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25o PROPRIÉTÉS PROJÉCTIVES CES FIGURES.

cable même quand ce point est censé confondu avec l'un quelconque des 3m points qui constituent les trois groupes x, p, q\ ce qui fait retomber successivement sur chacun des trois systèmes d'équations du n*' 259 qui définissent l'involution complète.

274. Supposons, par exemple, le point o confondu avec x^ le produit [ox) sera nul et l'on aura

(o/)) = K(og) ou {xp)^=Y^{xq).

Si donc on considère sur un plan, un système de trois courbes de degré m ayant les mêmes m- intersections communes et coupées par des transversales quelconques, le nombre K se trouvera défini pour chacune des positions de la transversale et chacune des courbes distinctes du système. Or, il faut remarquer que ce nombre, qui change avec l'inclinaison des transversales, reste constant pour toutes celles qui seraient parallèles à une même direction.

Soit, en effet, x' un nouveau point quelconque de la courbe qui passe par x\ traçons la droite indéfinie xx' rencontrant en P, P', P",..., la courbe des points/? et en Q, Q', Q",..., celle des points q, nous aurons (253), d'après la propriété de la courbe des points x^

(^ Pj (^^P)

Menons également par x' une transversale parallèle à celle qui contient x, p, q,..., et nommons /?,,/?\,/?"j..., ^,, çf^j^'j,..., ses intersections respectives avec la courbe des p et celle des q, nous aurons, en yertu du théorème de Newton, les relations

(■3?'/7i) __ [xp) {x' g,) ixq) {x'V)~{xV)'' [x'Q)- [xQy

d'où l'on tire

(x>.)^ {xp) [x'V){xQ)[xp) Ix'q,) {xq)^{x]^){x'Çi) {xqf

en vertu de l'équation déjà posée ci-dessus; ce qui démontre évidemment que le rapport de {xp) à (xq) est invariable pour toutes les transversales parallèles de la courbe des points x, conformément k ce qui a été avancé plus haut.

275. Dans le cas où la transversale x' p, y,, au lieu d'être parallèle à/îçr, la rencontre en un point a, il est aisé de se convaincre que le rapport dont H s'agit ne peut rester invariable que moyennant des conditions tout a fait

SECTION IV. — DES SYSTÈMES DE LIGNES ET DE SURFACES. c^Si particulières; car si l'on considère successivement le triangle aœx' comme transversale de la courbe des p et de celle des q, il en résultera deux relations qui, comparées entre elles, donneront

■{xp){x'q,) {ap){aq,)^{xV}{x'Q) {ap]{aqS

à cause de la première des équations ci-dessus; ce qui démontre que le rapport de [xp) à [xq) ne deviendrait égal à celui de [oc' Pt) à (^'^,) qu'autant que a serait tel, qu'on eut

iaq){ap.) ^ {ap){aq,)

circonstance qui n'a lieu généralement que pour le cas cité où a se trouve à l'infini.