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4io PROPRIÉTÉS PROJECTIVES DES FIGURÉS.

du degré des polaires réciproques, qui lui laisse encore des doutes, et sur lequel je me propose moi-même de revenir dans l'un des articles du paragraphe suivant.

Si j'ai autant insisté sur ces premiers ouvrages d'un professeur désireux de se tenir au niveau de la science et de l'approfondir au point de vue de l'Analyse algébrique alors si fort en retard par rapport aux récents progrès de la Géométrie, c'est qu'ils émanent d'un esprit droit et consciencieux, quoique un peu diffus et indécis, qui cherche sa voie et prélude à des travaux plus sérieux publiés en i835 et iSBg; travaux dans lesquels M. Plucker cherche à approfondir la théorie des points singuliers et des autres éléments importants de la Géométrie des courbes, dont nous aurons également à nous occuper dans ce qui suit.

Quant au livre de M. Steiner, daté de septembre iSSa et dédié à S. Exe. le Baron A. de Humboldt qui, peu après, me l'adressa à l'École d'Application de Metz, où je m'occupais alors exclusivement de Mécanique et de Machines, en l'accompagnant amicalement de cette traduction littérale du titre : Développement systématique de la dépendance des formes géométriques ; quant au livre de Jacob Steiner, dis-je, il est aisé d'apercevoir par l'introduction et dès les premières pages du texte que, laissant entièrement de côté le Traité des Propriétés projectives, mes Mémoires de 1824 et même de i83i, dès lors imprimés dans le Journal de Crelle, l'auteur n'entendait nullement tenir compte du bienveillant avis du D' Crelle et des graves reproches de son antagoniste M. Plucker, mieux éclairé, plus équitable alors envers ces mêmes écrits. Le mutisme, le mauvais vouloir de Steiner sont ici, en effet, poussés jusqu'au point de placer le principe de dualité avant celui de la réciprocité polaire, et de se servir avec affectation des doubles colonnes de Gergonne, dont pourtant il déclare connaître la discussion avec moi dans le Bulletin Férussac de 1827, discussion qu'il désigne (^préface, p. vu) par l'épithète fort dédaigneuse de dispute entre les mathématiciens français. A plus forte raison continue-t-il à jeter un voile épais sur mes propres théories et conceptions, dans son projet d'établir par la synthèse géométrique, c'est-à-dire sans analyse algébrique, la plupart des résultats auxquels j'étais parvenu dans les ouvrages si souvent rappelés, et où se trouvent exposées les relations métriques projectives les plus générales du faisceau de droites rayonnantes autour d'un point, sous le nom commun û'homologie, ûq projection centrale^ de perspective-relief, plane ou dans un seul plan, comprenant toutes les relations de la Géométrie de la règle ou des transversales ancienne et moderne.

Tel a été en effet le but de Steiner dans ce livre in-8° de Zii pages imprimé à Berlin en 1882. Or, il est aisé de se convaincre que, dan;i cette première partie vraiment élémentaire, les procédés de démonstration sont à peu de chose près les mêmes que les miens [voir p. 5 et suiv.), si ce

mjsdcum : ce système d'hexagones inscrits offrant par centaines des groupes de trois points en ligne droite, ou de trois droites convergeant en mêmes points, des combinaisons de droites et de nombres sur lesquels le savant professeur de Bonn reproche à Steiner de s'être plus d'une fois trompé dans ses énoncés, sans démonstration, insérés aux Annales précitées. On voit d'ailleurs que ce genre de propositions, dont ce dernier géomètre a souvent fait abus et qu'il a mis à la mode parmi une certaine classe de savants, appartient plutôt à la théorie des nombres et à la Géométrie de situation qu'à la Géométrie proprement dite ou d'intuition ; ce qui semble indiquer, à mon sens, une faiblesse, un manque d'initiative des esprits qui, confondant la complication avec la profondeur, s'éloignent de l'élégante simplicité des anciens géomètres. Or ceci doit s'entendre également de ces théories des multiplicateurs indéterminés ou arbitraires, seulement applicables directement et à posteriori aux systèmes d'équations homogènes de même degré, par la méthode des déterminants, des discriminants, etc., dont les combinaisons, variables aussi à l'infini, selon le besoin du moment, sont nées de l'infériorité même de l'ancienne Analyse algébrique par rapport à la Géométrie moderne : celle-ci en effet, marchant par une voie toujours sûre et progressive à de nouvelles découvertes, a ouvert à cette Analyse une route qu'elle aurait beaucoup de peine à parcourir sans la théorie de réciprocité polaire qu'on prétend néanmoins démontrer, si non découvrir à priori, de tant de façons différentes; par exemple, en la réduisant, comme l'a fait le premier Mœbius, à une transformation de coordonnées purement linéaires {lineal Ferwandschaft).

n'est que, dans mon Traité de 182.1, je considère spécialement les figures qui se correspondent perspectivement, homologiquement , sur un même faisceau de droites rayonnantes, tandis que Steiner les considère sur deux faisceaux distincts ayant ou non un centre commun de projection, à la condition cependant qu'il y ait entre les sinus des angles projetants respectifs, ou entre les segments et les figures correspondantes, les mêmes relations projectives, limitées ici à ce qui concerne les rapports harmoniques, de double section (Mœbius) ou d'involution (Desargues), constituant au fond ce que certains auteurs nomment aujourd'hui vaguement Y homographie des figures. Ce genre particulier de transformation fait en effet parvenir, avec une facilité relative et tout élémentaire [classique]., mais non plus rigoureusement, aux différents théorèmes des transversales que Steiner nomme porismes, et qui, au point de vue historique où je me suis placé dans mon ouvrage de 1822 (Sect. II, t. I"), donnent au livre de ce géomètre l'apparence d'une contrefaçon enrichie de développements divers, notamment sur Vinoolution de six points rangés en ligne droite et sur la dualité à doubles colonnes, dualité qu'il confond, pour cause, avec le principe général de la réciprocité polaire; et en cela incontestablement Steiner se montre inférieur à M. Plucker, ainsi qu'on le verra plus loin.

A ce point de vue comme à plusieurs autres, les démonstrations de Steiner, limitées aux plus simples relations métriques des figures, paraissent moins générales, moins complètes que celles que j'avais précédemment mises en usage. Elles ne peuvent, dans tous les cas, lui assurer aucun droit positif à la découverte des théorèmes et des théories géométriques connus avant janvier 1882, époque où parut dans le Journal de Crelle mon dernier Mémoire, qu'il semble ou prétend ignorer. Ceci soit dit néanmoins sans rien préjuger sur le mode de démonstrations à àowhlQ faisceau projetant qu'il substitue au mien propre ni aux divers théorèmes de Géométrie combinatoire, dont j'ai déjà parlé comme ne se rattachant que trop indirectement au caractère de la Géométrie intuitive. N'oublions pas d'ailleurs que c'est en s'appuyant sur cette théorie des doubles faisceaux projectifs s'entrecoupant dans un plan ou dans l'espace qu'il nous a donné, dans son livre de 1882 et depuis, sur les courbes et les surfaces, gauches ou non, ces énoncés en plusieurs pages, privés de toute démonstration, sortes d'aphorismes qui rappellent certaines généralisations placées en tête du livre VII des Collections de Pappus, et dont Euclide peut-être avait lui-même offert des exemples dans son Traité des Porismes, aujourd'hui encore si peu compris. Il est évident que ces aphorismes sont aussi inintelligibles que certaines formules algébriques d'Arbogast ou autres, et que feu Wœpcke, savant traducteur des derniers Mémoires de Steiner, en a exagéré le mérite dans de longs énoncés insérés, à partir de 1857, dans le Journal de Crelle et fort admirés par quelques-uns comme les tours de force d'un esprit profond et improvisateur; or, ce genre de spéculations géométriques est devenu presque à la mode depuis l'encombrement progressif de la moderne branche d'Analyse géométrique qui a son pendant pour l'Analyse algébrique. Toutefois, on ne doit pas l'oublier, cette manière expéditive et un peu cavalière., qu'on me passe le mot, de traiter sans commentaires ni démonstrations aucunes les questions de Géométrie, prête beaucoup à l'erreur, à la confusion des idées, et elle ne satisfait nullement les lecteurs sérieux, comme je l'ai fait plus d'une fois remarquer dans cet ouvrage.

Steiner, esprit brillant mais frondeur, en se livrant avec un succès remarquable à de telles spéculations, en a peut-être dépassé le but au détriment de son repos, de sa santé, de ses intérêts matériels et de ceux de l'amitié que lui avaient vouée les Crelle, les Jacobi et d'autres, avec lesquels il s'est refroidi, sinon brouillé, à partir de 1847 ou 1848; ce qu'on doit attribuer à l'exaltation de ses idées politiques ou scientifiques, exaltation que je lui ai d'autant plus volontiers pardonnée pour ce qui me touchait personnellement, qu'il n'a pas cessé un seul instant, dans ses lettres amicales et lors de nos entrevues à Paris, de me témoigner un réel attachement et une estime, j'oserai même dire un culte pour mes anciens travaux, rarement cités cependant dans ses écrits, du moins avec cette franchise qui devrait caractériser les amis sincères et désintéressés des vérités mathématiques. Il y a plus : quelques-uns de ses disciples d'Allemagne, les Gôpel, les Adams^ etc., ne se

4i2 PROPRIÉTÉS PROJECTIVES DES FIGURES.

sont pas fait faute, en i844> de critiquer le Traité des Propriétés projectives des figures sans trop prendre garde qu'il avait précédé de dix ans celui de leur maître, auquel je suis loin de contester, au point de vue des méthodes d'exposition, tout mérite de priorité.

Sauf, en effet, dans ses derniers Mémoires, à partir de i845 et pour quelques théorèmes isolés, Steiner n'a prononcé mon nom qu'en cas d'urgente nécessité, comme, par exemple, il l'a fait dans son Mémoire concernant le nombre des tangentes doubles des courbes du quatrième degré (Crelle, t, XLIX, i855, p. 265), question où il se sentait devancé par MM. Plucker, Cayley, Jacobi et Ollo liesse. C'est ce dont j'ai acquis la conviction par les lettres de juin et d'octobre i844 que m'a adressées de Naples l'estimable géomètre Fortunato Padula, qui s'était précédemment occupé du problème des tangentes doubles dans les Mémoires de V Académie napolitaine (*); car ces lettres prouvent que, durant le séjour à Naples de Jacobi et de Steiner, alors amis inséparables, M. Padula avait appris que ce dernier géomètre s'était, depuis un certain temps, aussi occupé de cette épineuse, question pour les courbes planes algébriques de degré m en général, et qu'il était parvenu à une formule d'après laquelle le nombre des tangentes doubles serait de a8 pour les courbes du quatrième degré, de 120 pour celles du cinquième, etc.; ce qui conduisit M. Padula à retrouver et démontrer analytiquement cette formule générale

dont la première découverte est réellement due à M. Plucker, comme le prouverait au besoin la lettre qu'il a bien voulu m'écrire de Halle, en Saxe^ en m'adressant son savant ouvrage de i835, où cette formule et d'autres analogues (p. 241 à 270) se trouvent amplement exposées, mais qui, depuis, ont été redémontrées à l'aide de procédés analytiques plus directs par Jacobi, dans un Mémoire de i85o (Crelle, t. XXXiX, p. 237) où il cite mes propres travaux et ceux de M. Plucker sans mentionner ceux de Sle'mer {inde irœ!]. Du reste, le souvenir scientifique qu'a bien voulu accorder à mes Mémoires de 1824 et i83i l'illustre émule à'Jbcl de Christiania est un reproche indirect adressé, non pas seulement au Steiner de i832 à i845, mais aussi aux savants algébristes M. Plucker de i835 et M. Cayley de 1847 (Crelle, t. XXXIV, p. 3o à 45).

11 est évident que le dédain de Steiner pour les doctrines du Traité des Propriétés projectives (t. P'' et II) lui ont trop longtemps fait méconnaître la véritable portée des principes de réciprocité polaire, de continuité, etc. Évidyhiment aussi l'apparition des mes derniers Mémoires dans les tomes VII et VIII du Journal de Crelle, c'est-à-dire avant la publication de son livre de i832, l'avait détourné de s'occuper de la rédaction du second volume qu'il préféra morceler dans divers Articles détachés où il espérait conserver ses droits de priorité pour des matières non encore explorées par d'autres. Au reste, lors des dernières visites que Steiner depuis son retour d'Italie voulut bien me faire à Paris, j'étais par devoir exclusivement occupé de questions de Mécanique pure ou appliquée, et il m'était aussi impossible de prêter une attention suivie aux travaux géométriques du savant professeur de Berlin, que de lui venir en aide dans ses revendications, toutes confidentielles ou verbales, contre MM. Plucker et Chasles, malgré mon désir sincère de lui être agréable et bien que je n'eusse alors aucun ressentiment pour ses singuliers procédés scientifiques à mon égard, dont, à tort sans doute, je ne m'étais pas assez inquiété à l'origine, distrait, je le répète, par des occupations étrangères à la Géométrie, et dominé par un sentiment d'amicale indulgence envers un aussi brillant esprit.

Dans cette situation difficile, je tentai, à sa demande, en 1857, de rédiger, pour la lire à l'Académie des Sciences de l'Institut, une Note sur l'histoire des récents travaux en Géométrie; mais je ne tardai pas à m'apercevoir que, dans le confiit d'amours-propres où j'étais personnellement

(*) Fojez la Note additionnelle placée à la fin de cet Article II, p. 4» 4-

SECTION SUPPLÉMENTAIRE. 4i3

intéressé, je ne pouvais résumer en assez peu de mots ni assez nettement devant l'illustre Société un examen qui pouvait amener dans son sein de bien longues et délicates discussions. D'un autre côté, je ne tardai pas à rencontrer dans l'état de ma santé, au commencement de i858, un obstacle matériel qui m'obligea d'ajourner jusqu'à un moment plus favorable l'examen d'une question historique qui, exigeant des recherches nombreuses, ne pouvait être traitée verbalement d'une manière tant soit peu intelligible et intéressante pour nos savants confrères et le nombreux public qui suit les séances académiques. Cela explique aussi comment j'ai été conduit, dès 1860, à entreprendre la réimpression de mes anciens écrits géométriques, et comment je me suis borné, dans le tome l" des applications d'Analyse et de Géométrie, à consigner les quelques lignes relatives aux revendications de Steiner qu'on trouve dans l'Article intitulé : Souvenirs, Notes et Additions (p. 480 à 498 et 509), où d'ailleurs je ne suis entré dans aucun détail concernant les divers griefs reprochés par ce géomètre à M. Chasles; griefs dont ce qui précède n'a pu donner qu'une insuffisante idée pour ce qui concerne la théorie élémentaire des faisceaux projectifs de droites rayonnant autour d'un ou de plusieurs centres de projection, etc.

Je n'oublie pas à cette occasion que le savant géomètre algébriste, M. Plucker, le premier après Bobillier, a admis et goûté, en les traduisant à sa manière, ces mêmes notions prétendues métaphysiques ou ultra-géométriques que l'analyse a eu tant de peine à s'approprier ; que le premier aussi il a compris et démontré algébriquement l'existence du contact de divers ordres des courbes aux points communs de l'infini, c'est-à-dire de \ asymptotisme de divers genres ou natures, ainsi que de celle des points singuliers qui s'y rapportent, existence dont, après 1822, il devenait facile de s'apercevoir géométriquement (P/-o/;/7e/reV/?/-o/É'c;»'^.y, t. I", Sect. I et II), et dont M. Plucker aussi a tiré un heureux parti dans ses derniers volumes in-4'' sur la Géométrie analytique.

De ces deux volumes, le premier, publié à Berlin [System der analytischen Géométrie^ i835), comprend la théorie des courbes du troisième degré, et se ressent encore de la lenteur et de la confusion d'idées de ses précédents écrits, en cela si différents de ceux de Bobillier; le second, édité à Bonn [Théorie der algebraischen Curven, 1889), d'une contexture remarquable, a été réellement profitable à l'avancement des idées géométriques pour la classification des courbes algébriques planes jusque-là demeurée fort incomplète. Car Newton, Waring, Euler et leurs successeurs n'avaient aucune idée des notions de l'infini tirées des considérations de la perspective ou projection centrale, dont, à son tour, M. Plucker a prétendu se passer, même dans ses derniers ouvrages, où il s'efforce de démontrer les résultats et théorèmes, par des artifices de calculs ou de raisonnements fondés sur la méthode des coefficients indéterminés et la décomposition des équations des lignes courbes en deux termes principaux : l'un, d'une forme algébrique fonctionnelle à déterminer par certaines conditions du problème où l'infini joue un rôle obscur sinon arbitraire ; l'autre composé d'un certain nombre de facteurs linéaires destinés à représenter les sécantes ou tangentes aux points de l'infini, etc.; M. Plucker est ainsi conduit à la discussion analytico-géométrique fort laborieuse de l'équation des courbes de divers degrés, non plus simples, mais assujetties à passer par des points donnés, à s'osculer asymptotiquement de différentes manières, tantôt réellement, tantôt imaginairement, selon que le contact est d'ordre pair ou impair; tout cela en se basant sur le système de transformation algébrique linéaire ou collinéation réciproque de Mœbius, afin de ne point recourir à la réciprocité polaire.

On voit par là combien les idées géométriques du savant algébriste s'étaient agrandies depuis i83i. Pourtant ce n'est pas dans les problèmes particuliers relatifs aux courbes du troisième et du quatrième degrés, et même dans l'énuméralion ou classification qui s'y rapporte, que réside le mérite de ses écrits de i835 et 1889, mais en réalité dans la discussion et la distinction des différents points singuliers, des droites annexes ou étrangères [voir les n"' 129 à 250, Sect. III de ce volume) des courbes algébriques, que personne avant M. Plucker n'avait faites avec autant de soin et d'exactitude géométrique. C'est là, malgré quelques reproches qui lui ont été adressés par M. Otto Hesse et d'autres, malgré l'abus des considérations et des notations algorithmiques restreintes qui sem-

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bleraient accuser la haute Analyse d'impuissance vis-à-vis de la Géométrie, c'est là, dis-je, ce qui rend l'ouvrage de i835, dont je viens de parler, d'une utilité incontestable en raison des formules générales par lesquelles il fixe le nombre des points et des droites ci-dessus mentionnées ; formules qui ont été résumées, en partie du moins, en 1848, mais sans démonstrations, par Steiner (Crelle, t. XLVII), et qui ont surtout de l'importance pour l'éclaircissement du paradoxe algébrique dont je compte dire un mot dans l'Article suivant , mais que M. Plucker n'a pas suffisamment approfondi dans son Traité de 1889, où d'ailleurs il n'est point question des courbes gauches ni de tout autre cas de l'espace ; ce qui tient, sans aucun doute, à ce que le savant professeur de Bonn s'attachait plus aux monographies et aux détails qu'aux principes fondamentaux qu'ils remplacent bien imparfaitement aux yeux des géomètres philosophes, pour lesquels l'accumulation des théorèmes est une véritable calamité, même dans les écoles préparatoires.

Note additiojmelle relative an nombre des tangentes doubles des courbes planes algébriques (voyez l'Avertissement au bas de la page 4 '2).

Dans sa lettre du 10 juin 184/1, dont je dois la traduction à M. Moutard, M. Fortunato Padula s'exprime ainsi :

« Dans le tome VIII du Journal de Crelle, vous avez fait insérer un Mémoire sur V Analyse des tians- » versales, où, au n° 249, je trouve que la formule /«'(;« — 2) indique la somme des indices de inultipli- » cité des tangentes osculatrices que peut avoir une courbe de degré m. M'étant occupé de quelques » recherches sur les tangentes doubles et sur les points d'inflexion, il m'a semblé que la formule donnée » par vous doit établir une relation enti'e le nombre des tangentes doubles et le nombre des points d'in- » flexion d'une courbe, et il m'aurait été facile de la trouver, si vous aviez déclaré explicitement que, » par indice de multiplicité d'une tangente, il faut entendre le nombre des tangentes qui sont superpon sées avec celle que l'on considère, ou bien le nombre des cordes déterminées par la courbe de cette » tangente considérée comme une transversale, qui sont nulles. Dans le premier cas, x désignant le » nombre des tangentes doubles, y celui des points d'inflexion, on aurait la relation

») Dans le deuxième cas, au contraire, chaque tangente d'inflexion aurait son indice de multiplicité égal » à 3, et la relation serait

(i) 2x ■/- 3j- = m^{iii — 2).

» J'incline à croire qu'on doit s'arrêter à cette dernière équation; mais comme, en définitive, je reste » dans le doute, j'ai pensé que le meilleur parti était de recourir à vous-même.

» Je crois cependant devoir vous indiquer comment je me trouve dans la nécessité de distinguer les » indices de multiplicité des tangentes doubles et des points d'inflexion, afin que vous puissiez prendre » un plus grand intérêt dans la question, qui, comme vous verrez, vous regarde en quelque façon.

» M. Steiner ayant été dans cette capitale, et me parlant de ses travaux, me disait qu'une courbe de » degré m a un nombre de points d'inflexion indiqué par la formule 3/rt(/« — 2); il me fit connaître ce i> résultat sans m'indiquer la voie suivie pour l'obtenir, parce qu'il fait partie de recherches qui n'ont )> pas encore vu le jour. N'ayant pu réussir à démontrer cette formule par des considérations géométri- » ques, car tout le monde ne peut pas, comme MM. Poncelet et Steiner, plier la Géométrie à découvrir » des résultats qui semblent du domaine absolu du calcul, j'ai eu recours à ce demi-moyen. »

Je ne rapporte pas ici la partie analytique de la- démonstration relative au nombre y des points d'inflexion, donnée dans la lettre de M. Padula, et qui repose sur la considération des équations dérivées ou difliérentielles du calcul le plus simple, sans aucun recours à des notations, à des systèmes de coordonnées étrangers à ceux qui sont employés dans la Géométrie analytique de Monge. M. Padula ajoute ensuite dans sa lettre ces paroles ici transcrites littéralement :

« M. Steiner me disait en outre avoir aussi trouvé une formule qui donne le nombre des tangentes M doubles, mais il évite toujours de la faire connaître, se bornant à me dire qu'une courbe du quatrième

SECTION SUPPLÉMENTAIRE. 4i5

» degré en a 34» ""^ du cinquième 120, une du sixième Sa'i, une du septième 700, et qu'il avait trouvé » la formule en question après avoir découvert la relation qui existe entre le nombre des tangentes dou- » blés et le nombre des points d'inflexion. Or, on voit maintenant que la formule trouvée par vous » établit précisément cette relation, et si c'est l'équation (i) qui doit être admise, on" trouve précisément, » en y faisant 7- = Zm^m — 2),

» qui concorde bien avec les résultats indiqués par Steiner. »

Cette lettre, de juin i844> qui m'a été transmise par M. Dufresne, ingénieur des Ponts et Chaussées de France, fut suivie, en date du 29 octobre i844> d'une seconde lettre de M. Paduîa, à qui sans doute ma réponse n'était point encore parvenue, réponse dans laquelle je me prononçais affirmativement pour la formule 2XH- 3^ = /«'(/« — 2), c'est-à-dire de l'hypothèse des trois cordes ou tangentes réunies en une seule au point d'inflexion, conformément à la manière d'entendre le principe de continuité qui n'a jamais varié chez moi. Pour cela je n'avais pas besoin de prendre connaissance de l'article inséré à la page loj du tome XII (i834)du Journal de Crclle, article plein de réminiscences de mes idées géométriques sur la continuité, et où M. Plucker, heureux d'avoir pu énoncer cette fois la formule ci-dessus, me prend à partie, exalte la dualité de Gergonnc à mes dépens, et, pour mieux faire valoir le mérite de sa première découverte, me reproche un peu vivement un lapsus que j'avais moi-même rectifié dès i83o-i83i, dans le Mémoire sur VAnaljrse des transversales, inséré au même journal (t. IV, i832, n9 245, ou Section III du présent volume), c'est-à-dire deux années auparavant, mais auquel sans douté M. Plucker ne voulait pas prêter une attention convenable par un motif d'amour-propre facile à deviner, et par suite duquel il me traite, je puis dire injustement, quant au soi-disant et cé\èhTG paradoxe qui, en 1826, avait été la pierre d'achoppement du même Gergonne, si longtemps resté dans une inconcevable erreur mathématique (l'orez Sect. II, n° 67, Sect. III, n^ 33o, etc.).

A cet égard, l'illustre géomètre Jacobi a été plus juste et plus généreux envers moi dans son Mémoire de i8jo (Crelle, t. XL, p. 237) sur les tangentes doubles des courbes du degré «, où il donne pour la première fois une démonstration analytique complète des énoncés géométriques de M. Plucker, en la tirant d'une théorie générale des équations différentielles qui lui est propre, mais que je ne place pas, pour la clarté géométrique, au-dessus de celles de M. Padula, et dont la marche purement algébrique lui fait trop oublier, après M. Plucker, que la formule n* {n — 2), qui représente la somme des indices de multiplicité d'une courbe algébrique quelconque, m'appartient incontestablement (Crelle, t. VIII, n° 249, ou Sect. III, p. 23i), aussi bien que la formule mn\in — i)(« — i), relative au nombre des tangentes communes à deux lignes courbes sur un plan, formule établie, démontrée également par moi dans un premier Mémoire de 1817, sur la théorie des polaires réciproques {voj-ez nos applications d'Ajialjse et de Géométrie, t. II, p. 476 à 483).

Si nous n'étions pas à une époque où trop souvent les vérités sincères passent pour des mensonges et vice versa, je dirais que, dès avant 1824, je m'étais vivement préoccupé de découvrir, par la voie de l'Analyse différentielle, le nombre des points d'inflexion, des points de rebroussement et des tangentes doubles des courbes planes algébriques. Ces recherches n'étaient nullement dépourvues en soi d'intérêt; mais n'ayant pu les accomplir par la voie purement géométrique, à mon sens seule rigoureuse, je me gardai de rapporter ces aperçus dans mes écrits ultérieurs.

11 serait inutile d'ailleurs de rappeler la Note qui termine le Mémoire ci-dessus de Jacobi, où M. Otto Hesse, l'un de ses élèves les plus célèbres, taxe d'erronée la recherche de M. Plucker relative au degré de la courbe qui contient les points de contact des vingt-huit tangentes d'une ligne du quatrième degré, dont, par la théorie des déterminants, ce savant algébriste donne l'équation du quatorzième degré d'une remarquable composition, sinon d'une grande simplicité; cette mention, dis-je, serait tout à fait sans objet si elle ne prouvait que M. Plucker était, à son tour, passible de reproches plus graves encore que ceux qu'il adresse à d'autres dans une multitude d'écrits imprimés où se montre un esprit très-peu sûr de lui-même, et qui marche dans sa propre voie sans jamais changer de route ou de méthode, c'est-à-dire sans s'abandonner au caprice ou au besoin du moment : maladie fort répandue de nos jours. Toutefois, je ne prétends nullement exagérer le mérite de M. Otto Hesse au détriment de celui de M. Plucker; car je vois par une Note subséquente du premier de ces savants algébristes, du 27 novembre 1849 (Crelle, t. XL, p. 3i5), que, malgré la théorie des déterminants, il n'était point non plus en mesure dès lors d'expliquer le mystère relatif aux courbes gauches ou à double courbure.

4i6 PROPRIÉTÉS PROJECTIVES DES FIGURES.

REMARQUES DIVERSES A l'OCCASION DU PRÉCÉDENT ARTICLE ET DE QUELQUES AUTRES ÉCRITS