Donc réciproquement

Si, dans le plan commun à deux lignes géométriques quelconques, mais du même degré, on mène une suite de transversales parallèles à un axe fixe arbitraire, puis qu'on prenne sur chacune d'elles tous les points tels, que les produits de leurs distances à chaque courbe respective mesurées sur cette transversale soient entre eux dans un rapport invariable, le lieu de tous les points pareils sera une troisième ligne géométrique du même ordre que les proposées et passant par tous les points qui leur sont communs.

Par conséquent aussi le système de ces trois courbes géométriques jouit des diverses propriétés d'involution qui nous ont précédemment occupés relativement à des transversales entièrement arbitraires.

278. Ces énoncés s'étendent aux systèmes analogues de surfaces géométriques d'un même degré, pourvu qu'elles aient les mêmes courbes d'intersection, comme elles s'appliquent également au cas où l'on remplacerait les lignes ou les surfaces par des systèmes de droites ou de plans constituant

chacun un lieu du même ordre. De plus, les considérations exposées dans ce qui précède indiquent les moyens de construire géométriquement tous les points qui jouissent de la propriété énoncée.

279. Au lieu de conduire par chacun de ces points une transversale unique pour les deux courbes ou surfaces, concevons qu'on leur mène deux transversales distinctes, sous des inclinaisons déterminées; d'après le théorème de Newton, il est clair que les produits des segments compris sur chacune d'elles entre le point dont il s'agit et la courhe ou surface correspondante seront encore entre eux dans un rapport invariable pour tous les points de la troisième courbe ou surface. Car ces produits, comparés respectivement à ceux, qui leur correspondent sur la transversale unique des énoncés précédents, ont avec eux des rapports constants.

Dans le cas où les deux courbes, les deux surfaces géométriques sont remplacées par des systèmes distincts de lignes droites ou de plans quelconques, mais formant des lieux du même ordre, on peut évidemment supposer que (le chacun des points considérés on ait mené, sous des inclinaisons données, des transversales différentes pour chaque droite ou chaque plan, sans que nos théorèmes cessent d'exister; car les segments compris sur la transversale unique sont respectivement proportionnels aux distances mesurées sur les transversales distinctes qui correspondent à ces segments.

280. On reconnaît ici le célèbre problème des lieux, résolu par Descartes dans sa Géométrie, livre II, 2^ partie (*), et dont la solution avait été vainement tentée par les Anciens, notamment par Pappus, pour les lieux supérieurs au deuxième degré; mais ce qui précède montre qu'en donnant un peu plus d'extension à la théorie des transversales dont les premiers linéaments leur sont dus, les Anciens eussent très-bien pu parvenir à la découverte de ces propositions universelles, qui, entre les mains de notre géomètre philosophe, ont été le triomphe de l'Analyse moderne.

(*) Voyez aussi la Géométrie de position de Carnot, p. 444> n° 387, et principalement Miscellanea analytica, etc., de Edw. Waring : Cantabrigiâ, 1762, p. loi à 104. Carnot, en considérant spécialement le cas de quatre droites sur un plan, en a déduit une série de propositions sur les coniques, parmi lesquelles se retrouve l'hexagramme mystique de Pascal. Waring, peu cité par les auteurs, considère le cas d'un nombre quelconque de groupes de n droites sur un plan et d'obliques correspondantes, abaissées sous des angles donnés d'un point mobile assujetti à la condition que la somme des produits relatifs à chaque groupe d'obliques multipliés par des constantes soit égale à zéro. Ces obliques s'exprimant par des fonctions linéaires des coordonnées variables, il en résulte que l'équation de la courbe cherchée est du degré n : pour le cas de deux groupes de trois droites, la courbe est du troisième degré et passe par les intersections mutuelles de ces groupes. Waring étend ces propositions à des courbes données du degré /?. — (Note de i83o.)

Extension des théories précédentes.

Ces propositions, sur lesquelles je ne crois pas nécessaire d'insister, peuvent s'étendre à un nombre quelconque de courbes et de surfaces géométriques ou de systèmes de droites et de plans ayant ou non les mêmes intersections communes.

DES RELATIONS d'iNYOLDTION A PLUSIEURS TERMES ET A COEFFICIENTS INDÉTERMINÉS.

281. Pour démontrer la possibilité de cette extension, concevons sur un plan plusieurs lignes géométriques du même degré m{*); coupons toutes ces lignes par une suite de transversales parallèles à un axe fixe ; soient p,p',p",..., les intersections de l'une quelconque de ces transversales avec Tune des courbes données que je nommerai (/?); soient pareillement ç'. q'y q'\'-", les intersections avec [q), r, r', r",..., les intersections avec (r), et ainsi de suite; prenons sur chacune de ces mêmes transversales le point

a tel, qu'on ait

k{a.p) + B(a^)H-C(ar) + .. . = o,

en ayant égard aux signes de position des différents segments relatifs au point a, et A, B, C,,.. étant d'ailleurs des constantes numériques données, positives ou négatives: je -dis que la suite des points «sera sur une ligne du degré m, qui passera par les intersections communes aux proposées, si toutefois celles-ci ont une ou plusieurs intersections pareilles.

Considérant en particulier les courbes (p) et [q), on imaginera une nouvelle ligne géométrique du degré m passant par leurs m- intersections communes, et dont les points de rencontre avec la transversale proposée, étant représentés par x, x', x'\..., soient tels, qu'on ait constamment (273), o étant sur cette transversale une origine quelconque des abscisses,

ik-+-h){ox) — k{op)-hB{oq);

on aura donc aussi

(*) Les courbes peuvenl ne pas être du même degré; la courbe résultante sera du degré le plus élevé parmi ceux des proposées, comme on le verra dans une Jddition à ce paragraphe. — (Note de i83o,)

Ceci se rapporte à diverses Notes manuscrites supprimées, et dont je me propose de donner une idée dans l'un des articles de la Se<rtion supplémentaire (i865).

et par suite la courbe (a) devra satisfaire à la relation suivante, qui renferme un terme de moins que la proposée :

En opérant de même sur deux autres lignes quelconques relatives aux produits de segments qui entrent dans cette dernière équation, on pourra réduire le nombre de ses termes d'une seconde unité; par exemple, j, y', y",... étant les intersections par la transversale proposée d'une nouvelle courbe {y) passant par les intersections de (r) et de {x), on prendra pour la définir la relation

(A4-B + C)(oj) = (A4-B)(o^)+C(or), qui devient, quand l'origine o se confond avec a,

( A 4- B + C) (a;-) = ( A -I- B) (ax) + C (a /■) = A (a/>) + B (a f/ ) + C (ar).

Continuant donc ainsi, on arrivera finalement à une dernière égalité ne -contenant plus que deux termes, laquelle appartiendra évidemment au lieu géométrique demandé (a) renfermant tous les points a, et qui sera du m'"'"' degré seulement. De plus, il paraît évident que, si toutes les courbes proposées ont un point commun, les courbes auxiliaires, et par conséquent la courbe des a, passeront nécessairement aussi par ce point.

Le même raisonnement étant applicable mot pour mot au cas où l'on remplace les simples lignes par des surfaces de même degré, et trois surfaces pareilles, mais d'ailleurs quelconques, s'entrecoupant nécessairement aux mêmes points, qui sont en général au nombre de m^, on voit que toute autre surface du degré m qui sera assujettie a la relation ci-dessus par rapport aux premières, passera naturellement aussi par leurs intersections communes, réelles ou imaginaires.

282- Par l'un quelconque a des points de la courbe (a) ainsi obtenue, menons arbitrairement une transversale parallèle à l'axe tixe, on aura

A (ap) -h B (a ç ) -h C (ar) H- . . . = o ;

relation qui aurait lieu également pour toutes les autres intersections a', a",... de la transversale dont il s'agit avec (a). Par le point a concevons une nouvelle droite quelconque, qui pour toutes les positions de ce point doive demeurer parallèle a un autre axe fixe arbitraire; et soient /?,, p\, p\,.,., qt, q\, q"i,..., r,, r^, r\,... ses intersections respectives avec les

courbes ou surfaces {p), (q), (r),..., on aura, d'après le théorème de

Newton,

{xp) — Kixp,), (aç) = L(«<jf,), {ar)=M(ar,),...,

et, par conséquent,

A. K(a/7, )-f-B.L {a g,) +C. M (ar,) -h... = o;

ce qui montre que (a) jouit de la même propriété par rapport à tous les systèmes de transversales parallèles à des axes fixes quelconques, si ce n'est que les constantes qui entrent dans l'équation ci-dessus changent d'un axe à l'autre, conformément à ce qui vient d'être observé.

Une relation de la même forme aurait évidemment lieu encore, si, par les divers points de (a), on menait dans chaque courbe des sécantes parallèles à des axes fixes distincts.