ET RÉCLAMATIONS PRÉCÉDENTES
[Extrait du compte rendu, par M. Gergonne, des Annales de Montpellier, et paru sous le pseudonyme de Saigey, rédacteur des articles scientifiques (t. V du Bulletin à.Q janvier 1826, p. 112) {*).]
(T Soit une figure plane tracée en encre noire sur un plan, et dont la propriété consiste en ce que plusieurs groupes de points y sont en ligne droite, tandis que plusieurs groupes de droites y concourent en un même point. Concevons que l'on fasse, aussi en encre noire, une perspective de cette figure sur la surface d'une sphère, l'œil étant supposé- au centre. Cette perspective sera une figure sphérique dans laquelle divers groupes de points seront distribués sur des arcs de grands cercles, tandis que divers groupes d'arcs de grands cercles y concourront en un même point.
» Concevons que sur la même sphère on dessine en encre rouge tous les grands cercles dont les points de la première sont les pôles, ainsi que les pôles de tous les grands cercles de celle-ci; comme les arcs de grands cercles qui concourent en un même point ont leurs pôles sur un même arc de grand cercle, et réciproquement, il arrivera que la figure en encre rouge offrira autant de groupes de points distribués sur des arcs de grands cercles, que la figure en encre noire offrait de groupes d'arcs de grands cercles concourant en un même point, et que la figure en encre noire offrira, à l'inverse, autant de groupes d'arcs de grands cercles concourant en un même point, que la figure en encre noire offrait de groupes de points appartenant à des arcs de grands cercles. En outre, il y aura autant de points ou A'arcs dans chaque groupe de l'une des figures qu'il y aura 6!arcs ou de points dans le groupe correspondant de l'autre figure.
» Or la figure en encre rouge peut toujours être considérée comme la perspective d'une figure plane tracée sur le plan de la figure primitive; et si l'on y trace, toujours en encre rouge, cette nouvelle figure plane, on aura, sur un même plan, deux figures de couleurs différentes, qui auront évidemment entre elles les mêmes relations que nous venons de remarquer dans les figures sphériques correspondantes, si ce n'est que les arcs de grands cercles s'y trouveront remplacés par des lignes droites.
(*) Les huit alinéa qui suivent sont de véritables additions du Rédacteur du Bulletin Férussac; ils n'ont aucun rapport avec le contenu de l'article ÙQ philosophie mathématique inséré aux Annales et dont nous donnerons ci-après un extrait. — (Note de i865.)
38o PROPRIÉTÉS PROJECÏIVES DES FIGURES.
» Il résulte évidemment de ces considérations que si une figure plane composée de points assujettis à être distribués sur des droites, et de droites assujetties à concourir en divers points, est possible, une autre figure dans laquelle les points en ligne droite seraient remplacés par des droites concourant en un même point, et réciproquement, sera possible aussi; d'où il suit que les théorèmes relatifs à de telles figures sont toujours doubles; de telle sorte que les deux d'une même couple ne diffèrent uniquement qu'en ce que les mots point et droite y sont permutés entre eux. Il faut seulement en excepter le cas où le théorème serait symétrique par rapport aux points et aux droites; car alors ii serait à lui-même son correspondant; tel est, par exemple, le cas de celui-ci : un polygone a autant d'angles que de sommets.
» Cette correspondance inévitable entre les théorèmes du genre de ceux dont il est question ici peut encore être rendue manifeste d'une manière plus savante et plus simple : soit tracée sur le plan de la figure noire une ligne quelconque du second ordre, et soient marqués en encre rouge, sur le même plan, par rapport à cette courbe, les pôles des droites et les polaires des points de la première figure. Comme les pôles des droites qui concourent en un même point sont en ligne droite et que les polaires des points en ligne droite concourent en un même point, la figure rouge se trouvera avoir avec la noire les mêmes relations et la même correspondance que ci-dessus.
» Ceci nous fait apercevoir sur-le-champ que quelque chose de tout à fait analogue doit arriver dans la Géométrie à trois dimensions, toutes les fois du moins qu'il n'est question que de points situés en ligne droite ou compris dans un même plan, de droites situées dans un même plan ou concourant en un même point, et enfin de plans se coupant suivant une même droite ou passant par un même point. Si, en effet, une figure est donnée dans l'espace, en imaginant une surface quelconque du second ordre, et en construisant, par rapport à cette surface, les plans polaires, les polaires conjuguées et les pôles des points, droites et plans de la figure donnée, leur ensemble formera une autre figure qu'on pourra appeler sa corrélative; et tout théorème relatif à l'une de ces deux figures aura pour l'autre son analogue, qu'on en déduira en laissant subsister le mot droite partout où il se trouvera, et en échangeant seulement entre eux les mois point et plan.
» Mais si les propriétés des pôles, polaires et plans polaires mettent en évidence cette espèce de dualité d'une partie notable de la Géométrie, ce n'est certainement pas en vertu de ces propriétés, mais bien en vertu de la nature même de l'étendue qu'elle a lieu; et c'est ^principalement à mettre cette vérité dans le plus grand jour queM.Gergonne a consacré la livraison de son recueil qui vient de paraître.
» Les propriétés de l'étendue, qui marchent ainsi par couple, ont encore un autre caractère extrêmement remarquable; c'est que, bien que jusqu'ici on les ait démontrées, pour la plupart, en s'aidant des proportions et du calcul, leur démonstration peut néanmoins en être rendue tout à fait indépendante; mais il devient souvent nécessaire pour cela de passer alternativement de la Géométrie plane à celle de l'espace, et de celle-ci à la première, comme Monge et les géomètres de son école l'ont si souvent pratiqué et avec un si rare bonheur. M. Gergonne se demande,
SECTION SUPPLÉMENTAIRE. 38i
à ce sujet, si la division adoptée depuis deux mille ans, de la Géométrie en Géométrie plane et en Géométrie de l'espace, est aussi méthodique etaussi exactement conforme à l'essence des choses qu'une longue habitude a pu nous le persuader. Il observe qu'en ne s'y astreignant pas, on parviendrait, en ne recourant, pour ainsi dire, qu'à la simple intuition, à pousser assez avant dans la Géométrie des commençants que l'élude du calcul, présenté dès l'entrée, ne rebute que trop souvent.
» Le Mémoire de M. Gergonne, dont la lecture ne suppose aucune connaissance antérieurement acquise sur la science de l'étendue, peut être considéré comme le commencement d'une Géométrie de la règle. Afin de rendre plus apparente la correspondance entre les théorèmes dont nous avons parlé plus haut, l'auteur a fait imprimer son Mémoire à deux colonnes, de manière à placer en regard l'un de l'autre les théorèmes correspondants. Il indique, chemin faisant, divers articles insérés antérieurement dans son recueil qui seraient également susceptibles de cette disposition. Pour en donner une idée à nos lecteurs, il nous suffira de transcrire ici les questions proposées qui terminent la livraison.
Théorèmes de Géométrie.
» Deux quadrilatères quelconques étant don- » Deux angles tétraèdres quelconques étant
nés , il existe un angle tétraèdre auquel ces donnés, il existe un quadrilatère auquel ces deux
deux quadrilatères sont l'un et l'autre inscrip- angles tétraèdres sont l'un et l'autre circonscrip-
tibles. tibles.
Problèmes de Géométrie,
» On a construit, sur les deux faces d'un angle » Deux angles trièdres sont tels, que les plans
dièdre, deux triangles tels, que les points que que déterminent leurs arêtes correspondantes
déterminent leurs côtés correspondants sont tous passent tous trois par la droite que déterminent
trois sur l'arête de l'angle trièdre, et conséquem- leurs sommets, et se coupent conséquerament
ment en ligne droite ; d'où il résulte que, quelle suivant une même droite ; d'où il résulte que,
que soit l'ouverture variable de l'angle dièdre, quelle que soit la distance variable de leurs som-
toujours les droites que détermineront les som- mets, toujours les droites que détermineront les
mets correspondants des deux triangles concour- faces correspondantes des deux angles trièdres
ront en un même point. On suppose que l'on fait seront dans un même plan. On suppose que l'on
varier cette ouverture, et on demande quelle faitvarier cette distance, et l'on demande à quelle
ligne ce point décrira dans l'espace. » , surface ce plan sera constamment tangent. »
(T. VII, p. 274 à 275, mars 1827.) — « A la page 112 de notre Bulletin de février 1826, nous avons rendu compte d'un Mémoire de M. Gergonne ayant pour but de prouver que tous les théorèmes de la Géométrie qui ne sont relatifs qu'à la situation respective des parties d'une figure, et non à leur grandeur, doivent nécessairement être doubles, comme le sont en effet les théorèmes relatifs aux hexagones inscrits et circonscrits aux lignes du second ordre, et comme le sont aussi tous les théorèmes de la Trigonométrie sphérique. Dans un Mémoire présenté récemment à l'Académie royale des Sciences, M. Poncelet a repris ce sujet avec de plus amples développements; il a trouvé qu'un grand nombre de théorèmes relatifs à des relations métriques, soit d'angles, soit de longueurs, étaient, comme les
théorèmes de situation, susceptibles de cette sorte de dualité signalée par M. Gergonne, et a donné des règles pour reconnaître les théorèmes de cette classe et pour en déduire leurs corrélatifs par de simples mutations de mots et de symboles. Une analyse du Mémoire de M. Poncelet, rédigée par l'auteur lui-même, se trouve insérée dans la livraison que nous annonçons; elle est suivie de quelques réflexions de M. Gergonne sur le même sujet (*). »
(T. IX, p. 23 à 25, no(^ew&re 1827.)— «La majeure partie de cette livraison (t. XVIII des Annales, cahier de novembre 1827) est occupée par la réclamation de M. Poncelet, insérée dans notre cahier d'août 1827 (p. 10g), et que M. Gergonne a cru devoir reproduire dans son recueil, afin, dit-il, d'ajouter encore, s'il est possible, à la publicité que l'auteur a désiré d'obtenir pour elle. Mais, en la reproduisant, M. Gergonne a cru devoir l'accompagner de notes tendant à montrer combien sont peu fondées les plaintes de M. Poncelet qui, depuis plus de dix ans, a constamment trouvé dans le rédacteur des Annales de Mathématiques un zélé propagateur de ses doctrines. Sans prétendre aucunement d'ailleurs disputer à M. Poncelet la priorité qu'il réclame, M. Gergonne veut prouver, par diverses citations, qu'au moins dès l'année 1819 ses idées sur la dualité de situation étaient complètement fixées. Il montre aussi parle rapprochement des dates qu'il n'a pu publier plus tôt le dernier article de M. Poncelet contenant l'analyse de son Mémoire de 1824, analyse qui ne lui était pas même encore parvenue lorsque déjà la dernière partie de son Mémoire sur les lois générales qui régissent les lignes et surfaces algébriques était entre les mains de l'imprimeur, et la première totalement imprimée. Personne ne regrette plus vivement que M. Gergonne que des occupations multipliées ne permettent pas à M. Poncelet de poursuivre et de publier des recherches aussi heureusement commencées; mais il ne pense pas que ce géomètre puisse songer sérieusement à s'autoriser des contrariétés qu'il éprouve, pour exercer une sorte de droit de blocus sur toutes les recherches qui pourraient avoir quelque analogie avec les siennes. M. Gergonne repousse enfin de toutes ses forces l'insinuation par laquelle M. Poncelet semblerait vouloir restreindre aux seules lignes et surfaces du second ordre les applications du principe de dualité, principe qui, dit-il, s'applique même aux lignes et aux surfaces transcendantes comme aux lignes et aux surfaces algébriques, aux lignes et aux surfaces discontinues comme aux lignes et aux surfaces continues.
» A la suite de cette réclamation, M. Gergonne publie le préambule et le postscriptum que M. Poncelet lui reprochait d'avoir omis, en insérant dans les Annales l'analyse du Mémoire de 1824. M. Gergonne déclare qu'il ne s'était permis cette omission que dans l'intérêt de M. Poncelet lui-même et pour lui épargner, vis-à-vis du public, le tort d'avoir dirigé contre plusieurs géomètres des accusations aussi peu méritées quant au fond, que peu convenantes quant à la forme.
» Quelque vagues qu'aient pu lui paraître les assertions de M. Poncelet contre une
(* ) Les scandaleux mensonges de ce compte rendu, réfutés à la page 363 ci-dessus de ma réclamation, l'avaient été à l'avance par mon savant et digne ami feu le colonel du génie Augoyat, à la page 383 du tome VII du Bulletin des Sciences (1827). Je n'ai pas cru nécessaire de transcrire ici cet article. — (Note de i865.)
application trop étendue du principe de dualité, M. Gergonne ne s'en est pas moins cru obligé de revoir avec soin son Mémoire sur les lois générales qui régissent les lignes et surfaces algébriques ; Mémoire dont nous avons rendu compte dans noire cahier de mars 1827 (p. i65) et dans celui d'avril, même année (p. 221), et qu'il avait signalé lui-même comme pouvant fort bien être entaché de quelques inexactitudes à raison de la nouveauté des recherches, de celle des procédés d'investigation et de l'imperfection du langage. Voici le résumé de ses réflexions sur ce sujet.
» Si l'on appelle courbe ou surface du m'*"" degré une courbe ou une surface qui coupe une môme droite en m points, et si l'on appelle courbe ou surface de jj^iime classe une courbe à laquelle on peut mener w tangentes d'un même point quelconque, ou une surface à laquelle on peut conduire m plans tangents par une droite quelconque, on pourra dire que la polaire réciproque d'une ligne ou d'une surface du m'*'"* degré est une ligne ou une surface de nV'"" classe, et vice versa.
» Ces choses ainsi entendues, tous les théorèmes de situation, c'est-à-dire ceux dans lesquels il ne sera aucunement question de relations métriques d'angles et de longueurs, seront doubles et se correspondront deux à deux de telle sorte que, pour passer de l'un quelconque à son correspondant, il faudra substituer aux courbes et surfaces des divers degrés des courbes ou surfaces des classes correspondantes, et réciproquement, et faire en outre à son énoncé toutes les autres modifications connues qui résultent du principe de dualité de situation,
» Pour donner un exemple de ces sortes de traductions, M. Gergonne présente en deux colonnes quatre beaux théorèmes de M. Bobillier, qui renferment, comme cas très-particuliers, les théorèmes connus sur les pôles, polaires, plans polaires et polaires conjuguées. Les voici :
I. » Une droite étant tracée arbitrairement sur le plan d'une courbe du m'"'"' degré, si, de différents points pris arbitrairement sur cette droite, on mène toutes les tangentes possibles à la courbe, les courbes qui contiendront les points de contact des divers faisceaux de tangentes, lesquelles ne seront que du [m — i)"'"' degré seulement, passeront toutes par les (m — i)^ mêmes points.
n. » Un plan étant situé d'une manière quelconque dans l'espace, par rapport à une surface du inf'"" degré, si l'on circonscrit à cette surface tant de surfaces coniques qu'on voudra, ayant leurs sommets en des points quelconques de ce plan, les surfaces courbes qui contiendront les lignes de contact de ces diverses surfaces coniques, lesquelles ne seront que du [m — \Y""' degré seulement, passeront toutes par les (/n — i)' mêmes points. Si, de plus, les sommets des surfaces coniques sont tous situés
I. » Un point étant pris arbitrairement sur le plan d'une courbe de m'''"" classe, si, par ce point, on mène arbitrairement diverses sécantes à la courbe, puis des tangentes à cette même courbe, par ses points d'intersection avec les sécantes, les courbes que toucheront les divers faisceaux de tangentes, lesquelles ne seront que de [m —1)'""' classe seulement, auront toutes les (/w— i)* mêmes tangentes.
II. » Un point étant situé d'une manière quelconque dans l'espace, par rapport à une surface de 17^""' classe, si par ce point on mène à cette surface tant de plans sécants arbitraires qu'on voudra, et qu'on lui circonscrive ensuite des surfaces développables qui la touchent suivant ses intersections avec ces plans, les surfaces courbes auxquelles les surfaces développables seront circonscrites, lesquelles ne seront que de [m — \f"" classe seulement, auront toutes les (/« — i)' mêmes plans tangents. Si, de plus, les plans se-
sur une même droite, ces mêmes surfaces du cants passent tous par une même droite, ces (/w — i )'*""' degré se couperont toutes suivant mêmes surfaces de (/«— i)'""* classe seront toutes une seule et même courbe à double cour- circonscrites à une seule et même surface débure. » veloppable. »
(T. IX, p. 3o2 à 3o3, mars 1828. ) — « Dans un premier article de celte livraison, M. Bobillier poursuit les recherches commencées par M. Gergonne et par lui, dans plusieurs des livraisons précédentes, sur les lois générales qui régissent les lignes et surfaces courbes; mais, pour pouvoir énoncer les résultats auxquels il parvient dans une langue qui ne soit pas trop prolixe, il se trouve obligé de créer des dénominations en harmonie avec la généralité de ses recherches. D'abord, il continue d'appeler, avec M. Gergonne, courbe et surface du m""" degré une courbe ou une surface qui peut couper une droite en m points, tandis qu'il appelle courbe de m''"" classe une courbe à laquelle on peut mener m tangentes d'un même point, et surface de m'^"" classe une surface à laquelle on peut mener m plans tangents par une même droite. Sur quoi il faut remarquer, au surplus, qu'il n'est pas certain que le degré et la classe d'une courbe soient deux choses différentes, et que MM. Gergonne et Bobillier n'ont adopté cette distinction que provisoirement, et seulement à cause des doutes élevés sur ce sujet par M. Poncelet. »
(T. X, p. 285, octobre 1828.) — « Revenant de nouveau sur ce sujet, M. Bobillier prouve d'abord que si M = o représente l'équation d'une courbe du m""" degré, les points de contact de toutes les tangentes menées à celte courbe, par l'un quelconque («, 6) des points de son plan, seront sur une autre courbe donnée par l'équation
laquelle, par le théorème connu des fonctions homogènes, ne sera que du [m — i)"'"' degré seulement, d'où il suit que le nombre des tangentes issues du point {a,b) sera au plus m{m — i) comme l'avait déjà trouvé M. Poncelet; mais, comme l'observe fort bien M. Gergonne dans une note, ce n'est là qu'un simple maximum, que le nombre de ces tangentes pourrait fort bien ne jamais atteindre ; d'où il conclut, avec les Commissaires de l'Académie royale des Sciences, que le théorème de M. Poncelet ne doit être considéré que comme purement limitatif. M. Gergonne ajoute qu'en particulier il ne conçoit pas bien une courbe qu'une droite ne pourrait couper qu'en trois points seulement et à laquelle néanmoins on pourrait mener six tangentes d'un même point de son plan. Dans le surplus de ce Mémoire, M. Bobillier démontre, d'une manière plus directe, les divers théorèmes qu'il avait déjà établis dans le précédent. »
(T. X, p. 33o à 332, décembre 1828.) — Réclamation de M. Plucker. — « Le n° 5 de votre Bulletin fi" Section, 1828), qui vient de tomber entre mes mains, m'oblige à vous adresser la réclamation suivante, que je vous prie d'insérer dans le plus prochain numéro.
» C'est d'une lettre de Berlin que j'ai appris, il y a trois à quatre mois, avoir été l'objet des injustes attaques de M. Poncelet, Je n'ai pu y répondre parce que je
n'avais aucune connaissance exacte du fait. M. Poncelet, infatigable à reproduire toujours les mêmes accusations contre moi, se présente de nouveau pour donner les preuves de ce qu'il a avancé. Deux mots suffiront pour réfuter tout ce que M. Poncelet allègue contre ma bonne foi. « L'échafaudage des doubles colonnes, » auxquelles M. Gergonne attachait beaucoup d'importance, sans doute par esprit » de prosélytisme pour la dualité » ( mai 1828, p. 299 ), est l'ouvrage de M. Gergonne et non pas celui « du docteur allemand. » J'ai accordé volontiers à M. Gergonne la liberté de changer la rédaction de mon Mémoire; s'il y a trouvé des développements favorables à ses idées sur la dualité (moi, j'ignorais absolument le sens de ce mot avant la lecture du numéro cité de votre Bulletin), je ne puis qu'approuver qu'il l'ait fait ressortir par « l'échafaudage des doubles colonnes. » II n'y a donc ni prosélyte, ni esprit de prosélytisme.
« Que penseront donc les lecteurs si, les Mémoires de M. Plucker à la main, nous » prouvons clairement qu'il avait une parfaite connaissance du Traité des Propriétés » projectives? Or, c'est lui-même qui, dès la première page du premier de ses » Mémoires (j'abrège le passage suivant), cite ce Traité. » Non, ce n'est pas lui, c'est encore M. Gergonne. Dans le huitième volume des Annales, que j'avais sous les yeux lorsque je rédigeais le Mémoire en question, M. Poncelet, pour faire prévaloir ses méthodes sur celle de la Géométrie analytique, indique, entre autres constructions, celle de l'un des problèmes traités dans mon Mémoire. C'est cette construction que, moi, j'avais citée en ajoutant les mots suivants : a Voyons si ce problème » se prête si difficilement aux méthodes de la Géométrie analytique. » Ces mots expliquent parfaitement le but de mon Mémoire. Je n'avais pas alors la facilité de me procurer le Traité des Propriétés projectives, que je connaissais seulement par le catalogue de M. Bachelier. M. Gergonne, en citant, au lieu de ses Jnnales, l'ouvrage de M. Poncelet, a reconnu par là, plus particulièrement que je n'avais pu le faire, la priorité de ses recherches sur le même sujet; il ne devait pas s'attendre aux réclamations de ce géomètre pour quelques résultats obtenus par lui, qui, en eux-mêmes, tous corollaires d'un théorème connu, ne sont d'aucune importance.
» Les arguments allégués contre moi par M. Poncelet ont donc disparu. Je déclare après cela que, jusqu'à ce jour, je n'ai pas vu l'ouvrage de M. Poncelet ; j'ajoute que j'ignore absolument tout ce qui a été publié dans les deux derniers volumes des Annales, en sorte que je ne connais ni la rédaction de mon premier Mémoire, ni les discussions qui se sont élevées sur mon compte.
» Je vous adresse ci-joint le premier volume de mes Développements de Géométrie analytique, qui a paru au commencement de l'année. Je pense que vous y apercevrez des méthodes qui ont dû nécessairement me conduire à beaucoup de résultats nouveaux. Depuis l'impression de ce volume, qui a duré très-longtemps, j'ai perfectionné et étendu de beaucoup les méthodes qui y sont exposées. J'ai devant moi les matériaux pour un second volume, mais je n'en peux garantir la publication prochaine.
» J'ai reconnu dès le premier moment (en parcourant les Annales) l'importance des travaux de M. Poncelet. Je m'en suis prononcé dans la préface du premier vo- II. 49
lume, et si, après cela, je n'ai pas consulté son Traité, c'est uniquement parce que je ne pouvais me le procurer sur-le-champ et parce que le titre de mon ouvrage me permettait de le faire plus lard.
» La lecture du numéro cité plus haut m'engage à rédiger de mes papiers un Mémoire sur le sujet en discussion entre MM. Gergonne et Poncelet. En y exposant une théorie bien différente de celles données jusqu'ici, je ferai voir peut-être qu'une méthode purement analytique m'a fait découvrir, de mon côté, le secret de la dualité; mais tout cela ne date que d'un an. J'espère que le savant rédacteur des
Annales voudra bien recevoir ce Mémoire (*).
» Plucker.
» Bonn, ce 24 juillet 1828. »
