PA^PQ — PA PB~PB — PQ II

lo THÉORIE GÉNÉRALE

on tire immédiatement

2 PA.PB = PB.PQ -f- PA .PQ,

ou, en divisant tout par 2 PA. PB.PQ,

PQ^2VPÏ"^PB

relation entièrement analogue à celle qui a lieu pour la division en parties égales, lorsqu'on remplace le point P par un point quelconque/? [fig- a), et

les rapports p^5p7-îp^ par les simples segments /?Q,/? A, joB; on a effectivement, en supposant que Q soit le milieu de AB,

k. En nommant, avec Mac-Laurin, réciproque d'une ligne son rapport inverse à l'unité de mesure, la relation ci-dessus pour la division harmonique exprimera que la réciproque de PQ est moyenne arithmétique entre les réciproques des segments PA et PB; c'est pourquoi, quand une ligne AB {fig. i) est divisée harmoniquement aux points P et Q, ou que les segments PA, PQ et PB, relatifs au point P, sont en proportion harmonique, on dit que le segment PQ est moyen harmonique entre les deux autres PA et PB; et comme, dans le cas ci-dessus de la division en parties égales, le point Q est nommé le centre de moyenne distance de A et de B, nous pourrons dire également que, dans celui de la division harmonique, le point Q est le centre de moyenne harmonique des points A et B; et cela non d'une manière absolue, mais seulement par rapport au point P qui sert ^origine commune aux segments harmoniques.

5. De plus, d'après ce qui a été observé ci-dessus (2), en mettant la figure en projection ou perspective sur une droite quelconque P'B' [fig. i), le point Q', qui répond à celui dont il s'agit, sera encore un centre de moyenne harmonique par rapport aux points A' et B' de la projection, et relativement au point P' qui sert d'origine aux nouveaux segments : ainsi, dans le faisceau des projetantes SA, SB, SP, SQ, on pourra nommer la droite SQ l'axe des moyennes harmoniques de SA et SB, par rapport à la droite SP, qui sera l'axe des origines harmoniques; la transversale P'B' étant d'ailleurs i^rïse parallèlement à ce dernier axe, tous ses points Q' deviendront àes centres de moyennes distances d'après l'article 2 déjà cité.

DES CENTRES DE MOYENNES HARMONIQUES. ii