II. 5i

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que nous possédons aujourd'hui dans \q principe r/e/Jérwa^^/îci? des relations géométriques, essentiellement basé sur la loi des signes de position, que certains d'entre les modernes se refusent à examiner et à reconnaître sous le nom abréviatif de principe de continuité [voyez les applications iVAnnlYse et de Géi)niëtric, t. II, 1864, Cah. III et IV). Ajoutons que les obscurités inhérentes au texte d'Iiuclide expliquent comment le Traité des Porismes a été entièrement perdu, contrairement à ce qui est advenu de ses autres écrits ainsi que de ceux d'Archimède, d'Apollonius, etc., tous marqués du sceau de la clarté et de l'utilité générale.

Dans les lemmes V, XIX et XXVIII des Collections mathématiques (p. 362, 872, 384), malgré les erreurs de la traduction de Commandin, sinon du texte de Pappus, on reconnaît aisément des tliéorèmes relatifs à l'axe harmonique, au pôle d'un couple de lignes droites, à la polaire du cercle, théorèmes bien connus de Desargues et de Pascal, de même que les précédents, qui appartiennent également à ce que j'ai nommé propriétés prnjecti^'es des Jlgures. Toutefois, ces propositions sont ici réduites à un état tellement rudimentaire, qu'il paraît difficile d'admettre qu'Euclide, dans son Traité des Porismes^ n'y ait pas vu plus que Pappus dans ses lemmes ou propositions diverses. Car, en admettant même que le texto grec ou la traduction latine de Commandin soient corrompus quant aux lemmes V, XXVIII et XXXIIl relatifs au quadrilatère et au cercle [fi-^. 53 et 54) (ce que j'ai facilement reconnu et rectifié dans mes Notes de 1818, où se trouvent aussi restitués à la manière antique mais non systématique les lemmes que le texte suppose); cette rectification et les commentaires dont seraient susceptibles les lemmes suivants, exclusivement consacrés au cercle ou au demi-cercle, ne pourraient suCTire à restituer aux propositions diverses de Pappus la généralité qui leur manque, et dont par suite se trouve privé le Livre III des Porismes d'Euclide.

Néanmoins, d'après l'introduction du Livre VII des Collections^ il est au moins douteux qu'Euclide ait étendu les propriétés d'incolution et de division harmonique aux quadrilatères inscrits ou circonscrits aux trois sections coniques, tâche réservée non à Apollonius de Perge, mais à Lahire fils, disciple ingrat de Desargues et de Pascal (voyez la Note additionnelle ci-après). Il y a plus, et ceci est particulièrement remarquable, Pappus, qui fait un aussi grand cas de la proportion harmonique dans lo préambule du Livre III des Collections, ne semble plus s'en ressouvenir à l'occasion d'aucun des lemmes ci-dessus, et Apollonius, le continuateur d'Euclide, ne se sert pas davantage de cette locution, due à Platon, comme on l'a vu plus haut.

Après avoir ainsi passé en revue les Itlmmes les plu? importants exposés par Pappus dans le but d'élucider les trois Livres des Porismes, les Notes manuscrites de 1817-1818 en tirent ces conséquences générales :

« Nous penchons à croire, d'après tout ce que dit cet auteur, que les porismes étaient des espèces de . propositions qu'on ne pouvait appeler, à proprement parler, ni théorèmes, ni problèmes, parce qu'elles n'avaient pour but, ni la démonstration d'un théorème énoncé en particulier, ni la solution ou construction de tel ou tel problème, mais la recherche en général de toutes les propriétés, relations, lieux parcourus, etc., dans une figure composée d'une certaine manière, de lignes et de points. Ainsi, tandis que, dans un théorème, on démontre que, telle relation ayant lieu, tel point décrit une certaine ligne, dans un porisme on cherchera quelles sont les relations variables ou constantes qui lient entre elles les diverses parties du système, dans cette transformation. Euclide aura sans doute l'ait connaître dans son Traité des Porismes la marche systématique à suivre pour enchaîner les parties connues ou données par leurs rapports aux premières, avec les autres parties de la figure, dont tout d'abord on n'apercevrait pas la relation intime, et de là sera né, pour chaque cas, une espèce de tableau analytique analogue à ceux qu'on trouve dans la Géométrie de position de Carnot, incomplet peut-être, mais d'où l'on pourrait facilement déduire toute autre relation qui n'y serait pas portée. »

Ces li.T;nes sont suivies, dans notre vieux manuscrit, d'une seconde tentative faite en vue, non d'approfondir le sens énigmatique des paroles de Pappus au commencement du Livre VII des Collections mathématiques, mais seulement d'expliquer, d'interpréter l'énoncé général dont j'ai déjà

SECTION SUPPLÉMENTAIRE. 4o3

parlé, et par lequel Pappus résume le Livre I" des Porismes, dont l'analogie avec la théorie des polygones mobiles ou variables {Applications (f Analyse et de Géométrie^ t. II, p. i à 66) est évidenle; car cette théorie comprend outre les propositions de Pappus sur les lieux à la ligne droite, commentées par Robert Simson et Lhuilier (de Genève), celles qu'on devait à leurs prédécesseurs Maclaurin, Braikenridge ou à d'autres, qui ne se doutaient guère sans doute, grâce à Lahire, de l'affinité de leurs idées avec celles de Desargues et de Pascal [voyez aussi Propriétés prnjertives, t. I", Sect. IV, Chap. II et III).

Cependant, je dois l'avouer, aujourd'hui encore et malgré toutes ces indications, les définitions à priori de Pappus sur le sens attaché par les Anciens au mot porisnie, même en tenant compte des rectifications apportées à la traduction latine de Commandin, ces définitions et leurs commentaires sont demeurés pour moi d'une obscurité profonde, de véritables énigmes que je me gnrderai bien d'essayer de débrouiller après tant d'autres plus érudits que moi. Je me borne donc à déclarer que mes idées à ce sujet sont restées ce qu'elles étaient lors de la publication de mon ouvrage de 1822, après avoir consulté, non le Traité posthiune de Robert Simson, alors à peu près inconnu en France et même en Angleterre, mais bien un écrit du géomètre allemand Abraham-Gotthelf Kaestner (*), qui contient une analyse fort bien faite de cet essai d'interprétation des porismes; analyse dont je conserve la traduction parmi mes papiers, mais que je ne saurais rapporter ici malgré sa faible étendue relative; car elle ne comporte que onze pages in-octavo d"un texte allemand qu'accompagnent, il est vrai, des notes historiques et bibliographiques fort intéressantes. C'est pourquoi je me borne à transcrire ici un passage de l'art. 12, p. 78, qui contient le jugement de Kaestner même sur cette restitution ou divination, par R. Simson, du texte grec de Pappus:

« Je me félicite d'avoir amené quelques sujets d'^exercices géométriques, en faisant connaître ce que l'on » entend par le nom de porisme parmi les géomètres.

» Quand Simson vient à dire qu'il avait, avec beaucoup de peiue, débrouillé quelques propositions » énoncées par Pappus , ex quibus prœstantiam Porismatum, et quam maxime eortim jactiira geometris » deploranda sit dignoscere licet , je pense alors : Des enfants qui sont infiniment plus riches que n'étaient » leurs pères, et qui possèdent beaucoup plus de ressources qu'eux pour acquérir des richesses, ne » devraient pas pleurer aussi amèrement la perte d'une part si médiocre de leur héritage. »

Toutefois, je ne puis m'associer entièrement à ces paroles dédaigneuses de Kaestner qui ignorait, il faut le dire, aussi bien que Fermât, Simson et d'autres, le développement prodigieux qu'ont reçu dans ces derniers temps les idées, les inventions d'Euclide, de Desargues et de Pascal sous le nom de Géométrie moderne.

Addition relative aux réciproques des porismes, aux faisceaux projectifs, à Lahire, à Desargues,

à Pascal et à Apollonius.

Parmi les théorèmes élémentaires inconnus aux Anciens et qui appartiennent à la réciprocité polaire, mais que la dualité de situation ne suffirait pas à démontrer, a. découvrir directement, je citerai celui que l'on attribue ordinairement à Jean BernouUi, et qui est relatif au triangle des soramets duquel on abaisse, sur les côtés opposés, trois droites issues d'un point quelconque de son plan [Propriétés projectiles, t. I, 1822, n° 158), théorème déjà connu de Desargues, mais qui s'étend (n" 159 du même ouvrage) à un polygone quelconque d'un nombre impair de côtés; car, d'après nos principes (t. II, Sect. II, n° 120), ces théorèmes sont précisément les réciproques polaires de ceux qui se rapportent au triangle et au polygone plan coupé par une transversale arbitraire. 11 y a plus : la relation projective des groupes de segments relatifs à la figure primitive ou à sa réciproque, existe aussi entre les sinus des angles des droites projetantes qui rayonnent autour du point arbitraire représentant le pôle de la transversale dont il s'agit.

Le cas le plus élémentaire de cette réciprocité polaire est évidemment celui de la division de la ligne

(*) Geometrische Abhandîungen (erste Sammlung), Gœttingen, 1790 [voyez p. 6/|, sur l'idée des Porismes, principalement d'après R. Simson).

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droite en parties harmoniques; ce qui fait retomber sur la propriété du faisceau de quatre droites harmonicales, selon la bizarre appellation de Lahire : les mêmes doctrines (Sect. I et II de ce volume), appliquées aux relations projectives à six ou huit segments de points en ligne droite, mentionnées au début de cet article (p. l\oo) comme appartenant, d'après Pappus, à la section déterminée des Anciens et dont le développement théorique et les appellations non moins étranges par Desargues ont été, quant au fond, si injustement critiqués par Beaugrand, ces doctrines, disons-nous, conduisent aux diverses propriétés des faisceaux, simples ou doubles, de droites rayonnant autour d'un ou de deux points, propriétés aujourd'hui bien connues des géomètres.

En outre, si on les applique aux autres lemmes ou porismes de Pappus et d'Euclide, par exemple au lemme X (p. 366 des Collections et !\o\ ci-dessus), on obtient des relations métriques projectives du quadrilatère complet sans diagonale et à six sommets, en regardant comme tels les deux points de concours des côtés opposés de ce quadrilatère ; relations dans lesquelles le point représentatif du pôle de la transversale primitive, pris pour centre de projection des six sommets du nouveau quadrilatère, donne entre le sinus des six angles correspondants une égalité ( relation d'involution ) analogue à celle de segments compris sur cette transversale ; or, de là il suit, d'après les principes du tome F"^ ( n"* 9 et suiv. ), que la même relation d'involution a lieu aussi entre les six segments fournis par les lignes rayonnantes ou projetantes sur une droite entièrement arbitraire, et peut recevoir diverses positions relativement aux côtés et aux sommets du nouveau quadrilatère; absolument comme dans la Jig. 5i du lemme X de Pappus, où le quadrilatère n'a que quatre sommets, mais deux diagonales.

Les lemmes correspondant auxjig. 48, 49 et 5o de notre Pi. VI donnent lieu à des réciproques tout aussi remarquables, mais que je me dispenserai d'énoncer ici, parce qu'ils se rattachent à des théories élémentaires, non moins connues et ayant pour principal but de se substituer au lieu et place de celles du Traité des Propriétés projectives Çi>ojez les Articles suivants).

Enfin, ce qui est bien plus remarquable encore puisqu'il s'agit d'une simple dualité de situation, ces mêmes doctrines, étant appliquées aux lemmes de la ^g. 52 relatifs à l'hexagone inscrit à deux droites, conduisent à ce théorème réciproque, qui jusqu'ici a peu attiré l'attention, si ce n'est de Jacob Steiner, dans l'ouvrage allemand de 1882 (p. 85 et 86) dont il sera bientôt question, et où l'auteur multiplie l'emploi des énoncés à doubles {colonnes, non sans avoir eu recours à la formule et aux principes de transformation des n" 9 et suivants du tome I*' du T/Wfe ci-dessus de 1822.

Si l'on prend {fig. 55, Pi. VI) deux points A et B pour centres ou pôles respectifs de Aenu faisceaux, formés chacun d'un système de trois droites arbitrairement tracées dans un plan passant par les centres ou pôles A et B, ces faisceaux de trois droites chacun formeront parleurs rencontres mutuelles un réseau quadrilatéral a. neuf sommets «, b, c, d, e, f, g, h, i, parmi lesquels en en choisissant à volonté six, tels que leur ensemble hexagonal abfedha, formé alternativement de trois des côtés mêmes du réseau, à directions convergeant au point A, et de trois autres côtés qui convergent au point B, il arrivera naturellement que les diagonales bd, ae, hf qui joignent les sommets opposés de cet hexagone iront elles-mêmes converger en un autre point non donné par la figure.

La même chose pouvant se dire d'ailleurs de tout autre hexagone formé sous des conditions analogues, en échangeant entre eux les nœuds ou sommets du réseau, il en résulte que le nombre de tels hexagones distincts est réellement multiple; remarque applicable également au lemme fondamental de la ^^. Sa, empruntée à Pappus, mais que je me garderai bien de développer et de justifier pour ne pas tomber dans les considérations de la Géométrie combinatoire de Steiner.

Au sujet de l'académicien Ph de Lahire, qu'on me permette de rappeler que son père (Laurent Lahire), peintre et ami du célèbre graveur Bosse, était, comme ce dernier, élève de Desargues et de Pascal; que par conséquent il a dû avoir une exacte connaissance des écrits originaux de ces célèbres géomètres, dont il ne nous reste que des fragments imparfaits {Introduction au tome F'' de ce Traité, p. xu et suiv.); que, très-probablement aussi, Ph. de Lahire possédait ces écrits à l'époque de 1C73 où il publiait ses Planiconiques, et, à fortiori, lorsque, en i685, il faisait imprimer son Traité in-folio sur les coniques, dont les réticences faciles à remarquer dans la préface latine et le commentaire interprétatif et comparatif (p. 210 à 244) sur les coniques d'Apollonius de Perge, suffiraient seuls pour démontrer que ce Lahire fils, bien qu'académicien, n'était qu'un vulgarisateur privé du génie de l'invention et très-habile à s'approprier les idées d'autrui, comme il en existe encore de nos jours, qui, selon la maxime des Gergonne, pensent que la forme l'emporte sur le fond; ce qui est parfaitement exact quand il s'agit de ces vulgarisations élégantes et modestes, en elles-mêmes fort utiles, mais non quand on y préteiad au titre d'inventeur, et

SECTION SUPPLÉMENTAIRE. 4o5

qu'on dissimule, à propos de doctrines fondamentales, les noms des vrais initiateurs, comme l'a fait Lahire dans ses divers écrits géométriques.

Ainsi, notamment, il est bien certain qu'Euclide, Apollonius et Pappus n'ont jamais employé dans leurs énoncés et démonstrations les mots de proportions, de divisions harmoniques, et c'est gratuitement que, à cet égard, Lahire s'appuie de l'autorité de leurs noms et de leurs œuvres, d'autant plus qu'ils ne se sont nullement occupés de ces quadrilatères inscrits ou circonscrits aux coniques, du pôle et de la polaire dont lui-même, Ph. de Lahire, a longuement exposé les théories aux trois premiers Livres de son Traité de i685; théories que, d'après les énoncés de la lettre de Leibnitz à la famille Périer, on reconnaît aisément pour appartenir aux Chapit. III et IV du Traité des coniques de Pascal, de 1654. C'est ce dont, au surplus, on s'assure facilement en comparant ces énoncés avec ceux des pages 10 et i4 de l'ouvrage cité de i685, dont \es Jig. jg et 60 de notre Pi. F/ offrent la copie exacte, mais qui n'ont qu'un rapport indirect avec celles des pages 197 et suivantes des Coniques d'Apollonius {voyez la traduction latine d'Halley); tandis que ces dernières concernent exclusivement la division harmonique des sécantes issues d'un pôle ou point fixe arbitraire, comme dans les Collections de Pappus que nous avons interprétées graphiquement dans \es fg. 54 et 58 de la même Pi. VI, et qui sont à quelques égards plus complètes que celles d'Apollonius dont, je le répète, aucune n'a trait aux quadrilatères.

QUELQUES MOTS SUR l'aCCUEIL FAIT A l'ÉTRANGER AUX IDÉES ET AUX DOCTRINES DU TRAITÉ DES PROPRIÉTÉS PROJECTIVES DES FIGURES.

Cette tâche serait pour moi aussi délicate que pénible si, tout en laissant de côté notre France scientifique et même la Belgique, naguère encore pays de contrefaçon et de contrebande littéraire qui, sous une décevante liberté de tout dire et de tout faire, et sous le patronage de l'aristocratique et jalouse Angleterre, oublie sa glorieuse origine gauloise, ses instincts naturels et ses véritables intérêts matériels, cette tâche, dis-je, serait pour moi comme impossible même en laissant de côté la France et la Belgique, si je devais étendre mes investigations jusqu'à l'époque actuelle ou beaucoup au delà de i83o, et si je n'avais déjà, dans les tomes I et II des Applications d'Analyse et de Géométrie, donné quelques indications touchant le but que je me propose actuellement d'atteindre ; enfin, si je devais prolonger cette enquête historique en dehors de l'Allemagne du Nord, seule contrée où, avant 1840-45, on eût prêté une attention sérieuse à un genre de questions qui se rattache bien plus à la philosophie qu'à la scolastique des études.

En effet, l'Angleterre et l'Italie elles-mêmes, ces nations aujourd'hui si avancées à certains égards, se trouvaient alors plongées dans cette sorte d'engourdissement et d'indifférence qu'amène avec elle la culture exclusive du calcul algébrique ou de la lourde synthèse géométrique des Anciens, jusqu'à l'époque précitée où les Trudi (1840), les Padula (1844), les Bellavitis (i85i), les Cremona (1862) en Italie; les Hamillon, les Cayley, les Sylvester en Angleterre, et surtout le loyal et docte Salmon, cet interprète bienveillant et lucide des nouvelles doctrines algébrico-géométriques, éveillèrent, quoique tardivement, dans ces pays illustrés par tant de grands hommes et de grandes choses, le goût de la moderne Géométrie, émanée de l'École de Monge et depuis longtemps introduite dans les institutions polytechniques de l'Allemagne [Polytechniksc/iiile). Peut-être même auraient-ils ignoré l'existence de cette Géométrie longtemps après 1840 s'ils n'en avaient pris un aperçu dans les publications de Bruxelles, cette capitale demi-anglaise d'un pays violemment séparé de la France en 1814, Géométrie dont le philosophique point do départ date en effet de l'École de Monge, ou plus particulièrement, comme je l'ai tant de fois répété, de 1817, 1820, 1822, 1824 et i83o à i83i; Géométrie enfin qui, à partir de 1827 ou 1828 seulement, a été cultivée, développée et propagée avec un succès incontestable par les Sturm, les Gergonne, les Bobillier et les Chasles en France ou en Belgique, par les Mœbius, les Steiner, les Plucker et les Jacobi en Allemagne.

Qu'on me permette à cette occasion de présenter quelques réflexions qui, en apparence étran-

4o6 PROPRIÉTÉS PROJECTIVES DES FIGURES.

gères au but de cet ouvrage, ne s'y rattachent pas moins de la manière la plus intime, et ne sont point en elles-mêmes d'ailleurs di^nuées de tout intérêt scientifique.

Depuis l'époque de i8i5, l'espritde rivalité et de nationalité s'est développé chez nos voisins en haine de la Révolution française et du grand homme qui, présidant à ses destinées, fut si mal apprécié dans ses projets d'émancipation et de progrès civilisateurs, projets rudement combattus par les gouvernements arriérés et les savants mêmes des divers pays moins avancés qdministrali-' vement, politiquement que le nôtre, pays qui s'étaient montrés naguère aussi injustes, aussi ingrats envers Frédéric II de Prusse , cet autre grand homme non moins absolu que Napoléon 1" et n'admettant que le latin ou le français comme interprètes des hautes questions de sciences philosophiques, politiques ou diplomatiques en Europe. Ces gouvernements réactionnaires de i8i5, passionnés et bien autrement despotiques, ont amené dans le domaine des lettres et des sciences, môme entre les Académies, une sorte d'isolement, de confusion des langues qui rappelle la tour de Babel, et dont le cosmopolitisme industriel ou mercantile, les télégraphes électriques, les chemins de fer, la navigation à vapeur, etc., ne parviendront pas de longtemps à nous faire sortir, je le crains fort.

Du reste, depuis le siècle de Frédéric le Grand et la fondation de l'Académie des Sciences de Berlin sous les auspices de Voltaire, de Maupertuis, de Diderot, de d'Alembert, etc., lo gouvernement, sinon le peuple un peu arriéré de Prusse, n'a pas cessé de sympathiser avec les idées françaises, je ne dis pas ah point de vue politique, à cause des ménagements dus à des puissances rivales et jalouses, du moins philosophiquement et scientifiquement, comme le prouve le séjour de notre grand citoyen Carnot à Magdebourg en i8i5. Je ne doute nullement que ce soit à cette même sympathie autant qu'à l'intervention de l'illustre voyageur physicien Alexandre de Humboldt que MM. Arago, Biot et moi-même, qu'on me permette de le rappeler ici, avons dû l'honneur de faire partie de cette pléiade d'illustrations scientifiques et artistiques qui constitue l'ordre du Mérite de Prusse, sous le patronage du Roi et l'invocation de Frédéric II; ordre dont les titulaires ont préalablement passé sous le contrôle et l'élection de l'Académie des Sciences de Berlin, où, comme à l'Institut de France, l'intelligent et bienveillant appui de l'amitié est souvent nécessaire.

Je n'oublie pas d'ailleurs que, dès le printemps de 1808, alors qu'étant à l'infirmerie de l'École Polytechnique atteint d'une longue maladie qui me fit perdre une année d'études, j'ai acquis l'amitié de M. de Humboldt qui, en attendant le résultat de ses expériences faites en collaboration de Gay-Lussac au laboratoire de cette Écokl condescendait à s'entretenir familièrement avec l'élève de l'infirmerie, dont ce grand philosophe ami d'Arago déjà professeur de Géométrie analytique, a conservé un assez long souvenir pour continuer la même bienveillance à cet élève et lui en donner témoignage, tant lors d'un séjour à Melz^ où il s'occupait d'observations sur le magnétisme terrestre, qu'à l'époque plus rapprochée de son passage à Saratoff, au retour d'un voyage d'exploration en Asie, où il s'enquit de l'ex-prisonnier de guerre des Russes.

Enfin, je me rappellerai toujours avec reconnaissance les entrevues et les entretiens que, avant et après i83o, j'ai eus avec le célèbre Associé de l'Académie des Sciences de Paris, soit chez notre ami commun Arago, soit chez l'honorable général Baudrand, soit chez moi-même où je pus librement le solliciter en faveur de Jacobi, l'illustre professeur exilé à Kœnigsberg, et de Jacob Steiner, alors professeur agrégé [privat-docent] à Berlin, réduit aux plus minimes rétributions universitaires. Là, comme dans sa spirituelle correspondance intime et scientifique, j'ai trouvé en Alexandre de Humboldt un ami et un protecteur dévoué, qui n'a pas toujours eu, malheureusement pour les sciences, près du ministère de l'Instruction publique à Berlin, toute l'influence qui était due à sa haute renommée dans les deux mondes; renommée qu'il employait, à Paris ainsi qu'à Berlin, à plaider chaleureusement la cause de ses amis scientifiques, au nombre desquels je pourrais citer quelques-uns de mes illustres confrères à l'Institut.

C'est encore, je n'en doute nullement, au baron A. de Humboldt que sont dus les encouragements et la protection qui furent accordés à l'excellent et savant D' Crelle pour la fondation du Journal

de Mathématiques pures et appliquées; ce qui peut expliquer le favorable accueil fait dès l'année ■ 1826 à mes travaux de diverses natures, mentionnés ou insérés dans cet utile et honnête journal, et l'amitié sincère que m'a dès lors et depuis témoignée l'honorable D'' Crelle, dont il m'est interdit de rapporter ici les bienveillants articles bibliographiques; amitié qui ne fit que s'accroître lors du séjour de ce savant à Paris, en juillet i83o, où il se trouva seul et étranger au milieu de la terrible crise sociale subie à cette époque par notre turbulente capitale.

D'ailleurs, je n'ai absolument rien à dire des époques antérieures à celle de 1822, à partir de laquelle on put prendre connaissance du Traité des Propriétés projectiles partout où l'on cultivait les Sciences mathématiques; mais je dois ici le répéter, ce fut pour moi un véritable bonheur que l'apparition du /o«r/?rt/ rfe CV<?//^ en janvier 1826, au milieu des discussions inconcevables que mon ouvrage avait fait naître en France.

En effet, malgré l'appréhension que devaient lui inspirer les critiques et les dénis de justice d'hommes aussi considérés alors que Gergonne et Cauchy, malgré l'esprit de rivalité qu'il risquait de provoquer dans son propre pays, le bon et loyal D'' Crelle osa annoncer avec éloge, dès le premier numéro de son recueil (t. I", janvier 1826, p. 96), le Traité des Propriétés projectiles des fgures^ dans \m article bibliographique remarquable sous le rapport du courage scientifique et de l'équité. Mais, pour ne pas trop éveiller la susceptibilité de son jeune collaborateur, M. Steiner, il fut induit à admettre que 1824, époque probable des études analogues de ce géomètre, était très-voisine de celle de mes' propres publications, de 1817 a 1822 : cet acte de bon vouloir a dû confirmer dans leur erreur bien des auditeurs des leçons de l'ingénieux disciple des Pestallozzi en Suisse et des Mœbius à Leipzig, lorsque Steiner affirmait (Crelle, 1. 1", p. 162) n'avoir rien emprunté aux auteurs français avant 1826, où le docte Journal lui fit faire connaissance avec le Traité des Propriétés projectiles, et n'avoir jusque-là consulté que les écrits antérieurs à cet ouvrage ; ce que je consens à accorder pour tout ce qui [concerne les problèmes de Pappus, d'Apollonius, de Viète, de Malfatti, etc. (Crelle, t. l", 1826, p. 161), c'est-à-dire pour le contact et l'intersection mutuels des cercles sous des angles donnés : problèmes incomplètement résolus avant M. Steiner et fort amplifiés de nos jours, mais non pour tout ce qui a trait aux propriétés projectives des courbes, des cônes et des surfaces du deuxième degré qui s'entrecoupent sur un plan ou dans l'espace, autres problèmes dont Steiner parle aussi dans un premier Mémoire {ihid.^ p. 38 à 5o). C'est là, en effet, de la belle et bonne Géométrie de l'École de Monge, alors comme aujourd'hui peu cultivée en Allemagne, en Italie et en Angleterre par les algébristes purs. Mais cela prouve seulement qu'à la date de novembre 1825 où il publiait ce premier Mémoire, date postérieure de trois années à celle de 1822, l'esprit intelligent et fertile de Steiner s'était rendu familières les doctrines géométriques et analytiques qui appartiennent à celte célèbre École. Or, si cela est évident d'après ses propres citations, cela ne prouve nullement qu'il n'eût aucune connaissance avant 1826 du Traité des Propriétés projectives, ainsi qu'il le prétend à la page 162 du journal précité. Pourquoi donc, devenu professeur à la savante Université de Berlin, s'est-il écarté, dans ses écrits postérieurs, de celte voie géométrique élégante et facile? Serait-ce pour éviter des aveux pénibles au point de vue de ramour-propre?Ce que je vois seulement à la lecture de ces mêmes écrits, c'est que, sauf dans les dernières années, il a constamment évité de citer aucun des ouvrages français qui ont pu servir historiquement ou philosophiquement de guide à ses propres études sur la matière.

Quant à M. Mœbius, dans sa longue introduction au Calcul harycentrique publié en 1827, cinq années après le Traité des Propriétés projectives et postérieurement aussi aux premières recherches de Steiner, il ne semblait pas non plus avoir connaissance de ce dernier ouvrage ni de ceux qui l'ont précédé à dater de 1817, bien qu'il cite d'après Gergonne, ou plutôt d'après l'arlicle apocryphe du Bulletin Férussac rapporté à la page 379 ci-dessus, divers théorèmes de la Géométrie de la règle ou des transversales, ici démontrés par une méthode de transformation eollinéaire [Collineations Fenvandscfiaft) tirée de la doctrine des moyennes distances qu'on doit

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à Carnot et à Lhuilier, de Genève, et que M. Mœbius applique à trois ou quatre points fixes nommés fondamentaux, auxquels il en rapporte un dernier variable, supposé joint aux précédents par un ensemble de droites qu'il nomme réseau [netz]^ et qui, par des relations purement linéaires à coefficients numériques arbitraires (tenant lieu de masses), permettent à l'auteur de transformer certaines relations à deux termes et certaines figures les unes dans les autres, à peu près comme dans notre théorie des polaii-es réciproques que Mœbius, d'ailleurs, ne paraît pas ou ne veut pas connaître, bien qu'elle remonte à 1 817 (t. VIII des Annales de Montpellier) et qu'elle contienne en réalité la première démonstration du principe de dualité.

Au surplus, ce n'est que beaucoup plus tard (en 1829) que le même Mœbius, dans le tome IV, p. ICI, du Journal mathématique de Crelle, recourt à d'autres démonstrations analytiques moins nuageuses et plus directes, stimulé en quelque sorte par les exemples de MM.Bobiliier et Plucker, mais sans doute aussi après avoir pris connaissance dans le même recueil (t. III, p. ai3, et IV, p. i) de mes deux Mémoires de mars et avril 1824 (Sect. I et II du présent volume), dont le dernier, accompagné d'une note par le timide rédacteur du Journal de Berlin, montre l'espèce de fascination et d'intimidation exercée par son prédécesseur M. Gergonne. Cela me semble évident d'après la page m du Mémoire cité de M. Mœbius, où les faits, les preuves sans réplique ne manquent certainement pas : la mention même faite à la page 2o5 du tome III du Journal de Crelle démontre que, dès 1828 tout au moins, on avait connaissance en Allemagne de la théorie française des polaires réciproques, que feu Steiner invoquait à son tour pour la démonstration d'un théorème sur les surfaces du second degré.

Quant au calcul barycentrique même de M. Mœbius, je dois rappeler ici qu'il contient, sur la loi des signes dans les relations métriques à deux termes de la théorie des tranversales, une doctrine que je suis loin d'approuver au point de vue de la Géométrie antique ou moderne, et dont les contradictions deviennent surtout manifestes dans les égalités projectives à quatre, six ou huit segments rangés sur une même droite, égalités dont l'auteur s'était, dès 1827, occupé et parmi lesquelles je remarque principalement ce qu'il nomme Doppelschnittsverhœltniss [rapport de double section), à quoi Steiner, dans son ouvrage de i832, ajoute avec raison l'épithète ée. projectile, en observant que ces relations, déjà connues de Pappus ou d'Euclide, ont lieu entre les sinus mêmes des angles correspondant aux divers segments dans le faisceau des droites rayonnantes ou projetantes ( * ) .

Ainsi, dans l'intervalle de 1826 à i82^y cette théorie de la réciprocité polaire, ou la dualité qui prétend en tenir lieu, avait fait des progrès en Allemagne comme en France.

Déjà aussi on connaissait à Berlin mes revendications de priorité qu'avait provoquées le Mémoire de 1827, à double colonne, de M. Gergonne (p. 363 à 378), et M. Plucker, dans un premier volume intitulé : Développements analytico-géométiiques [Jnalytische geometrische Entwickelungen -jEssen, 1828), avait traité algébriquement, avec une certaine franchise (préface) et par des méthodes qui lui sont propres, mais dérivées de l'ancienne Analyse des coordonnées de Descartes, la théorie de l'intersection et du contact mutuel des cercles et des coniques, de leurs sécantes communes [chordales), de la réciprocité polaire , etc., théories, questions géométriques qui constituent spécialement l'objet du tome I" des Propriétés projectives , et à l'occasion desquelles M. Plucker reproche, non sans quelque raison, à son compatriote Steiner d'avoir marché sur mes traces [fusstapfen) : reproche trop général sans doute et contre lequel l'indulgent D"" Crelle

(*) f^oyez le tome I®'' du présent ouvrage, n°* 6 et suiv. ; vojez aussi mes applications d' Analyse et de Géométrie, publiées en 1862, t. I^'', p. 489 à 498, et t. II, 18G4, III^ Cahier, où j'ai non-seulement combattu la loi des signes géométriques de M. Mœbius, adoptée sans discussion par M. Chasles (i852), mais aussi ses singulières prétentions et celles de Steiner à certaines doctrines du Traité des Propriétés projectives des figures (t. 1*'', 1822). Voyez enfin dans ce Traité les notes des pages 4i3à4i4>4'7f'4'8, ainsi que celles du tome II (p. SSg à 3Co), où il est également fait mention des savante écrits de ces géomètres.

défend difficilement son jeune collaborateur dans le Journal de Mathématiques (t. III, i8a8, p. 410), en affirmant que M. Steiner no connaissait ni l'ouvrage de M. Plucker ni celui de M. Poncelet, pendant qu'il rédigeait les siens propres.

Le tome II de l'ouvrage de M. Plucker, publié, comme le premier, à Essen en i83i, par conséquent un an avant celui de Steiner, sur lequel j'aurai à revenir ci-après , offre une étude plus approfondie des mêmes doctrines, en s'appuyant cette fois sur la méthode du multiplicateur indéterminé des équations algébriques de même degré, dont l'idée et l'emploi remontent au moins à l'année 1810 [voir le tome P'", 1864, de mes Applications d'Analyse et de Géométrie, p. 249 et suiv.). Cette méthode, comme l'observe M. Plucker, exempte des procédés algébriques, jusque-là si laborieux, de l'élimination. A l'égard de la théorie des polaires réciproques, je ferai remarquer que le savant professeur de Bonn la désigne abréviativement par l'épithète de principe de réciprocité en l'opposant à celui de dualité, dont il hésite pourtant à attribuer la découverte à Gergonne, en lui reprochant même son origine purement inductive^ et de n'être applicable qu'aux formes linéaires ou linéales de l'étendue.

Sans nul doute, M. Plucker eût été beaucoup plus affirmatif s'il avait mieux compris ou retenu le but de mon Mémoire de 1817 (t. VIII des anciennes ^//«<7fe) , cité dans son jiremier volume, ainsi que le contenu du Traité des Propriétés projectivcs (t. P'', Sect. I et II), et surtout s'il eût prêté un peu d'attention au Mémoire de Sturm (t. XVII des Annales), qui précède celui de Gergonne (vo/> la page 390 ci-dessus du présent volume). En reprochant au Rédacteur des Annales de Montpellier de n'avoir pas eu égard, en 1828, à une communication tendant à prouver que lui aussi (Phicker) était arrivé, par une voie purement analytique, au principe de réciprocité, objet de la dispute, il prétend l'avoir présenté sous un point de vue beaucoup plus général (préface, p. 6, texte, p. 259), Mais je crains fort qu'il y ait là quelque méprise ou illusion; car, malgré l'honneur qu'il me fait de citer ici mes travaux antérieurs à ceux de MM. Steiner, Gergonne et Bobillier, imprimés dans les Annales de 1827 à 1829, je n'aperçois, même dans le Mémoire de M. Plucker sur un nouveau sysfème de coordonnées et un nouveau principe de Géométrie (Crelle, *■. V, i83o, p. I et 268), que des essais algébriques plus ou moins fructueux, et qui rappellent ceux de ces savants, pour établir une tardive et incomplète prééminence des méthodes soi-disant purement analytiques sur les miennes (* ).

Du reste, dans ce tome II, publié en i83i, M. Plucker annonce en terminant (note, p. 258) qu'il s'occupe, d'après mes écrits anciens ou récents, d'éclaircir le paradoxe relatif à l'abaissement

(*) Ce système de coordonnées, comme je l'ai montre ailleurs (Applications, t. I, p. 493 et suiv.), est fondé sur la méthode des coefficients ou multiplicateurs arbitraires appliquée à des conventions, à des notations sjmboliqnes qui, pouvant varier au gré de chaque géomètre algébriste, constituent autant de modes distincts de transformations analogues à ceux que l'on a vus surgir dans ces dernières années. M. Plucker parvient ainsi à une sorte de théorie de réciprocité dont, ici encore, il feint d'attribuer la priorité à Gergonne, sans se ressouvenir de mon Mémoire, pourtant plutôt analytique que géométrique, de 1817 (t. VIll des Annales), qu'il avait, je le répète à dessein mais à regret, précédemment cité dans ses EntH'ickelungen \n-!\'' de 1828.

C'est, je pense, dans le premier des deux Mémoires ci-dessus de M. Plucker que se trouve la première indication, un peu diffuse, il est vrai, du système des coordonnées triUnéaires, système mis à profit par ses successeurs en rendant les équations homogènes; ce qui n'est point nettement indiqué par ce savant. Le but du second Mémoire de M. Plucker, où ce que j'ai appelé principe de continuité est mentionné avantageusement, paraît être d'ailleurs d'exposer un procédé algébrico-géométrique pour démontrer et découvrir, s'il se peut, les théorèmes qui se rapportent à la Géométrie combinatoire, dont Steiner s'était occupé avec une sorte de prédilection dans le numéro de mai i8i8 des Annales de Montpellier ; théorèmes relatifs aux hexagones multiples inscrits à une conique appartenant aux six mêmes points de la courbe, et dont Pascal a découvert la propriété fondamentale, la seule véritablement importante, sous le nom de hexagrammum