On prouvera plus simplement encore que

Si, parmi les mr intersections communes à deux lignes du degré m, tracées sur un plan, mn sont à une ligne du degré n, les m- — mn = m[m — n) inter-^ sections restantes sont à une autre ligne du degré mn.

En effet, prenons à volonté sur {n) un point a pour y faire passer une ligne du degré m qui contienne en outre les m^ intersections des proposées, ce qui est toujours possible (262); il arrivera que cette nouvelle ligne devra comprendre tous les points de {n), puisque autrement elle aurait mn H- I points en commun avec elle, ce qui est absurde. Donc toute la partie de cette ligne qui n'appartient pas à {n) devra constituer elle-même une autre ligne du degré m— n, passant par les m {m — n) intersections restantes des deux lignes proposées.

Donc aussi :

Si la ligne d'intersection de deux surfaces de degré m renferme une ligne de degré mn comprise entièrement sur une surface du degré n , le surplus de V intersection du degré m"^ — mn=^m[m — n), sera à une autre surface du

degré m — n, qui, avec la précédente, formera un système en involution (267)

avec les surfaces proposées .

297. Le même genre de démonstration pourrait servir à établir beaucoup d'autres théorèmes de cette espèce; et, si l'on suppose qu'une ou plusieurs des lignes ou des surfaces considérées se réduisent à des systèmes de droites ou de plans en nombre égal à celui qui marque leur degré, on en déduira une quantité de corollaires plus ou moins intéressants et relatifs à de tels systèmes, tous conséquences particulières des considérations générales exposées aux n°* 266 et suivants.

On remarquera à cette occasion que, par cela même que l'une des courbes ou surfaces en involution avec deux ou trois autres se trouve décomposable en deux courbes ou surfaces distinctes, celles-ci jouissent séparément, avec les premières, de relations spéciales analogues à celles qui concernent leur ensemble ou système total.

Ainsi, par exemple, dans le cas du n° 296, toute transversale rectiligne déterminera dans les courbes [m) deux groupes de m points en involution simple (181, 253, etc.) par rapport à chacun des couples d'intersection de la même transversale avec la courbe (n) ou avec la courbe [m— n). Supposant en particulier que les courbes [m] soient des systèmes de m droites arbitraires, et observant que les intersections de ces systèmes qui appartiennent à [n] ou à (m — n) et qui sont en nombre mn ou m.[m — n), peuvent être considérées comme les sommets de certains polygones inscrits à ces courbes respectives et dont les côtés de rang pair se confondent avec les m transversales de l'un des deux groupes et les côtés de rang impair avec les m transversales de l'autre, on en conclura une série de théorèmes relatifs aux figures polygonales d'un nombre quelconque pair de côtés, inscrites aux lignes géométriques et qu'on supposerait coupées, ainsi que ces lignes, par des transversales arbitraires.

298. Pour le cas des lignes des trois premiers ordres, notamment, on retomberait sur la proposition rappelée aux n^* 143 et suivants, à laquelle on arrive directement, comme on l'a vu, quand^on suppose le polygone partagé en ses différents quadrilatères simples et qu'on les suppose coupés, ainsi que la courbe, par une transversale unique. Or, le même genre de démonstration directe pouvant s'appliquer aux polygones inscrits à des lignes d'un ordre quelconque, on voit qu'on s'élèverait sans peine aux théorèmes généraux qui viennent de nous occuper sur les intersections des lignes et des sur^ faces géométriques.

SLR LA REPRÉSENTATION DES LIEUX PAR DES PROCÉDÉS ANALYTIQUES OU GÉOMÉTRIQUES DIVERS. — DUALITÉ, RÉCIPROCITÉ POLAIRE.

299. En terminant cette matière, dont l'étendue est pour ainsi dire sans bornes, nous croyons devoir rappeler que les derniers théorèmes relatifs à la décomp(fsition des lieux en d'autres d'un degré moindre sont d'une généralité vraiment remarquable et ont tout récemment [Annales de Mathématiques, t. XVII, année 1827) attiré l'attention de M. Gergonne qui les a obtenus par la méthode purement algébrique des multiplicateurs indéterminés, appliquée aux équations des courbes et des surfaces d'un même degré, méthode dont un savant ingénieur des Mines de France, M. Lamé, actuellement au service de la Russie, avait déjà. fait un usage fort remarquable [Examen des différentes méthodes employées pour résoudre les problèmes de Géométrie; Paris, 18 18, p. 27 à 44) en vue de découvrir les propriétés des diamètres et des plans diamétraux des systèmes de lignes et de surfaces du second ordre ayant les mêmes intersections communes.

Cette méthode, comme on le voit, consiste en ce que « tout lieu géométri- » que distinct, passant par les intersections communes à d'autres lieux du » même ordre, est représenté par la somme des équations de ces derniers » multipliée par des coefficients numériques arbitraires; » elle a cela de particulier qu'elle dispense de ces éliminations, de ces combinaisons laborieuses d'équations jusque-là en usage pour découvrir les propriétés générales des systèmes de lignes et de surfaces. Entre les mains de plusieurs habiles géomètres, parmi lesquels on doit citer MM. Sturm, Gergonne, Bobillier et Plucker, qui l'ont tour à tour appliquée à la recherche des propriétés de situation des lieux ou des systèmes de lieux géométriques, elle a aujourd'hui acquis une généralité et une extension qui en font une doctrine à part, une branche d'Analyse nouvelle, qui laisse bien loin derrière elle les méthodes restreintes exposées dans les Traités de Géométrie analytique, parce qu'elle permet, jusqu'à uu certain point, à cette dernière de suivre les progrès récents qu'a faits la Géométrie intuitive; cette Géométrie dont, à partir de 18 17, nous avons, dans les Annales mêmes c^e Montpellier, cherché à développer les doctrines et à faire prévaloir l'excellence.

300. Malheureusement, l'Analyse des coordonnées, qui, depuis la tentative de M. Lamé, a acquis une puissance aussi grande pour traiter les questions relatives à la communauté d'intersections des lieux géométriques, n'en a presque aucune pour aborder celles qui concernent leur communauté de II. 34

tangence, si l'on peut s'exprimer ainsi. A peine connaît-on l'équation des tangentes communes à deux lignes ou de la développable enveloppe de deux surfaces du second ordre; encore moins connaît-on explicitement les équations de condition qui expriment que plusieurs lignes ou surfaces ont les mêmes tangentes, les mêmes plans tangents ou les mêmes développables enveloppes communes. Aussi est-il à propos de recourir à la théorie des polaires réciproques, qui appartient à la Géométrie intuitive, pour établir les propriétés de ces derniers systèmes qui sont les corrélatives de celles qui appartiennent aux premiers.

301. Les savants auxquels la Géométrie analytique doit déjà de si beaux progrès ne la laisseront probablement pas longtemps dans cet état d'infériorité (*); mais peut-être aussi sera-t-il indispensable de faire choix d'un autre genre de coordonnées, en considérant, par exemple, les lieux géométriques comme l'enveloppe de leurs systèmes de tangentes ou de plans tangents, et prenant, suivant ce qu'indique la théorie des polaires réciproques, pour variables les distances des intersections respectives de ces tangentes ou plans tangents avec deux ou trois axes fixes, soit au point de rencontre commun de ces axes, soit à leurs rencontres respectives avec un nouvel axe ou un plan arbitraire; mais alors l'équation du lieu entre ces coordonnées montera à un degré tantôt plus élevé, tantôt moindre que son équation relative aux coordonnées ordinaires, et il restera toujours à opérer le passage d'une équation à une autre ou ce qu'on nomme la transformation des coordonnées, transformation qui amènera avec elle des facteurs singuliers (") dont il faudra débarrasser l'équation finale pour la réduire au degré de simplicité qui lui est propre, mais qui permettra d'ailleurs de discuter avec la plus grande facilité les propriétés de la courbe ou de la surface relatives à ses systèmes de tangentes ou de plans tangents, sans recourir directement à la théorie des polaires réciproques, qui appartient essentiellement à la Géométrie pure ou intuitive.

Dans ce système, évidemment, un point sera représenté par une équation contenant les inverses de toutes les variables au premier degré; une droite ou un plan par deux ou trois équations de la forme t =^a, u — h, v = c; les

(*) Je prie instamment le lecteur de ne pas oublier que ceci a été écrit dans Ihiver de i83o à i83i. -^ (Note de i865.)

( ** ) Voyez, dans le tome II de nos Applications d'Analyse et de Géométrie, p. 491 , les réflexions qui terminent l'article de 1817, sur la théorie des polaires réciproques, extrait des Annales de Montpellier. — (Note de 1 865.)

lignes et les surfaces du deuxième ordre par des équations du second degré, susceptibles de se réduire au premier dans certains cas; enfin les lignes et les surfaces du degré m par des équations qui s'élèveront en général au degré m(/w— i) oum(7w— i)^, égal au nombre des tangentes ou des plans tangents que, d'un point ou d'une droite arbitraire, on peut mener à cette courbe ou à cette surface, nombre qui, dans certains cas particuliers, peut d'ailleurs se réduire 'de plusieurs unités, d'après les principes des précédents Mémoires (Sect. II et III).

302. Je ne pousserai pas plus loin ces réflexions sur un genre d'Analyse qui n'aurait d'autre avantage que d'offrir la traduction, au moyen d'équations, des diverses conséquences qui dérivent d'une manière purement intuitive de la théorie générale des polaires réciproques (*). Quant aux proposi-

(*) Soient u et c l'abscisse et l'ordonnée des intersections de la tangente dune courbe plane donnée avec deux axes arbitraires; supposons que !p(?/. c) = o soit l'équation en u et v de cette

courbe : on s'assure aisément qu'en prenant « = — , <' = — 5 n étant une longueur arbitraire

mais constante, l'équation ? ( — ) — ) = o n'est autre chose que celle de la polaire réciproque de

la courbe proposée par rapport aux axes des u et des v.

Quant au calcul qui doit servir à former l'équation analytique entre les variables u et «' comptées de la même origine et sur les mêmes axes que x et j, il n'offre pas de difficultés.

Soit e> {x, y) = o l'équation de cette même courbe, et nommons a et ^ les coordonnées ordinaires d'un point quelconque de son plan : on aura évidemment pour l'équation de ce point rapportée aux variables u et c

'P '^ ^ ' vu.

laquelle donnera successivement tous les systèmes de valeurs de v et u qui correspondent aux différentes droites passant par le point (a^) dont il s'agit. Si ce point est pris sur la courbe proposée, on aura

et si, de plus, f et u doivent appartenir à la tangente en a, p, on aura celte nouvelle relation

^ ' vu

qui, avec les premières, servira à trouver l'équation de la courbe en u et v, par l'éliminalion de a et § dont le rapport est donné par la différentiation de l'équation (2). Quant aux équations de la tangente dans le système m, c, elles sont

Si ? (a, p) = o est du degré m. ces équations ne s'élèveront pas au delà du degré m — i en a

lions particulières qui peuvent ressortir de l'application de nos principes aux différents théorèmes contenus dans ce qui précède, on ne peut être embarrassé d'en établir les énoncés pour chaque cas, si l'on a bien présents à l'esprit ceux de ces principes qui se trouvent démontrés plus particulièrement dans les n«' 67 et 68, 73, 93, 98, 101, 120 et 130.

Par exemple, la proposition du n** 267 (§ I" de cette Section) conduira à ce théorème réciproque :

Si trois courbes de degré m, tracées sur un plan, ont les mêmes m- [m— i )^ tangentes communes (73), e/ que, d'un point quelconque de ce plan, on mène les trois faisceaux distincts de m[m — i) tangentes à ces lignes, toute transversale rencontrera ce système de courbes en trois groupes de m{m— \) points chacun, qui seront en involution complète entre eux.

303. Des théorèmes entièrement analogues ont lieu pour trois surfaces quelconques de degré m, enveloppées par une même développable de degré w^ (m— i)* [m^ (m — i)* i] (n° 98), et pour quatre surfaces de degré m touchées à la fois par les mêmes m^(m— ly plans tangents (93), pourvu qu'on remplace les faisceaux de m (m— i) tangentes par des faisceaux semblables de m[m — iy plans tangents issus d'une même droite : ces mêmes théorèmes, d'ailleurs, sont l'extension de ceux desn°^ 150 et 153 (Sect. III), concernant les simples lignes et surfaces du second ordre. De plus, les différentes propositions ou relations métriques que nous avons jusqu'ici présentées sur la manière de construire par points l'une des courbes ou surfaces en involution avec deux ou trois autres données arbitrairement, conduiront également, en vertu de la théorie des polaires réciproques, à des procédés géométriques pour construire par l'enveloppe de ses systèmes de tangentes ou de plans tangents, l'une quelconque des lignes ou surfaces jouissant des propriétés inverses ci-dessus indiquées, quand deux ou trois d'entre elles seront pareillement données à priori.

et ^, et serviront à passer immédiatement de la courbe en m, c à son équation différentielle du premier ordre entre les coordonnées ordinaires a et p. Pour effectuer d'ailleurs l'élimination de a et de ^ entre les équations (i), (a) et (3), on fera

a étant une ligne arbitraire mais constante; les équations (i) et (3) deviendront ain^i

Pz + a? = a', zdp + ida. = o, et seront linéaires en z et t, etc., etc. — (Note de i83o. )

SECTION 'iV. — DES SYSTÈMES DE LIGNES ET DE SURFACES. 269

304. Pour justifier ces déductions par rapport aux trois courbes ci-dessus du degré m, par exemple, il suffit de remarquer que ces courbes ont en général pour polaires réciproques des lignes du degré m(m — i) s'entrecoupant aux mêmes m^ [m — i)* points, et qui, par conséquent, sont en involution complète entre elles, c'est-à-dire telles que, si on les coupe par une transversale arbitraire, les trois systèmes des m [m— 1) intersections correspondantes seront eux-mêmes en involution; ce qui entraîne comme conséquence nécessaire (120) que les trois faisceaux de m {m— 1) tangentes des Courbes primitives, issues du pôle de la transversale arbitraire, aient aussi entre eux la corrélation de situation dont il s'agit. Or, ce principe une fois admis, on en conclut tout de suite des moyens pour construire les tangentes de l'un des faisceaux (262 et suiv.) quand l'une d'entre elles est donnée, etc., etc.

Toutefois, dans les applications de ces théorèmes, il faudra avoir égard à des observations du genre de celles des n"* 67, 244 et suivants (Théories des transversales et des polaires réciproques, Sect. II et III), relativement au degré des courbes et au nombre de tangentes qu'on peut leur mener d'un point donné; c'est-à-dire que l'énoncé ci-dessus suppose essentiellement que, parmi ces tangentes, on comprenne même les droites qui ne font que passer par les points multiples, de rebroussement et conjugués, lesquelles d'ailleurs devront être comptées pour un certain nombre de tangentes distinctes, quoique confondues entre elles, selon le nombre des branches appartenant à ce point, etc. En un mot, l'application de nos théorèmes suppose que les systèmes des tangentes relatives à chaque courbe, à chaque point donnés, aient été obtenus par une méthode purement géométrique et suffisamment générale pour donner à la fois toutes celles qui sont distinctes, réelles ou imaginaires, à distance donnée ou infinie, confondues par deux, par trois,..., ou multiples, et dont le nombre, en vertu de la loi de continuité, s'élève toujours à m(m — i).

Cette méthode, que nous ferons connaître et que nous étudierons d'une manière spéciale dans les paragraphes suivants, attendu son importance et sa généralité, ne pourrait être ici développée sans déranger la marche systématique des idées et du plan que nous avons adopté, après divers essais infructueux de rédaction datant de 1816 et 1817 (*). Enfin, ce que nous disons des simples faisceaux de tangentes aux courbes, issues de points

{*) f^oyez le tome II de mes JppUcations d^ Analyse et de Géométrie, p. 149, 484 et suivantes. - (Note de i865.)

donnés, doit s'entendre également des faisceaux de plans tangents aux surfaces convergeant en des droites également assignées de position dans l'espace.

305. Dans ce qui précède, ne se trouve pas mentionnée la tentative de M. Gergonne et de ses imitateurs pour doubler le nombre des propriétés des figures au moyen du principe de dualité, principe fondé, d'une part, sur la considération de la classe des courbes et surfaces, d'une autre, sur l'adoption des énoncés à doubles colonnes ; car, outre que ce principe métaphysique n'a point été démontré par l'inventeur et ne repose que sur de simples inductions ou rapprochements, il n'est point applicable directement aux relations métriques en général, fussent-elles de leur nature projectives, non plus qu'aux figures composées de lignes, de surfaces d'un ordre supérieur au deuxième, à moins de se contenter du vague que comporte leur détinition par le numéro de la classe dans l'étude des affections qu'elles offrent par rapport aux transversales linéaires, étude que le principe de dualité, ni même celui de la réciprocité polaire, ne peuvent faciliter, puisqu'ils font retomber sur des lignes ou surfaces à points singuliers dont, à priori, on ignore les propriétés et l'espèce.

Ce vice radical devient bien apparent dès la troisième classe, si l'on se propose notamment de traduire en propositions inverses les énoncés divers des théorèmes ou constructions des n°' 184, 206, 229, 244, 247 etsuiv., relatifs aux systèmes de lignes droites ou courbes qui nous ont occupés au commencement de cette Section; car les relations d'involution simple ou composée n'ont pas de dépendance directe et explicite avec le théorème d'Analyse algébrique mentionné aux n°* 299 et suivants, ni avec les relations de réciprocité polaire de situation qui concernent le tracé effectif des courbes géométriques, etc. Aussi le principe de dualité, s'il est appliqué à des êtres géométriques inconnus à priori au delà de la seconde classe, n'offret-il aucun intérêt immédiat ou logique; le mot classe lui-même n'ayant primitivement servi qu'à pallier une grossière erreur mathématique. Aussi les géomètres consciencieux, éclairés par les discussions (*) des tomes VII et XII du Bulletin des Sciences mathématiques de Férussac (années 182-7 à 1829), n'ont-ils pas tardé à abandonner la méthode des doubles colonnes de M. Gergonne, tout en mettant à profit mes propres méthodes dont ils ont fait de très-belles et savantes applications, notamment à la transformation polaire

(*) Voyez aussi le § II de la Section supplémenta'u-e . — (Note de i865.)

SECTION IV. — DES SYSTÈMES DE LIGNES ET DE SURFACES. 271 et réciproque des figures en prenant pour directrices des pôles le cercle, la sphère, la parabole, le paraboloïde ou toute autre courbe ou surface du second degré choisie en particulier, ce dont moi-même j'avais offert d'intéressants exemples dans mes écrits antérieurs.

Des axes, des plans et des centres de moyennes harmoniques ou de moyennes distances des lignes ou surfaces géométriques.

Mon objet ici n'est point de m'étendre longuement sur les corollaires nombreux qui découlent des propositions établies dans les précédents paragraphes; je prétends me borner aux conséquences les plus générales de chaque espèce, en insistant seulement assez pour bien faire voir l'étendue d'application propre aux différents principes. L'analogie de ces conséquences avec celles qui concernent les pôles, polaires, diamètres et plans diamétraux, etc., des lignes et des surfaces du second degré, et surtout ce que j'ai dit déjà, dans les précédentes Sections ou Mémoires, sur les centres, les axes et les plans de moyennes harmoniques, sur les systèmes de lignes et de surfaces en involution et leurs réciproques polaires, enfin sur les systèmes de points, de droites et de plans quelconques, me dispense d'entrer dans aucun développement nouveau et d'insister sur des définitions pour lesquelles je renverrai aux Seclions ou Mémoires dont il s'agit.

GÉNÉRA^LISATION DES THÉORÈMES DE NEWTON, DE COTES ET DE MAC-LAURIN, RELATIFS