AD.BC.EF AB.FC.ED

SECTION SUPPLÉMENTAIRE. 4oi

projective coniquement, et qu'on reconnaît pour appartenir à la théorie de Yinvobaion entre les distances mutuelles de six points due à Desargnes, remise en lumière par Brianchon dans son élégant Mémoire de 1817, p. 11, du moins quant aux sept relations projectives vraiment fondamentales {voyez aussi le tome I^du présent Traité, n" 172) : de ces relations quatre sont d'ailleurs analogues à la précédente, tandis que les trois autres également projectives, connues d'Euclide, selon toute probabilité, renferment huit segments au lieu de six. Au surplus, quoique les lemmes particuliers et divers dont Pappus s'étaye, selon la marche synthétique et ascendante des géomètres de l'école d'Alexandrie, paraissent avoir uniquement pour but de démontrer que certains groupes de trois points sont en ligne droite, il n'en est pas moins évident qu'Euclide n'avait pu s'écarter à ce point de la marche de l'invention qui l'avait guidé à priori, sans nul doute.

Les lemmes spéciaux 111, X, XVI, p. 357,. 366 et 371 des Collections de Pappus, qui ne diffèrent entre eux que par la forme de l'énoncé, la position des lignes et des points rangés trois par trois sur une même droite, servent de base aux démonstrations des lemmes plus complexes, plus généraux, mais identiques au fond, XIII et XVII, p. 368 et 372, qui se rapportent à la propriété de l'hexagone inscrit au système de deux droites; or ces différents lemmes, où il s'agit toujours de démontrer, à la manière de Pappus sinon d'Euclide, que certains groupes de trois points sont en ligne droite, donnent lieu à des remarques analogues aux précédentes,

Notamment, dans les trois premiers d'entre eux qui se rapportent aux faisceaux de trois droites AE, AF, AG ou AB, AC, AD {/îg. 5o et 5i, PI. Fï), issues d'un même point A de leur plan et qui sont coupées par deux transversales quelconques HDCB et HGFE, on a la proportion