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par où l'on voit que AG est divisée harmoniquement en C et B ; division que Pappus apprend géométriquement à construire au moyen de parties égales.

« Les Grecs avaient distingué plusieurs espèces de relations dans le genre de la précédente, auxquelles ils donnaient le nom commun de moyennes {medietas), mais qu'ils appelaient arithmétique, harmonique et géométrique, quatrième, cinquième,..., dixième. « L'analogie, dit Pappus (p. 20 de la traduction latine » de Commandin), dérive de la proportion; mais le principe de toute proportion est une égalité. La » moyenne géométrique, donc, tirant sa première origine de l'égalité, elle se constitue elle-même et les » autres moyennes, en nous faisant connaître (comme le dit le très-divin Platon) la nature de l'ana- » logie, la cause de l'harmonie universelle et la source de l'ordre et de la raison. Platon observe en effet » qu'il n'existe qu'une seule chaîne entre les vérités mathématiques; mais la nature divine de l'analogie » (proportion) est la cause, l'origine et le lien de toutes les choses créées. »

» On voit d'après cela quelle importance les Anciens attachaient à ces sortes de relations, puisqu'ils croyaient qu'avec leur secours seul on pouvait enchaîner toutes les vérités, ou propositions mathématiques. Mais, aujourd'hui que l'Analyse algébrique a fait de si grands progrès, on a reconnu qu'il existe entre les grandeurs diverses des lois beaucoup plus compliquées, plus difficiles à saisir, et qui ne sauraient constamment être ramenées à de simples analogies ou proportions. »

L'introduction du Livre VII des Collections, le plus important de tous, fait connaître à Herraodore fils ce dont se composaient les ouvrages d'Euclide, d'Apollonius de Perge, d'Aristé l'Ancien et d'Ératosthènes, au nombre de trente et un Livres, connus sous le nom de Lieu résolu. Au sujet de cette introduction, on ne peut trop regretter que le savant helléniste Peyrard n'ait pas étendu à l'ouvrage entier de Pappus, ses utiles traductions des écrits d'Archimède et d'Euclide, encouragées et payées, dit-on, par l'Angleterre, moins dédaigneuse que nous envers la Géométrie antique. Heureusement M. P. Breton (de Champ) nous a dédommagés de cette perte pour toute la partie si obscure, si laconique qui concerne le célèbre Traité des Porismes d'Euclide; car notre savant compatriote nous en a livré [Journcd de Liomnlle, t. X, i855) une traduction française exemple des commentaires et des altérations ou interprétations que Commandin avait fait subir au texte, aux figures et aux énoncés; altérations que j'avais moi-même remarquées dans mes Notes manuscrites de 1817-1818.

Je ne transcris point ici les passages de ces Notes où, tout d'abord, j'ai vainement tenté de traduire, pour m'en faire une idée personnelle, ce que Pappus dit des trois Livres des Porismes d'Euclide; je ferai seulement observer que, malgré les vices de la traduction de Commandin et les lacunes qu'elle présente, je n'avais pas eu trop de difficulté à comprendre les énoncés des théorèmes dont Pappus fait suivre son exposé relatif aux Porismes. Ces énoncés se rapportent à une classe de lieux plans ou à la ligne droite iaujourd'hui bien connus, que cet auteur présente comme le résumé de tout le premier Livre d'Euclide ; mais les deux Livres suivants ne lui semblent pas susceptibles d'un tel résumé à cause du manque d'exemples ou d'applications des principes. Peu satisfait d'ailleurs de ses généralisations relatives au contenu du premier Livre des Porismes , Pappus ajoute modestement (p. 246 de la traduction de Commandin) :

« Euclidem vero non verissimile est ignorare hoc, sed principium dumtaxat statuere, et in omnibus » porismatibus apparet principia, et seminaria sola multarum, ac magnarum multitudinum ab eo jacta, » quorum vnumquodque non juxtapositionum differentias distinguere oportet, sed juxta differentias » accidentium et quaesitorum. Et positiones quidem omnes inter se differunt, cum specialissimse » sint, accidentium, vero et quaesitorum vnumquodque vnum, et idem existons multis positio- » nibus differentibus contingit, eo quod génère sint eadem. » (Passage aussi explicite que facile à interpréter et à saisir, comme on le verra plus loin. )

« Quant à l'extension que Lhuilier de Genève (Eléments d' Analyse géométrique, 1809) a donnée a»ix énoncés qui précèdent les réflexions ci-dessus de Pappus, non-seulement elle ne peut être regardée comme la véritable interprétation du passage qui s'y rapporte, mais on peut même démontrer qu'elle est fausse, et d'ailleurs, Pappus n'entendant parler que de droites qui ne se coupent qu'au nombre de deux en chaque point, exclut par là les diagonales qui, avec les côtés adjacents, font trois droites passant par un môme point. C'est donc à tort que cet auteur reproche à Robert Simson d'avoir oublié le cas oxi l'on envisage le lieu des points de rencontre des diagonales {voyez p. 107 et suiv. de l'ouvrage de Simon Lhuilier).

» Après l'introduction, sans figures ni démonstrations, du Livre VII des Collections mathématiques, où Pappus se montre doué d'un certain esprit philosophique do généralisation et d'abstraction, viennent un grand nombre de lemmes, qu'il donne, à ce qu'il dit, pour l'intelligence des ouvrages des anciens auteurs grecs dénommés et analysés dans sa préface.

» De ce genre est le suivant (p. 378 de la Traduction de Commandin, Lem. XXIV, De sectione determinata) :

» Soient une droite AB(^j^. 47)et trois points C,D,E sur cette droite, tels, que le rectangle BaE, c'estrà-dire 6A.AE, soit au rectangle RDE ou BD.DE, comme le carré de AC est à celui de CD, c'est-à-dire