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relation à deux termes, proj'ectife comme la précédente et dont le VIF Livre de Pappus offre divers autres exemples fort remarquables.

Il me semble que c'est dans ces sortes de transformations de proportions, que consistait V Analyse géométrique des Anciens; car elles ressemblent parfaitement à celles que nous faisons subir à nos équations littérales; la seule différence consistant en ce que nous représentons les grandeurs par des lettres insignifiantes en elles-mêmes et les opérations par des signes abréviatifs, tandis qu'ils les représentaient par des parties de lignes droites, et qu'ils énonçaient ces opérations ou transformations d'égalités dans le langage ordinaire. C'est ainsi , par exemple, qu'ils prouvaient par des images géométriques sensibles que le carré d'une ligne entière ab := ac ■+- cb est égal au carré de la partie ac plus le carré de la partie cb plus le double du rectangle de l'une de ces parties par l'autre; ce que nous exprimons généralement ainsi :

(a -I- *)' = a* -}- é' -h 2 ab.

» On voit par là que la marche analytique des Anciens n'a pas dû les conduire fort loin; car n'ayant pas converti ces sortes de transformations en règles générales d'où l'on pût, dans chaque cas, les déduire méthodiquement, symboliquement et pour ainsi dire sans peine, il leur fallait sans cesse employer de nouveaux efforts d'esprit pour découvrir les proportions ou transformées corrélatives des premières; au moins fallait-il une mémoire prodigieuse pour les retenir quand elles étaient déjà données ou connues {data). On voit par là aussi que les lemmes exposés par Pappus dans son Livre VII, constituent véritablement le fond de l'Analyse géométrique des Anciens. Cette marche d'ailleurs est assez conforme à celle de l'Algèbre des Indiens, qui représentent les quantités par des couleurs. Les progrès de l'Analyse moderne sont entièrement dus, comme on sait, à la représentation des grandeurs ou quantités par des lettres et des distances ou longueurs simples. De là encore cette extension prodigieuse de l'Algèbre à toute espèce de quantités numériques, géométriques, mécaniques, etc., imaginée par Viète.

» La marche que les Anciens employaient ensuite pour la résolution d'un problème quelconque était absolument la même que la nôtre: ils supposaient la chose toute trouvée; alors, au moyen de lignes idéales, fictives, ils faisaient voir, par une suite de transformations analytiques, la liaison ou relation des inconnues avec les auxiliaires, puis de celles-ci avec des auxiliaires nouvelles, également idéales ou inconnues, et ainsi de suite jusqu'à ce qu'ils parvinssent à trouver la relation des dernières auxiliaires aux objets fixes ou connus; d'où ils tiraient enfin celle des véritables indéterminées du problème avec les données, par une marche inverse ou rétrocessive, qui leur servait à déduire de proche en proche la construction des différentes auxiliaires, et finalement des véritables inconnues. Tout consistait, comme on voit, à choisir ces auxiliaires multiples de façon qu'elles fussent étroitement liées aux quantités connues ou inconnues. Ainsi, l'Analyse ou méthode de résolution des Grecs différait encore de l'Analyse moderne ou de Descartes, en ce que celle-ci n'emploie jamais que les mêmes auxiliaires, abscisses et ordonnées, ce qui simplifie la mise en équations des problèmes ; car il suflit d'exprimer chacune des parties connues et inconnues par ces coordonnées, et d'écrire la relation qui les lie entre elles, dont ensuite on tire l'inconnue par une suite de transformations algébriques et méthodiques; transformations, il est vrai, souvent très- compliquées, et que l'Analyse des Grecs n'aurait pu suivre qu'avec une peine infinie. »

4oo PROPRIÉTÉS PROJECTIVES DES FIGURES.

Le Livre VII des Collections dont il s'agit ici contient 288 propositions et 111 théorèmes ou problèmes constituant , à la réserve de quelques-uns d'entre eux, autant de lemmes afférant aux divers écrits géométriques mentionnés dans la préface, et dont les plus intéressants, au point de vue qui nous occupe, au nombre de 38, sont relatifs au Traité même des Porismes {Ponsmaton libri III). Les plus importants de ces lemmes se trouvent rapportés, discutés et interprétés dans mon manuscrit de 1817-1818, et je ne saurais les transcrire ici en entier à cause de la place qu'ils prendraient dans cette Section supplémentaire, bien que leur caractère, fort intéressant à mes yeux, concerne la projectivité de certaines relations métriques ou descriptives des groupes de points ou de lignes droites coupées par d'autres droites ou un cercle; propositions, redisons-le, dont Commandin, peut-être même Pappus, restreignent, mutilent parfois les énoncés, les démonstrations ou les figures. Ces relations, ces propriétés, en effet, se reconnaissent facilement pour appartenir à la théorie des transversales , et satisfont toutes, comme telles, aux règles établies dans les n°' 8 et suivants du tome P*" de ce Traité.

Aujourd'hui encore, il n'est pas aussi facile qu'on le pense de deviner à première vue , ou sans quelque contention d'esprit, si les figures dont il s'agit, à angles saillants et rentrants, appartiennent véritablement à un même type. En particulier, il en est ainsi de celle qui se rapporte à l'hexagone inscrit au système de deux droites que Pappus fait apparaître à nos yeux dans une succession de lemmes sous une forme invariable, quoiqu'il semble bien certain qu'Euclide entendît embrasser toutes les formes possibles sans changement fondamental des énoncés.

A ce propos, qu'on me permette de remarquer, ce que l'on verra mieux dans l'un des Articles subséquents, qu'aucune des figures et des propositions mentionnées par Pappus ne se rapporte à celles qu'on pourrait en déduire par voie de réciprocité polaire, mais non de simple dualité; car ici cette dualité factice et boiteuse, puisqu'elle n'est que linéale et descriptive, serait absolument sans application-; ce qui laisse en dehors toute une classe de théorèmes élégants et élémentaires échappés aux Anciens, et même à ceux des modernes qui ont témoigné trop de dédain pour la théorie des polaires réciproques, et se sont efforcés de la remplacer, de la travestir sous des prétextes divers. Il y a plus, nos géomètres hellénistes ne paraissent pas avoir songé que les propositions et les lemmes de Pappus, d'après la traduction latine de Commandin, se rapportent à un état rudimentaire qui s'accorde assez peu avec la préface si élogieuse du Traité d'Euclide par Pappus. Enfin, le passage latin rapporté ci-dessus semble signifier, selon ma façon de voir et de comprendre , mais rien de plus, que , dans ce Traité, un même porisme s'applique à des positions diverses des objets de la figure, et se dislingue de tout autre, non par la différence des accidents^ mais bien par la nature des choses cherchées ou à démontrer.

En particulier, cette dernière supposition devient évidente à l'égard des huit figures qui accompagnent la page 36i-362 (théor. CXIX, propos, CXXX, lemme IV) de l'ouvrage de Commandin, toutes relatives au quadrilatère plan GHKLG [fig. 48, 49, PL F), à deux diagonales HL, GK, de formes diverses, et coupé par une droite transversale arbitraire ABCDEF où se comptent les divers segments; figures dans lesquelles la droite KNM, parallèle à AF, sert d'auxiliaire pour la démonstration. Ces huit figures, que je crois fidèlement extraites par Pappus du Livre I" des Porismes d'Euclide, semblent en effet, sous un énoncé et une démonstration uniques, se rapporter à des propriétés projectives distinctes, bien qu'on puisse les considérer comme appartenant diversement à la projection centrale ou perspective, sur une droite quelconque, de l'un des triangles dans lesquels les diagonales divisent le quadrilatère considéré, en prenant pour centre de projection le quatrième sommet de ce quadrilatère : soit ici le triangle LHK choisi pour exemple par Pappus, et qui se trouve projeté, à partir dusommet opposé G, sur la transversale ABCDEF ; ce qui, d'après la démonstration fort simple de cet auteur, fondée sur la similitude des triangles que détermine l'auxiliaire KN, conduit à une proportion équivalente à l'égalité