DES FIGURES, ETC

[Extrait du recueil belge intitulé : Correspondance mathématique et physique, etc.^ par A. Quetelet (Bruxelles, t. VII, i83i-i832, p. ii8 et 141 à i58) (*).]

« Dans un travail étendu sur les Applications de l'analyse des transversales aux » propriétés projectiles des courbes ou surfaces géométriques de tous les ordres, » travail dont la première partie s'imprime actuellement dans le Journal de Mathé- » matiques pures et appliquées de M. le docteur Crelle, de Berlin, j'ai montré » comment les principaux théorèmes de M. Chasles, relatifs aux pôles, diamètres » et plans diamètres de ces lignes et surfaces, insérés au tome VI, p. i de la Cor- » respondance mathématique et physique, se trouvent compris, comme cas parli- » culiers, parmi ceux que j'ai moi-même établis depuis nombre d'années sur les » axes, centres et plans de moyennes harmoniques, et dont j'avais offert les prin- » cipaux éléments dans un Mémoire présenté en mars 1824, à l'Académie royale » des Sciences de Paris, en considérant spécialement le cas oif les courb.es et sur » faces se trouvent remplacées par de siniples systèmes de points, de droites et de » plans quelconques.

» J'ai de plus affirmé, dans le travail dont il s'agit, que toutes les relations métri- » ques envisagées par M. Chasles, dans ses deux Mémoires sur les transformations » paraboliques {Correspondance mathématique, t. V, p. 281, et t. VI, p. i), non- » seulement ne sont pas plus générales que celles que j'ai caractérisées jus- » qu'ici par l'épithète de projectiles, et que j'ai spécialement soumises aux prin- » cipes généraux de la transformation polaire, dans un autre Mémoire également » présenté à l'Académie royale des Sciences au commencement de 1824, mais » encore qu'elles doivent être considérées comme autant de cas particuliers des » relations de ce dernier genre, relations auxquelles il est toujours possible de » remonter par des transformations fort simples et analogues à celle dont j'ai donné » précédemment une idée dans la Note II de mon Mémoire sur les centres de » moyennes harmoniques. Or, c'est ce que je me propose ici de démontrer d'une » manière générale, en observant que les conditions assignées par M. Chasles aux » relations métriques de la transformation parabolique reviennent précisément à » celles qui exigeraient que ces relations eussent lieu dans les projections orlho- » gonales de la figure sur une droite ou un axe arbitraire ( fojez t. V, p. 283 et » 3o6 de la Correspondance mathématique), genre de projection qui n'est effecti- » vemenl qu'un cas très-particulier de celui où elle s'opère, soit orthogonalemenl

(*) Cette Note est précédée, p. 79, d'une autre sur les lignes du troisième ordre, fort courte, écrite en i83i, mais tardivement parue dans la Correspondance de Bruxelles, et qui, ne contenant rien qui ne soit déjà dans le Mémoire sur P analyse des transversales (t. P*", Sect. III) , ferait ici double emploi. — (Note de i865,)

» sur un plan quelconque, soil coniquement par des systèmes de droites et de » plans convergeant en un même point, ou suivant une même droite.

» Les relations métriques qui sont projectives d'après ce dernier mode le sont » nécessairement aussi et à fortiori i[iOUT les projections ordinaires de la figure; » mais l'inverse n'a évidemment pas lieu : c'est-à-dire que, de ce qu'une relation » métrique subsiste dans les projections orthogonales d'une figure ou même dans » sa projection par des parallèles quelconques, ce n'est pas un motif suffisant pour » croire qu'elle ait lieu, par cela même, dans ses projections coniques ou centrales : » cette circonstance n'arrive que dans quelques cas spéciaux, pour lesquels d'ail- » leurs la transformation parabolique n'offre aucun avantage sur la transformation » polaire en général, et a l'inconvénient de ne point laisser apercevoir immédiate- » ment la possibilité de traduire la relation proposée en une relation pareille » d'angles ou de lignes trigonométriques, comme le fait cette dernière transfor- » mation d'après ce que nous avons établi aux n°* 123 et 137 du Mémoire sur la » Théorie générale des polaires réciproques. Or, je le redis encore, l'objet de ceue » Note est précisément de faire voir comment il est toujours possible, par des » règles précises, de convertir une relation, projective orthogonalement, et qui ne » l'est pas coniquement, en une autre qui, non-seulement le soit en général, mais » qui de plus satisfasse aux conditions particulières examinées aux n°'9 et suivants » du Traité des Propriétés projectives des figures , t. \" .

» I. Caractère général des relations projectives orthogonalement. — Rappelons » d'abord les conditions d'après lesquelles on peut reconnaître qu'une relation » métrique entre les diverses grandeurs d'une figure subsiste dans les projections » orthogonales de cette figure sur un axe ou un plan arbitraires.

» Soient AB l'une quelconque des distances, (ABC) l'une quelconque des aires » planes qui entrent dans cette même relation, et auxquelles correspondent res- » peclivement, en projection, la distance ab et l'aire abc : on aura évidemment

■^^ =^ TTTt n' (ABC)= , . ,,.^ 7 — :)

cos(AB,«6) cos(ABC, «06')

» (AB, ab), (ABC, abc) désignant respectivement les angles que forment la droite » et le plan d'aire considérés avec l'axe ou le plan de projection correspondant. » Supposant donc qu'ayant substitué, pour chacune des distances et des aires » planes qui entrent dans la relation proposée, sa valeur ci-dessus en fonction de » la distance ou de l'aire qui en est la projection orthogonale, il arrive que les » dénominateurs ou cosinus disparaissent d'eux-mêmes du résultat, et sans qu'on » soit obligé de faire aucune hypothèse particulière sur la position de l'axe ou du » plan de projection par rapport aux diverses parties constituantes de la figure; cela » arrivant, disons-nous, la relation dont il s'agit sera projective orthogonalement , » elle aura lieu pour toutes les projections orthogonales possibles de la figure sur » des droites ou des plans arbitraires.

» Pour découvrir maintenant comment ces conditions peuvent être généralement » remplies pour une relation métrique et une figure données, il faut supposer

» qu'on ait ramené cette relation à sa forme rationnelle la plus simple, c'est-à-dire » à une autre qui ne soit plus composée que d'une suite de termes monômes sans » dénominateurs ni radicaux, mais contenant différents facteurs simples de dis- » tances ou d'aires, que pour abréger nous désignerons par les épithèles de facteurs » linéaires, facteurs superficiels. Or, il est clair que si l'on substitue, dans une » telle relation, les expressions ci-dessus de chacun de ces facteurs, les lignes » trigonométriques correspondantes ne pourront disparaître d'elles-mêmes, et gé- » néralement du résultat, qu'autant i° qu'elles s'y trouveraient en nombre égal » dans chacun des termes, qui ainsi devraient se composer d'un même nombre de » facteurs simples et d'une nature analogue; 2° que les produits de ces lignes tri- » gonométriques seraient égaux pour les différents termes, ce qui, attendu la » position générale et arbitraire de l'axe et du plan de projection par rapport aux » parties de la figure, exige que les mêmes cosinus se reproduisent dans les déno- » minateurs de ces termes.

» AB, par exemple, étant facteur simple dans l'un des termes de l'équation pri- » mitive, il devra correspondre à AB, dans les différents autres termes des dis- » lances A'B', A"B", etc., qui aient respectivement pour cosinus d'inclinaison ou » pour coefficients trigonométriques celui qui se rapporte à la première. Et pa- » reillement, s'il entre dans un certain terme un facteur superficiel tel que (ABC) » par exemple, chacun des autres termes de la relation devra contenir un facteur )) superficiel (A'B'C), (A"B"C") analogue, et auquel devra correspondre le même » coefficient ou le même cosinus.

» D'après cela, il est aisé d'apercevoir que, si l'on ne veut absolument rien sta- » tuer de particulier sur la position des distances AB, A'B',..., ou des aires planes » (ABC), (A'B'C),. . ., par rapport à l'axe et au plan de projection, c'est-à-dire si » cet axe et ce plan doivent demeurer quelconques, il est aisé d'apercevoir, dis-je, » que les conditions qui viennent de nous occuper ne pourront être généralement » remplies qu'autant que les distances et les aires dont il s'agit appartiendraient » à la direction d'une même droite, d'un même plan indéfinis, ou à celle de droites » et de plans distincts, mais tous parallèles entre eux.

» Telles sont donc finalement les conditions de position générales, auxquelles » doivent être assujetties les différentes grandeurs qui entrent dans toute relation » métrique appartenant à une certaine figure située dans un plan ou dans l'espace, » pour que cette relation soit projeclive orthogonalement. Prouvons maintenant » que, si une telle relation ne satisfait pas naturellement et dans sa forme actuelle » aux conditions particulières des n°^ 9 et suiv. du Traité des Propriétés projec- » tives (t. P'), qui se rapportent à la projection conique ou centrale des figures, on » pourra toujours l'y ramener, comme cas particulier, en la transformant, selon les » principes exposés dans la Note II du Mémoire (t. II, Sect. I) sur les centres de » moyennes harmoniques, en une «iutre plus générale, c'est-à-dire en y introduisant, » comme facteurs de ses différents termes, certains segments ou dislances infinies » ayant pour origine quelqu'un des points de la figure proposée.

» II. Transformation des relations métriques entre les distances rangées sur une

» même droite. — D'après ce qui précède, les relations dont il s'agit peuvent tou- » jours, si elles ne contiennent aucun facteur superficiel, être censées ramenées » préalablement à d'autres de cette forme

AB.CD.EF. . H- A'B'.C'D'.E'F. . . -h A" B". CD". ET". . . H = o,

» dans laquelle on suppose que les simples dislances ou facteurs linéaires, tels » que AB, A'B', A"B",..., qui contiennent les mêmes lettres accentuées différem- » ment, appartiennent à une même droite ou tout au moins à des droites parallèles » qui peuvent être considérées comme ayant un certain point commun à l'infini.

)) Nommant 0 ce point, on remarquera que les distances infinies OA, OB, O'A', » O'B',..., qui lui correspondent, peuvent être considérées comme étant numéri- » quement égales entre elles, ou comme ayant deux à deux pour rapport l'unité, » puisqu'elles ne diffèrent entre elles que de quantités assignables et données; si » donc on les introduit, en même nombre, comme facteurs ou diviseurs des diffé- » rents termes de la relation proposée, elles n'en troubleront nullement l'exacti- » lude en tant que celte relation continuera à exprimer une simple égalité entre des » grandeurs mathématiques.

» Cela posé, considérant d'abord le cas où toutes les dislances qui entrent dans » celle relation appartiendraient à une même droite, il ne s'agira, pour la irans- » former en une autre qui soit projective coniquemenl, que de la traiter comme » celles qui nous ont occupé, en particulier, dans la Note déjà citée plus haut; » c'est-à-dire que, 0 étant le point à l'infini sur celle droite, on multipliera chacun » de ses termes par le produit de tous les segments infinis relatifs à 0 et à ceux » des différents points considérés qui n'appartiennent pas aux facteurs linéaires ou » simples de ce terme ; ce qui revient à diviser chaque terme par le produit de tous » les segments infinis correspondants aux points ou aux lettres de ce terme. Mais, » comme ici la même lettre peut se reproduire dans les différents termes de l'équa- » lion, il conviendra de ne pas comprendre, au nombre des facteurs de ces pro- » duits, le segment infini qui correspond au point indiqué par cette lettre ; car ce » segment étant à la fois facteur ou diviseur de tous les termes, disparaîtrait de » l'équation finale, même pour les projections de la figure où il acquerrait une » valeur finie et quelconque.

» Il est clair d'ailleurs qu'en opérant ainsi : i° on n'aura nullement troublé l'éga- » lité primitive; a" que l'égalité nouvelle se trouvera composée d'une suite de » termes dans lesquels entreront les mêmes lettres ou qui appartiendront aux » mêmes points ; 3° qu'à chacun des facteurs linéaires qui composent un terme » quelconque de cette dernière égalité, il correspondra, dans les différents autres » termes, un facteur linéaire ou une distance située sur la même droite que le B premier facteur ou la première distance. Or, si l'on se reporte aux n°* 9 et suiv. » du Traité des Propriétés projectiles, t. l", on s'assurera que ces circonstances, » toutes, indispensables, suffisent néanmoins pour que la relation dont il s'agit défi meure applicable à toutes les projections centrales ou perspectives de la figure, j) dans lesquelles d'ailleurs les dislances infinies et primitivement égales seront

» devenues des distances quelconques aboutissant simplement à un point com- » mun, projection du point 0.

)) En effet, S étant un point arbitraire de l'espace pris pour centre de projection, » AB l'une quelconque des distances qui entrent dans la relation proposée, A et B » les longueurs des projetantes SA et SB, m le sinus de l'angle ASB formé par ces » projetantes, p la perpendiculaire abaissée de S sur la direction indéfinie de AB, » on aura

AB = sin(ASB) — = m — ;

» et, d'après les conditions des numéros dont il s'agit, il faudra qu'en substituant, » dans celle relation, pour la distance AB et ses analogues, les expressions qui leur » correspondent, il ne reste plus, réductions faites, qu'une relation du même » genre entre tous les sinus m des angles projetants relatifs aux diverses distances; » mais c'est ce qui résulte évidemment des circonstances ci-dessus énoncées. Car, » par suite de la première, toutes les projetantes disparaîtront du résultai de la » substitution comme facteurs communs de l'équation, et, d'après la seconde, il en » sera de même des perpendiculaires abaissées de S, sur chaque dislance; perpen- » diculaires ici toutes égales entre elles, mais qui ne le seraient plus s'il s'agissait » de distances quelconques ou simplement parallèles; ce qui démontre que la » transformation ci-dessus ne serait plus applicable, avec le même succès, à une B relation métrique entre de pareilles distances.

» III. Transformation des relations métriques entre les distances parallèles. — - » Considérant maintenant le cas où une partie seulement des distances qui appar- » tiennent aux différents termes de la relation proposée