THÉORÈMES RELATIFS A l'iNVOLUTION DES LIGNES OU SURFACES DE MÊME DEGRÉ A INTERSECTIONS COMMUNES.

266. Concevons trois courbes géométriques de l'ordre m ayant les mêmes m^ points communs sur un plan; par l'un des points de l'une de ces courbes menons, d'après le procédé qui précède, une ligne géométrique de l'ordre m passant par les m'^ intersections des deux autres : il est clair qu'elle se confondra tout entière avec la troisième, puisque autrement elle aurait plus de m^ points en commun avec elle, ce qui est absurde ; donc :

Si Von coupe par une droite arbitraire le système de trois lignes géométriques quelconques du degré m, ayant les mêmes intersections communes sur un plan, les trois systèmes de m points qui en résultent sont en involution complète.

Donc aussi :

Quand trois surfaces géométriques de même degré ont la même ligne d'intersection commune^ toute transversale les rencontre en trois systèmes de points qui sont en involution complète.

267. Dans la vue d'abréger, nous pourrons dire par la suite, de trois pareilles surfaces, ou de, trois lignes qui ont les mêmes intersections communes, que leur système est aussi en involution complète.

Concevons encore dans un plan ou dans l'espace trois lignes ou trois surfaces géométriques assujetties à ces conditions; leur ensemble ou système jouira de cette autre propriété liée d'une manière intime à la notion des involutions simples ou complètes.

Toute tangente à l'une de ces lignes ou surfaces [m) coupera les deux autres en deux groupes de m points, qui auront le jnême centre de moyennes \\2Lvmox\\(\\x^^ par rapport au point de contact de la tangente considérée.

268. Ce théorème, évident d'après les considérations du n** 264 ci-dessus, assigne la tangente ou le plan tangent en un point donné de l'une des trois courbes ou surfaces, quand on connaît les deux autres; mais leur construction suppose la connaissance de propriétés qui seront démontrées dans le § III ci-après, et on pourra substituer à cette construction une autre ana-

SECTION IV. — DES SYSTÈMES DE LIGNES ET DE SURFACES. 247 logue à celle qui a été exposée au n*' 264, et dont la justification paraîtra ici bien évidente d'après les propositions qui viennent de nous occuper.

269. Enfin concevons un système de quatre courbes du degré m, ayant les mêmes m} points communs sur un plan; il est évident que les quatre groupes distincts d'intersections déterminées par une transversale arbitraire dans ces courbes respectives formeront trois par trois des involutions complètes; prenons en particulier la transversale tangente à l'une quelconque de nos courbes : il résulte de ce qui précède que le point de contact de cette tangente sera tel, que le centre des moyennes harmoniques, qui lui est conjugué dans les trois autres groupes auxquels il n'appartient pas, sera unique ou le même pour ces groupes. De la on conclut que :

Si trois groupes de m points, en involution complète sur une droite, sont tels, que deux d'entre eux aient le même centre de moyennes harmoniques conjugué à un dernier point de la droite qui les contient, ce centre sera aussi le centre de moyennes harmoniques du troisième groupe par rapport au même point.

En effet, les trois groupes de m points dont il s'agit peuvent toujours être censés appartenir à trois courbes du degré m s'entrecoupant aux mêmes points dans un plan quelconque qui contient la droite donnée ; conduisant donc par le point conjugué au centre de moyennes harmoniques, commun à deux de ces systèmes, une nouvelle courbe qui contienne en outre les m* intersections des proposées, on conclura de ce qui précède, qu'elle touchera au point dont il s'agit la droite donnée.

270. Le centre des moyennes harmoniques d'un groupe de points quelconque se changeant en un centre de moyennes distances ordinaire, quand le point qui lui est conjugué passe à l'infini, il paraît évident encore que :

Si trois groupes de m points, en involution complète sur une droite, sont tels, que deux d'entre eux aient le même centre de moyennes distances, ce centre sera aussi celui du troisième groupe.

TRANSFORMATION DES RELATIONS d' INVOLUTIONS, ET COROLLAIRES RELATIFS AUX SÉCANTES DES COURBES OU SURFACES, PARALLÈLES A DES DIRECTIONS FIXES.

271. Les groupes distincts de points en involution jouissent de beaucoup d'autres propriétés auxquelles on peut parvenir par des considérations géométriques fort simples, mais qui nous obligeraient d'établir quelques lemmes préliminaires relatifs aux systèmes combinés de lignes droites ou de plans; et, bien que ces lemmes ne soient pas en eux-mêmes dénués de tout intérêt, nous préférons ici, pour la brièveté, mettre en usage les res-

sources de l'Analyse algébrique, qui nous permettent d'arriver tout d'un coup à l'ensemble des relations qui lient entre eux les systèmes de points en involution complète.

Soient en effet [fig- 43) les trois systèmes de m points/?, p ,p" ,...\ q, q' , q",..., etx, ce', œ",..., en involution sur une droite, c'est-à-dire tels, qu'on ait (258 et 259)

[xq) [x'q) {x"q)

En considérant ces égalités comme propres à définir ou à déterminer les m points x, x' , x",..., à l'aide de tous les autres, on pourra poser généralement l'équation unique

|^=:K OU {xp) = Y.{xq),

K étant une constante positive ou négative qui est donnée de grandeur et de signe dès que la position de l'un des points x, x', x",..., est connue et qui, lorsqu'elle est assignée à priori, suffira évidemment (261) pour construire tous ces points, si l'on convient, une fois pour toutes, que les facteurs linéaires qui entrent dans les produits (xp) et (xq) doivent être positifs ou négatifs, selon que les points auxquels ils appartiennent sont situés à droite ou à gaucbe du point x considéré en particulier comme origine commune des segments.

Cela posé, imaginons que ce pointa? soit situé à gaucbe de tous les points donnés, et prenons à volonté une nouvelle origine o située elle-même à gaucbe de x', l'équation ci-dessus deviendra, en nommant oa? simplement a?,

[xp] [op — x)^^ ^^ (;^^^)K(^o^) = o, {xq) {oq — x) V r/ V ^y

dans laquelle K est essentiellement positif. Si au contraire x devait être situé entre deux des points donnés, le coefficient K pourrait être négatif; mais dans tous les cas l'équation ci-dessus subsisterait en attribuant un signe convenable à la constante K.

Développant donc les produits de la dernière équation, ordonnant par rapport à x, nommant P, la somme des segments ou abscisses simples o/?, op' , op",..., Pa, P3,..., Pm-n P,« celles de leurs produits deux à deux, trois à trois, ..., m — i km— i, enfin m à w, ce qui revient à leur produit total ; nommant pareillement Q,, Q2» Q3, Q^-o Q/« les quantités analogues relatives aux abscisses oq, oq', oq",..., on aura évidemment

(,K).r'"— (P,— KQ,)^'"-'H-(P.— KQO^-^-^.-ifclP»-.— KQ„,,)^=F:(P'«— KQ».)=o,

équation qui servirait à calculer directement les m valeurs de a? à défaut de constructions géométriques, c'est-à-dire à déterminer les m abscisses positives ou négatives ox, ox\ ox'\..., relatives au troisième groupe de points en involution par rapport aux proposés.

272. Il résulte de là et de la théorie des équations, que, si l'on nomme semblablement X, la somme des abscisses dont il s'agit, X2 celle de leurs produits deux à deux, X3 celle de leurs produits trois à trois, et ainsi de suite, on aura

X,(i — K) = P, — KQ„ X,(i-K) = P,-KQ„..., X,,(i-K) = P,„,— Ka..-,

X„(i-Rj = P,„-KQ„,

équations dans lesquelles on doit toujours regarder commie positives les abscisses des points situés à droite de l'origine 0, et comme négatives celles des points situés à gauche de cette même origine, mais où l'on peut attribuer à K un signe quelconque et le remplacer même par le rapport de deux nombres A et B dont l'un demeure arbitraire, si l'on veut donner aux équations une forme entièrement symétrique.

On conclut encore de ces m équations combinées deux à deux une suite d'autres relations métriques indépendantes du nombre K, et qui expriment autant de propriétés nouvelles des groupes conjugués des points en involution complète, telles que m — i quelconques d'entre elles relatives à un certain groupe comportent nécessairement toutes les autres.

273. Si nous nous arrêtons au système des m équations posées en dernier lieu, il sera facile de conclure de la première d'entre elles que les centres de moyennes distances de deux des trois groupes de points considérés ne peuvent se confondre entre eux sans se confondre en même temps avec celui du troisième; des deux dernières équations, on conclura la proposition analogue relative aux centres de moyennes harmoniques de ces groupes respectivement conjugués au point o; ce qui revient aux théorèmes déjà démontrés plus haut. Mais il convient pour notre objet d'étudier spécialement la dernière de toutes ces relations qu'on peut écrire ainsi d'après nos conventions :

{ox){i — \i) = {op) — Y>.{oq) ou (o;c)(ÂH-B)=A(o/?)4-B(o^),

OÙ K= — — (272) et qui exprime une propriété d'autant plus remarquable

des groupes de trois points en involution, qu'elle est tout à fait indépendante de la position particulière du point o; en sorte qu'elle demeure appli-