AB.CD.EF... +A'B'.C'D'.E'F'... + A'B".C"D".E"F

» se trouveraient rangées sur une même droite, toutes les autres appartenant à de » simples systèmes de droites parallèles, il est clair que, cette relation étant pro- » jeciive orthogonalement, chacun des termes qui la composent devra contenir (I) » un nombre égal de ces premières distances comme facteurs simples, supposé » toutefois qu'il n'y entre aucune autre longueur relative à des droites qui seraient » parallèles à la direction de celle dont il s'agit. Appliquant donc séparément aux » différents produits formés par ces facteurs le mode de transformation ci-dessus, » et agissant de même pour les divers autres systèmes de points rangés sur une » même droite, il ne restera plus qu'à s'occuper des groupes de facteurs qui con- B cernent les systèmes de droites parallèles à des directions données. Or, c'est ici » qu'on peut varier, pour ainsi dire à volonté, le mode de transformation sans » cesser d'obtenir des relations nouvelles tout aussi exactes que la première, et qui » soient projectives coniquement.

» Considérons en particulier, dans la relation proposée, le groupe des dislances » AB, A'B', A"B", . . . , qui sont censées parallèles à une direction donnée ; et, pour » plus de généralité, supposons que ces distances n'appartiennent pas toutes à un

» même plan. Cela posé, concevons que d'un point quelconque de l'espace, on » projette ces distances sur un plan arbitraire, et soient ab, cd, ef,... les dislances » qui leur correspondent respectivement dans cette projection ; il est clair qu'étant » proportionnelles aux premières, on pourra les substituer à leur place dans la » relation proposée, sans altérer en aucune manière celte équation, puisque chacun » de ses termes doit en contenir (I) le même nombre comme facteurs. Concevant » enfin qu'on ait coupé le système des parallèles ab, cd, ef,.., par une droite arbi- » traire qui les rencontre aux points x, x', x",... respectivement; nommant/? le » point situé à l'infini sur celte droite, et remarquant que nos différents systèmes » de parallèles peuvent eux-mêmes être censés avoir un point de concours unique » 0 dans l'espace, on apercevra de suite le moyen de satisfaire aux conditions » précédemment indiquées, quant à ce qui concerne les facteurs linéaires AB, » A'B', A"B", . . . considérés en particulier. » En effet, si on remplace ces facteurs par les quantités respectives

ab xO a'b' x'O a"b" x"0

aO.bO xp a'O.b'O x'p a"0.b"Oa"p

» qui leur sont simplement proportionnelles attendu l'égalité des segments infinis » qui y entrent, d'une part (II) on n'aura point troublé la relation primitive; d'une » autre, en réduisant tous les termes au même dénominateur, ils se trouveront » composés des mêmes lettres et de facteurs linéaires appartenant, chacun à » chacun, aux mêmes droites indéfinies; la nouvelle relation sera donc applicable 1) à toutes les projections coniques de la figure.

» Dans le cas où toutes les distances parallèles AB, A'B', A"B", ... se trouveraient » naturellement comprises dans un plan unique, il serait inutile évidemment de » les remplacer ainsi par d'autres ab, a'b', cC'b",.., assujetties à la même condi- » lion ; il suffirait de les couper par une transversale quelconque, puis d'opérer » comme on vient de le dire : on pourra même éviter l'emploi de cette transver- » sale auxiliaire, dans tous les cas où les parallèles en question se trouveraient à la » fois et naturellement coupées par quelqu'une des droites de la figure, etc.

» Concevons encore que, dans le cas général ci-dessus, au lieu de projeter les » diverses distances AB, A'B', A"B", . . . sur un plan arbitraire, on les projette sur » une simple droite ou axe, soit par un système quelconque de plans parallèles, » c'est-à-dire concourant suivant une même droite à l'infini, soit par autant de » couples d'ordonnées ou de parallèles arbitraires, l'axe étant pris parallèlement » aux distances considérées, soit enfin par des couples d'ordonnées parallèles » choisies de façon que le système de celles qui appartiennent aux extrémités » A, A', A",. . ., par exemple, aboutissent à un même point de l'axe parallèle dont » il s'agit; il est évident que, dans ces différentes circonstances, les dislances pro- » posées étant respectivement égales ou dans un rapport invariable avec leurs » projections sur l'axe commun, il serait complètement inutile de faire intervenir » une transversale auxiliaire dans le système, pour atteindre le but désiré; car, » ayant remplacé, dans la relation primitive, chaque distance par sa projection, il ne II. 43

» s'agira plus que de la traiter comme on l'a fait (II) pour un simple système de

» points rangés en ligne droite.

» IV. Modes de transformation plus simples que les précédents. — On peut éviter » entièrement de recourir à des projections auxiliaires des distances parallèles » AB, A' B', A'-'B", . . . sur un plan ou une droite arbitraire, et opérer immédiatement » la transformation qui nous occupe, en joignant simplement, par des droites et » deux à deux, les extrémités respectives de ces distances.

» Considérant, par exemple, les distances AB et A'B', on mènera parleurs extré- » mités A et A', B et B', les droites AA', BB' se rencontrant en R', je suppose, et » l'on aura par les triangles semblables* ABR, A' B'R',