AUX COURBES PLANES

306. Considérons en particulier les deux propositions du n° 192; il est clair qu'elles donnent immédiatement lieu à ces énoncés :

Une courbe géom^étrique de degré quelconque et un point fixe étant donnés à volonté sur un plan^

1 ° Si, de ce point considéré comme pôle, on mène une suite de sécantes ou de transversales rectilignes dans la courbe, puis qu'on prenne sur chacune d'elles le centre des moyennes harmoniques des points d'intersection correspondants, par rapport au point fixe ou pôle, la suite de tous ces centres appartiendra à une droite unique que nous nommerons /'axe des moyennes harmoniques de cette courbe conjugué au pôle dont il s' agit;

2,^ Si, ayant choisi à volonté deux des transversales ci-dessus, on joint deux à

deux, par de nouvelles droites, celles de leurs intersections qui appartiennent aux mêmes branches de la courbe, le système de toutes ces droites, en nombre égala celui qui marque le degré de cette courbe, aura même axe des moyennes harmoniques par rapport au pôle fixe des transversales.

307. Le premier de ces deux théorèmes, pour le cas particulier où les moyennes sont prises avec des coefficients numériques égaux, n'est autre que celui de Côtes, démontré par Mac-Laurin dans son Traité posthume d'Algèbre (1748). Il redonne le théorème de Newton sur le diamètre des courbes planes, conjugué à la direction d'une droite quelconque, quand on suppose le pôle à l'infini ou les sécantes parallèles entre elles et à la droite fixe dont il s'agit. Par cette supposition, en effet, tous les centres de moyennes harmoniques des transversales se changent (15 et 26) en des centres de moyennes distances, et l'axe des moyennes harmoniques en un axe de moyennes distances pour lequel la somme algébîique des segments interceptés sur les transversales, entre cet axe et les différentes branches de la courbe, est égale à zéro.

Quant au second de ces théorèmes, il conduit immédiatement à ce nouveau corollaire :

<r Si l'on coupe une ligne plane géométrique par une droite arbitraire, » puis qu'on mène des tangentes aux diverses intersections correspondantes, » le système de toutes ces tangentes aura même axe de moyennes harmo-» y> niques que la courbe par rapport à un point quelconque de cette droite » pris pour origine des segments et pôle d'une suite de transversales. »

308. Ce dernier corollaire renferme comme cas particulier une belle proposition démontrée par Mac-Laurin dans l'ouvrage déjà cité, et qu'on peut considérer également comme une conséquence fort simple du théorème de Côtes. En y supposant le pôle situé à l'infini sur la droite arbitraire, les transversales qui s'y rapportent deviendront toutes parallèles à cette droite, et l'axe des moyennes harmoniques se changera encore en un axe des moyennes distances ou diamètre de la courbe, conjugué à la direction de cette même droite. Enfin, si l'on suppose que la sécante ou transversale d'abord considérée s'éloigne tout entière à l'infini sur le plan delà courbe proposée, on retombera directement sur cette autre proposition due à Newton :

Dans toute courbe plane géométrique, le système total des asymptotes a même diamètre que la courbe, conjugué à une direction donnée quelconque ; corollaire d'où l'on aurait pu inversement déduire, par nos principes, les théorèmes généraux ci-dessus; mais il est évident que Newton, Mac-Laurin et Côtes n'ont point aperçu la liaison intime existant entre ces différents théo-

rèmes, qui (Sect. P^) s'étendent aux cas où les moyennes sont prises par rapport à des coefficients numériques arbitraires.

THÉORÈMES CORRESPONDANTS POUR LES LIGNES A DOUBLE COURBURE ET LES SURFACES.

309. Les mêmes propositions relatives aux courbes planes et à leurs asymptotes, qu'on pourrait multiplier pour ainsi dire à volonté à l'aide des théorèmes généraux contenus dans les précédentes Sections, s'étendent immédiatement aux surfaces et aux lignes géométriques à double courbure quelconques, en vertu de raisonnements analogues à ceux qui ont été mis en usage dans les n°^ 44- et 45 du Mémoire sur les centres de moyennes harmoniques (Sect. P). On est ainsi conduit aux théorèmes généralisés qui suivent:

Étant donnés, dans l'espace, une surface géométrique quelconque et un point fixe pris pour pôle commun d'une infinité de transversales rectilïgnes arbitraires, le système de tous les centres de moyennes harmoniques des intersections de ces tranversales avec la surface, conjugués au pôle fixe, appartiendra à un plan unique qu'on peut appeler : plan des moyennes harmoniques relativement à ce même pôle.

310. Considérant, en particulier, trois quelconques des transversales dont il s'agit, et concevant un système de plans-cordes joignant trois par trois les intersections qui appartiennent à des transversales distinctes et aux nappes diverses de la surface proposée, le plan des moyennes harmoniques de ce système de plans cordes, relatif au pôle fixe des transversales, se confondra avec celui de cette surface. Et, si les trois transversales dont il s'agit se réunissent en une seule, les plans-cordes se confondront avec les plans tangents de la surface aux extrémités de cette droite unique; de sorte que tous les systèmes de plans tangents pareils qui appartiennent à des transversales différentes, issues dudit pôle, auront un seul et même plan de moyennes harmoniques, confondu avec celui de la surface proposée par rapport à ce point fixe ou pôle.

Si, d'ailleurs, on suppose dans ces énoncés que le pôle fixe passe à l'infini ou que les transversales deviennent parallèles à une direction donnée, les centres de moyennes harmoniques divers se réduisant à des centres de moyennes distances, on arrivera à des théorèmes analogues relatifs aux plans de moyennes distances qu'on pourra nommer plans diamétraux de la surface conjugués à la direction dont il s'agit.