II. I

que les modernes, ont cultivées avec une sorte de prédilection, et qui pour la plupart et jusqu'à ces derniers temps avaient été traitées par des méthodes si restreintes, si différentes les unes des autres et souvent si pénibles, qu'il était comme impossible d'en saisir l'ensemble et d'en deviner la commune origine.

Qu'il me soit permis ici de fixer un instant l'attention des lecteurs sur quelques-uns de ces principes généraux, qu'on n'a point encore assez appréciés peut-être, et qui me paraissent aussi neufs qu'importants en Géométrie; cet exposé succinct répandra quelque jour sur l'objet des recherches qui m'occupent actuellement, et m'y conduira de la manière la plus naturelle et la plus philosophique.

Parmi ces principes, je placerai en première ligne, par l'étendue des conséquences qui en dérivent, ceux qui se rattachent à la doctrine des projections, et à l'aide desquels on transforme des figures très-générales en d'autres tout à fait particulières et vice versa; de telle sorte que les propriétés des unes étant connues, on en conclut, sur-le-champ, les propriétés des autres, du moins celles de ces propriétés dont la nature est assez générale pour se conserver dans les diverses /?ro/'ec^«on^ centrales de la figure, et que, pour cette raison, j'ai nommëQS projectives.

Le caractère de ces sortes de propriétés n'était pas difficile à établir pour ce qui concerne les relations purement descriptives ou graphiques; il se reconnaît toujours au simple énoncé, et j'ai donné d'ailleurs les lois des modifications qu'il éprouve dans les cas particuliers où certains objets s'éloignent à l'infini, ou prennent des situations déterminées, telles que celles à\x parallélisme et de V asymptotisme .

Quant aux relations purement métriques ou concernant les rapports de mesure des lignes, leur caractère deprojectibilité, si jepuism'exprimer ainsi, ne pouvait être présenté d'une manière entièrement générale, à cause de la complication des expressions, et j'ai dû me borner à l'établir pour une classe particulière de relations métriques, et cependant encore très-étendue, puisqu'elle comprend tout ce qu'on connaît actuellement sur les propriétés projectives des figures, et qu'elle en indique une infinité d'autres qui ne le sont pas encore. J'ai même lieu de croire qu'il n'est aucune relation métrique projective qui ne puisse être ramenée à cette classe particulière par des transformations convenables de calcul (*). Mais cette restriction même est un grand avantage, puisque indépendamment du caractère de simplicité qu'elle

(*) Foyez la Note 11 à la fin de cette Section.

imprime aux relations métriques, elle les rend encore aptes à demeurer applicables, non plus seulement aux projections ou perspectives ordinaires de la figure, mais aux projections sphériques faites du centre de la sphère et pour lesquelles les simples distances sont remplacées par les sinus des arcs de grands cercles correspondants, et à cette espèce de projection beaucoup plus générale que j'ai nommée, faute d'expressions convenables, per^pec^iVe dans un plan ou plane, et perspective dans V espace ou en relief; genre de projections sur lesquelles on n'avait encore rien donné, rien écrit, et qui mérite cependant toute l'attention desgéomètres, et particulièrement celle des sculpteurs, qui manquent encore de préceptes rigoureux et généraux pour le tracé de cette espèce de tableaux qu'on est convenu de nommer bas-reliefs.

En effet, je crois avoir établi ces préceptes dans le Supplément placé à la fin de mon ouvrage, et, de la même manière que j'avais montré, dès la première Partie, comment, par la projection centrale ordinaire, on peut ramener les figures composées de sections coniques et de lignes concourantes, en d'autres beaucoup plus élémentaires composées uniquement de cercles et de droites parallèles, j'ai aussi établi, dans ce Supplément, les moyens d'étendre aux surfaces du second ordre en général, et à l'aide de \2i perspective-relief , les propositions qui concernent simplement les sphères et systèmes de sphères, et je crois en avoir montré d'assez belles applications pour faire saisir l'esprit général de la méthode, et en faire apprécier toute l'utilité et l'importance.

Un autre principe très-é tendu, auquel peut-être on n'avait pas assez accordé d'attention dans la Géométrie rationnelle, c'est le principe de continuité, en vertu duquel on donne aux différentes propositions de la Géométrie l'extension et la généralité qui leur manquent d'ordinaire, d'après la manière restreinte dont il arrive souvent qu'on envisage les figures et les résultats des raisonnements qu'on leur applique. L'admission et l'emploi de la loi de continuité m'étaient tout à fait indispensables pour donner aux principes de la doctrine des projections et aux diverses conséquences qui en dérivent la certitude et l'étendue nécessaires, outre qu'ils offraient les moyens d'interpréter et d'introduire ouvertement en Géométrie la considération des infinis et des imaginaires qui jouent un rôle si important et si nécessaire dans l'Analyse algébrique et, on peut le dire, dans toutes les applications du calcul. La conséquence de l'admission delà continuité a été la théorie àes sécantes, des cordes idéales et en général de tout objet qui, sans cesser d'exister dans les transformations d'une même figure, a pourtant cessé de dépendre, d'une manière purement géométrique, d'autres objets

auxquels il se rapportait, et qui le définissaient ou le construisaient dans la figure primitive.

Enfin, je signalerai un dernier principe, que je n'ai pas dû ni voulu exposer avec toute la généralité qui lui est propre, dans le Traité des Propriétés projectives, et qui constitue ce que j'ai nommé la théorie des polaires réciproques, par analogie à ce que les géomètres avaient déjà appelé le pôle et là polaire des lignes et des surfaces du second ordre.

Au premier aperçu, on pourrait croire que le principe dont il s'agit est moins général et moins vaste que les précédents, en ce qu'il ne constituerait qu'une théorie particulière relative aux lignes et aux surfaces du second ordre; maison se tromperait étrangement, car il est tel, qu'au simple énoncé d'une proposition suffisamment générale de l'étendue, ou, pour m'énoncer avec plus de précision, d'une relation/?rq/ec^iVe et de situation, on est toujours en état d'en assigner, sur-le-champ, une autre toute différente, tout aussi générale et qu'il serait souvent très-difficile d'établir par des moyens directs, à moins toutefois que la proposée ne soit elle-même sa réciproque, ce dont il y a des exemples.

J'ai exposé les premiers éléments de cette doctrine, ainsi généralisée, dans un numéro des Annales de Mathématiques (*), en partant de quelques théorèmes déjà précédemment établis par les géomètres sur les pôles et polaires des lignes et surfaces du second ordre, théorèmes qui sont d'ailleurs une conséquence très-simple des principes généraux de la projection centrale combinés avec la loi de continuité; et je ne connais que le Rédacteur de ce recueil, M. Gergonne, qui s'en soit servi depuis (**) pour établir la proposition réciproque d'un fort beau théorème dû à M. Coriolis, répétiteur à l'École Polytechnique, lequel s'était contenté simplement d'en faire insérer l'énoncé dans ces mêmes Annales.

Il me serait impossible de donner ici une idée tant soit peu générale de la théorie des polaires réciproques, sans entrer dans des détails qui excéderaient les bornes que je me suis prescrites et que je ne dois pas dépasser quant à présent; je me contenterai donc de renvoyer aux ouvrages cités, en remarquant toi^tefois que je n'en ai présenté là qu'une indication très-rapide, fort incomplète et qui suffisait à l'objet des recherches que j'avais en vue. Je n'y ai même fait mention uniquement que de ce qui concerne la réciprocité des relations graphiques ou descriptives qui subsistent entre la figure

( * ) T. VIII, année 1 8 1 8, p. 20 1 . [F'oy. aussi les pages 476 à 5o3 du tome II des Applications d'Analyse et de Géométrie, o\x cet article est accompagné de Notes et réflexions diverses, datant de 1864.) (**) Ibid., t. XI, année 1821, p. 335.

primitive et sa dérivée; or, il est très-facile d'étendre toute cette doctrine aux relations purement métriques qui rentrent dans la classe de celles que j'ai nommées projectives, et c'est ce que jeme propose de faire bientôt, quand j'en viendrai à exposer les propriétés des lignes et des surfaces courbes géométriques, dont la démonstration repose nécessairement sur la théorie des polaires réciproques.

C'est là aussi que j'aurai occasion de développer, avec toute l'étendue qui leur est propre, les principes de la théorie des transversales établis par M. Carnot dans la Géométrie de position, et que jusqu'ici on n'avait guère appliqués qu'aux systèmes de lignes droites et aux sections coniques. J'ai dû me borner, dans le Traité des Propriétés projectives, à faire voir comment les principes fondamentaux et déjà connus de cette théorie pouvaient se démontrer directement à l'aide des considérations de la perspective q\ projection centrale, et je devais éviter d'en déduire des conséquence», f'cs applications dont l'exposé eût pu paraître étranger au but général de ' v/ . . ;;e et m'eût entraîné dans des développements trop considérables. Je ne saurais d'ailleurs me proposer, quant à présent, de présenter à l'Académie une Notice, même sommaire, des résultats auxquels je suis ainsi parvenu; cette Notice serait ici prématurée et conviendra mieux à l'époque où je serai en situation de lui offrir le travail lui-même; mon but actuel est seulement de mettre sous ses yeux un aperçu général des efforts que j'ai faits précédemment et que je me propose encore de faire pour agrandir le domaine, déjà si vaste, de la Géométrie rationnelle, et surtout pour lui créer des ressources, des méthodes universelles qui paraissent encore lui manquer, et sembleraient plus particulièrement appartenir à la Géométrie analytique.

En effet, on a dû s'apercevoir facilement, d'après ce qui précède, que la doctrine des propriétés projectives, celle de la perspective-relief, le principe ou la loi de continuité, enfin la théorie des polaires réciproques et la théorie des transversales étendue aux lignes et surfaces courbes, ne forment pas simplement des classes plus ou moins étendues de problèmes et de théorèmes, mais constituent proprement, pour la Géométrie pure, des principes, des méthodes d'investigation et d'invention, des moyens d'extension et d'exposition, dans le genre de ceux qu'on a nommés principes à'exhaustion, méthode des infiniment petits, etc.

Dans la théorie des lignes et des surfaces géométriques que je me propose de faire paraître par portions et successivement, je n'adopterai aucune de ces méthodes d'une manière exclusive; je les mettrai toutes indifféremment à contribution selon l'avantage qu'elles pourront offrir dans chaque cas, et

je montrerai ainsi l'étendue des ressources qui leur sont propres et des conséquences que l'on en peut déduire. Mais, comme la théorie des courbes et des surfaces géométriques est étroitement liée à la doctrine du centre des moyennes harmoniques, qui est proprement une généralisation de celle du centre des moyennes distances; que cette doctrine n'est point connue et n'a été enseignée nulle part, je débute par un premier Mémoire qui en renferme les principes les plus utiles et les plus remarquables, et dont je me contenterai de donner ici une notion aussi succincte qu'il me sera possible de le faire.

La proportion harmonique, comme on sait, tire son nom des trois principaux accords de la musique, et elle fait la base de Véchelle diatonique. Transportée dans le domaine de la Géométrie par les anciens et les modernes, elle les a déjà conduits à d'intéressantes propriétés des lignes, dont la plupart sont exposées dans le Traité des Propriétés projectiles ; elle semble, en un mot, devoir jouer un rôle brillant et nécessaire dans toutes les questions et propriétés qui ne concernent que la direction indéfinie des lignes et non leur mesure; il est facile, en effet, de démontrer qu'elle remplace partout, en projection, la division en parties égales, qui se présente si fréquemment dans la plupart des figures régulières de la Géométrie.

Supposons qu'à partir d'un même point et sur une même droite, on porte, dans le même sens, trois distances, dont la i'^ moins la i^ soit à la 2" moins la 3^ comme la 1'^ est à la 3^, ces trois distances seront en proportion harmonique; et si l'on porte, à partir du même point et toujours dans le même sens, un nombre quelconque de distances, telles que trois quelconques d'entre elles, qui sont consécutives, forment une proportion harmonique, la suite de toutes ces distances formera ce qu'on nomme une progression harmonique; or on démontrera qu'il en sera encore ainsi pour toutes les projections centrales ou perspectives de la figure sur une droite arbitraire. Maintenant, si l'on suppose l'origine commune des segments harmoniques à l'infini, soit dans la figure primitive, soit dans la projection, les points restants formeront une échelle de parties égales; et pour le dire en passant, c'est cette même propriété qui, dans l'art du dessin, a fait donner à la division en parties harmoniques le nom d'échelle perspective ou fuyante.

M. Brianchon, dans ses Applications delà Théorie des transversales, a donné quelques-unes des propriétés de l'échelle et de la progression harmonique, et j'en indique, dans mon Mémoire, plusieurs autres qui étaient indispensables pour établir la théorie du centre des moyennes harmoniques, et qui sont la conséquence assez simple d'une remarque faite par Mac-Laurin sur

la proportion harmonique, savoir, que « dans une telle proportion, la valeur » inverse ou réciproque de la seconde des trois distances auxquelles elle se » rapporte est moyenne arithmétique entre les réciproques de la première » et de la troisième; » il en résulte, en effet, que lorsque des distances ou segments, comptés d'un même point et sur une même droite, sont en progression harmonique, les réciproques de ces distances sont, de leur côté, en progression arithmétique, ce qui justifie complètement la première de ces dénominations, et fournit à l'instant le moyen de calculer un terme quelconque de la suite dont le rang est assigné.

Mac-Laurin, qui n'avait point à examiner les propriétés de la progression harmonique, s'est contenté de déduire de sa remarque la définition suivante de la moyenne harmonique : * La moyenne harmonique entre un nomhre » quelconque de quantités est telle, que sa réciproque est moyenne arith- » métique entre toutes celles des autres, prises avec un signe convenable (* ) . » 11 en a déduit, en outre, une construction assez simple pour déterminer cette moyenne harmonique ou cette somme de réciproques, dans le cas de plusieurs distances ou segments rangés sur une même droite et comptés d'un même point; son but était d'arriver, par là, à un théorème fort beau de Côtes sur les courbes algébriques et à quelques autres analogues sur la courbure de ces lignes, qui se présentent comme des corollaires très-particuliers du résultat de mon travail.

Tel est le point d'où je suis parti pour établir la doctrine du centre de moyennes harmoniques, qui fait le sujet du Mémoire que j'ai l'honneur de présentera l'Académie, et voici maintenant à quoi je suis parvenu.

J'ai commencé par transformer la relation qui définit la moyenne harmonique, d'après Mac-Laurin, en une autre plus générale et qui fût immédiatement projective dans le sens que j'ai précédemment indiqué; j'ai de suite été conduit à reconnaître que le point qui répond à cette moyenne, en supposant toujours les distances ou segments comptés sur une même droite et d'une même origine, devenait proprement le centre de moyennes distances des points appartenant aux autres, toutes les fois qu'on venait à supposer l'origine commune à l'infini, soit dans la figure primitive, soit dans ses projections; rapprochement qui était impossiJile d'après la définition de Mac- Laurin, et qui m'a conduit à nommer, par analogie, le point en question, centre de moyennes harmoniques des points proposés, par rapport à l'origine commune d'où se mesurent les segments harmoniques.

[* ) Voyez le Traité des Courbes géométriques, par Mac-Laurin.

Dès lors je me suis trouvé en état de traduire, en les généralisant, soit les définitions, soit les propriétés qui concernent le centre des moyennes distances d'un nombre quelconque de points situés arbitrairement dans un plan ou dans l'espace; et pour le faire, je n'ai eu besoin constamment que de me servir des principes établis dans le tome I du Traité des Propriétés projectives. J'ai obtenu, de cette manière, ce que j'ai déjà nommé précédemment la théorie du centre des moyennes harmoniques. Mais ce n'est pas tout : comme les géomètres sont parvenus, dans ces derniers temps, à étendre la théorie du centre des moyennes distances au cas où les moyennes arithmétiques sont prises relativement à des coefficients numériques quelconques, j'en ai fait tout autant pour celle du centre de moyennes harmoniques, et je suis arrivé ainsi à des conséquences qui offrent un nouveau champ de spéculations et de découvertes aux géomètres, et qui, dans des mains plus habiles, ne tarderont peut-être pas à produire des applications aussi heureuses qu'utiles.

Quoi qu'il en soit, j'ai exposé dans la dernière Partie de ce Mémoire quelques-unes des propriétés qui découlent de la théorie du centre des moyennes harmoniques, pour les systèmes de points, de droites et de plans, et, afin de ne pas en multiplier inutilement le nombre, je me suis borné à celles dont la nature générale permet de les appliquer immédiatement aux courbes et aux surfaces géométriques d'un ordre quelconque; mettant ainsi ceux qui liront cet écrit en état de pressentir une telle extension, et de se familiariser, peu à peu, avec ce qu'elle pourrait, au premier aspect, avoir de trop difficile ou de trop abstrait.

De la division harmonique des lignes droites, des progressions , des échelles et des moyennes harmoniques .

11 existe entre la division harmonique et la division en parties égales une analogie très-grande, qui conduit à une foule de conséquences et de rapprochements curieux : avant de l'exposer dans toute sa généralité, il convient de l'examiner dans le cas le plus simple, celui d'une droite ou distance, portant uniquement un point de division entre ses extrémités; mais, attendu que les propriétés relatives à ce cas sont généralement connues des géomètres, je ne ferai que rappeler celles qui me sont nécessaires, et renverrai pour plus de développement au Traité des Propriétés projectives des figures.

1. Soit AB [fig. lyPl.I) une droite ou distance quelconque; prenons sur cette droite et son prolongement les points Q et P, tels qu'on ait