Pour compléter l'analogie entre les deux relations

on peut remarquer qu'elles éprouvent dans leurs termes les mêmes variations de signes pour les mêmes changements de position des points qui leur correspondent.

Supposons, par exemple, que dans le cas de la division harmonique {fig. i) le point P passe, d'un mouvement continu, de la gauche à la droite de A : à l'instant où la distance PA deviendra nulle, le segment QA devra (1) l'être aussi, de même que PQ; par conséquent le point Q passera, à son tour, de la droite à la gauche du point A, et les distances PA, PQ, ayant changé de sens, devront changer en même temps de signe dans la relation ci-dessus, qui deviendra ainsi

PQ~"2l^~"PÂ"^PB/ ^" PQ

^" ^^K^'ps)

pour le cas où le point P aurait pris la place du point Q, et réciproquement. C'est en effet ce dont on peut s'assurer directement à l'aide de la relation primitive; car, en la mettant sous cette forme

QA PQ — QA QB-PQ + QB' on en tire

'- = 1(1— 1-\ )P 2\QA qb;

résultat qui tient d'ailleurs à ce que d'après la définition ci-dessus (1) les points Q et P jouissent de propriétés réciproques à l'égard de A et de B. D'après cela, on voit que la règle des signes, pour la relation harmonique,

est que y en considérant toujours comme positif le terme r^^ les termes r^i-^-)

qui entrent dans le second membre de cette relation, devront être affectés du signe H- ou du signe — , selon que, par rapport à F origine P, les points auxquels ils répondent seront placés du même côté que le point Q ou d'un côté différent; or c'est ce qui a lieu précisément [fig. 2) dans la relation

pQ=:i(^A+pB).

Donc la même règle des signes est applicable à ces deux espèces de relations, et par conséquent elles conserveront une forme semblable pour la même dis-

es.

position des points à l'égard des origines V et p auxquelles elles se rapportent; seulement, en conservant ces points A et B, on ne saurait changer, dans le cas de la division harmonique, l'origine P sans que le point Q change en même temps, au lieu qu'il reste fixe dans celui de la division en parties égales.

7. Les choses ainsi entendues, supposons (fig. i) qu'on divise en deux parties égales, au point Q,, la distance PQ moyenne harmonique entre PA et PB; on aura donc

pq^pq;^pâ"'~pb'

et, par conséquent, si l'on mène par le point P une suite de transversales PAB, PA"B",..., dans l'angle ASB, puis qu'on prenne, sur chacune d'elles, des points Q,, Q''^,.,., tels qu'on ait, eu égard à la règle des signes posée cidessus,

POi"" pI"'"pb' pq'[^Fâ?~*"pb^'*"'

les points ainsi définis seront (2 et 5) sur une droite Q< Q'^, parallèle à l'axe SQ des moyennes harmoniques des côtés de l'angle ASB, et passant par ses points a et & où chacune des parallèles Va, Pb à l'un de ses côtés rencontre l'autre. Car, pour ces positions particulières de la transversale PAB, ou PA"B", le point Q<, ou Q"^, se confond avec l'un des points correspondants A ou B, d'après la relation ci-dessus, attendu que l'un des segments correspondants devient infini.

Or, de là résulte un moyen, indiqué par Mac-Laurin, pour construire directement le point Q<Q"^ lorsqu'on connaît les points P, AetB. Quant au centre Q des moyennes harmoniques, il est plus simple et plus élégant de le déterminer à l'aide du procédé suivant, qui n'exige que l'emploi de la ligne droite ou de la règle : ayant mené par l'origine P des segments harmoniques, une transversale arbitraire PA"B" dans l'angle des projetantes SA, SB, on joindra, par de nouvelles droites AB", BA", les points ainsi obtenus sur ces projetantes avec les points donnés A, B, et le point S' de leur intersection appartiendra à la projetante SQ du point Q cherché. Il est visible, en effet, que si l'on substitue l'angle AS'B à l'angle ASB, et la droite PS' à la droite PS, l'axe des moyennes harmoniques (5) de cet angle par rapport à P, et qui renferme nécessairement Q et Q", devra aussi passer par le sommet S' et se confondre par conséquent avec celui SQ de l'angle ASB; on conclurait d'ailleurs la même chose en observant que la figure peut être mise en pro-

DES CENTRES DE MOYENNES HARMONIQUES. i3

jection ou perspective sur un nouveau plan, de façon que P passe à l'infini ou que les droites PAB, PA"B" deviennent parallèles, et c'est ainsi que nous avons démontré cette proposition généralement connue, à l'article 154 du tome P"" du Traité des Propriétés projectives.

8. Considérons maintenant une droite of (fig- 3), divisée en un nombre quelconque de parties égales aux points b, c, d, e,...; le pointa l'infini de cette droite pourra être regardé (1) comme l'origine commune des segments harmoniques relatifs à trois points de division consécutifs quelconques, en y comprenant les points extrêmes a et/; donc (2), si l'on projette le système de tous ces points sur une droite arbitraire a'f en a! , h', c\ d' , e',/', il en sera de même du point/?' qui est la projection du point à l'infini de af, à l'égard de trois points de division consécutifs quelconques de a!f'\ c'est-àdire que les segments relatifs à/>' et à ces points formeront une proportion harmonique; donc la suite de tous les segments /?a',/?6',/?c',/7rf',...,/?/*', formera une proportion harmonique continue, et l'on pourra dire, avec M. Brianchon [Application de la Théorie des transversales, etc., § 68), que ces segments forment \me progression harmonique.

Pour justifier davantage encore cette expression, nous remarquerons que, d'après l'article 2 et les articles suivants, il doit régner entre les réciproques des segments harmoniques qui répondent au point p' et aux différents points de division de a'f, la même relation qu'entre les simples distances d'un point quelconque p de af, aux différents points de division a, è, c, . . . , /; mais ces dernières forment une progression arithmétique, donc il en est de même des réciproques qui leur correspondent.

En effet, on aura pour la droite a/" et le point arbitraire/? :

ipb=.pa-\-pc, 2pc = pb-\-pd, 2pd = pc-\-pe,. . ., ou

pb—pa=pc — pb = pd — pb=pe — pd,...,

comme aussi l'on a (3), pour la droite a/' par rapport à l'origine des divisions harmoniques/?',

?'6'~/?'a'"^7?' 'p7'~yb'~^yj''' ^'~"p^'~^p^

p'b' p'a' p'c' p'b' p'd' p'b'~p'e' p' d' 9. Il résulte de ce rapprochement, en particulier, qu'on pourra calculer

r4 THÉORIE GÉNÉRALE

un terme quelconque de la progression harmonique, par les mêmes règles que l'on calcule un terme de la progression arithmétique, au moyen des extrêmes, quand son rang est assigné.

Supposons, par exemple, que la droite afsoït divisée en m-hn parties égales aux points b, c, d,..., et qu'il y ait par conséquent m-h n-h j segments pa, pb, pc,..., pf correspondants au point arbitraire /?; proposonsnous de rechercher le segment pd du point d qm appartient àla/i'^'"^ partie à compter de a: nous aurons, dans le cas dont il s'agit, des divisions égales,

pdr=pa-^ad = pa-i--j^^^af=pa-hj^^^{pf—pa),

pd = pa-\ pf= (mpa-\-npf);

donc on aura aussi, dans le cas de la division harmonique, c'est-à-dire pour la perspective a'f,

relation qui, en vertu de la continuité, doit même s'étendre au cas où les nombres met n sont incommensurables entre eux, et qui servira immédiatement à résoudre tous les problèmes analogues à ceux où il s'agit de diviser des distances en parties proportionnelles à des nombres donnés. On voit, en outre, qu'elle a une forme tout à fait semblable à celle (3) qui concerne la simple division harmonique de a'f en p' et d' ', si l'on y suppose en effet m et n égaux à l'unité, on retombera sur celle dont il s'agit. C'est pourquoi on pourrait dire que le segment /?'â?', relatif au point de division d'y esimoyen harmonique entre les segments/)' a' &tp'J' pour les coefficients m et n, et que le point d' lui-même est le centre des moyennes harmoniques de a' eif relativement à/?' et à ces mêmes coefficients.

Enfin il résulte encore de ce qui précède que les points extrêmes a' et/' d'une échelle harmonique étant donnés, ainsi que le nombre des parties dont elle se compose et l'origine/?' des segments harmoniques, on pourra construire successivement, à l'aide du calcul et sans recourir à l'échelle des divisions égales af, l'échelle harmonique dont il s'agit, à laquelle son usage dans la perspective a fait donner le nom è^ échelle perspective ou fuyante (*).

( * ) Je ne crois pas que ces dernières propriétés de l'échelle harmonique aient encore été remarquées des géomètres; elle en possède quelques autres intéressantes, auxquelles les précédentes nous conduiraient aisément, mais dont l'examen nous écarterait de notre objet. On peut consulter, à cet égard, le Mémoire de M. Brianchon, déjà cité art. 8.

DES CENTRES DE MOYENNES HARMONIQUES. i5

10. On déduirait beaucoup d'autres conséquences remarquables de ce qui précède; nous nous contenterons d'observer que, pour se construire une

«échelle harmonique sur un dessin, ou pour diviser une ligne a!f' en un certain nombre de parties harmoniques par rapport à un point quelconque/)' pris pour origine et qu'on nomme quelquefois /?omi de fuite dans les Traités de perspective, il n'est point indispensable de recourir au calcul, comme nous venons de le faire, ni même de construire d'abord une échelle^ordinaire de parties égales comme l'indique \^fig. 3; des opérations purement linéaires, ou qui s'exécutent avec la règle seule, suffisent pour atteindre le même but. Remarquons d'abord que, quand une droite a!f' est divisée en parties harmoniques aux points h', c\ d'y c',..., par rapport à un point p' qui sert d'origine aux segments harmoniques, la même chose aura lieu encore ( 2 et 8 ) dans toutes ses projections centrales ou perspectives sur une autre droite quelconque; c'est-à-dire que, quel que soit le centre de projection 5 que l'on ait choisi en particulier, si l'on coupe le faisceau des projetantes sp'^ sa\ sb',..., sf qui lui correspondent par une droite arbitraire, le système de points qui en résulte forme encore une échelle harmonique ayant pour origine le point répondant à /?'; c'est-à-dire, en un mot, que l'échelle harmonique est projectiçe. Si, de plus, on prend pour transversale une droite a/" parallèle à la projetante sp', ou que l'origine des segments harmoniques passe à l'infini dans la projection, l'échelle harmonique se changera en une échelle ordinaire de parties égales (2 et 8).

11. Supposons donc (Jig. 4) que a' et b' étant les deux premiers points de division d'une échelle harmonique, et/? l'origine des segments harmoniques ou \q point défaite, il s'agisse de construire successivement toutes les autres parties de l'échelle, prolongée de part et d'autre de a' jus.qu'à l'infini : on tirera arbitrairement les deux droites /?e",/?/' par le point/?, et l'on joindra, par d'autres droites a"b\ a" a', un point quelconque a" de pe" aux points donnés a' et 6'; ces droites iront déterminer sur ps" deux points s' et 5", dont on se servira ainsi qu'il suit pour construire l'échelle harmonique àb'c'd' ....

On tirera s"b' qui rencontrera /?e" en b"\ traçant s'b" , elle ira rencontrer pf au 3^ point de division harmonique c'; traçant ensuite c' s\ elle rencontrera pe!' en <, et s' c" ira construire le 4^ point de division d'\ il est évident que Ton pourra poursuivre cette opération à volonté, soit à droite, soit à gauche du point a', ce qui donnera l'échelle harmonique demandée a', 6',

(*) Ces constructions sont entièrement analogues à celles que M.'Bria.ncho.n a données pour la

i6 THÉORIE GÉNÉRALE

En effet, si l'on met la figure en projection sur un nouveau plan parallèle à ps's", c'est-à-dire tel, que cette droite passe à l'inûni, les quadrilatères a'b'b"a\ b'c' b"a'\..., seront des parallélogrammes, et par conséquent la droite a'f sera une échelle ordinaire de parties égales pour la nouvelle figure, de sorte qu'elle en est une de parties harmoniques pour l'ancienne.

12. Supposons maintenant que, s'étant donné une distance quelconque a/", il s'agisse de la diviser en un certain nombre de parties harmoniques relativement au point quelconque p pris pour origine : on tracera arbitrairement une droite pf passant par/?, et l'on construira, comme ci-dessus, une échelle harmonique quelconque a'b'c'd'.../' par rapport à ce point, mais dont le nombre des divisions soit précisément celui des parties qu'on veut obtenir sur af. Cela posé, on tracera les droites aa', ff qui, par leur intersection, donneront le points, dont on se servira pour projeter les points de division de l'échelle a'f sur af. Il est évident, en effet, qu'à cause que la relation harmonique est projective, les points b, c,..., ainsi obtenus, seront les points demandés.

Mais si, le nombre de parties harmoniques de «/"étant m -f- «, on demandait simplement le point d qui appartient à la n^^'"^ partie, comme dans le problème ci-dessus (9) résolu à l'aide du calcul, ayant d'ailleurs construit l'échelle harmonique a'/', il n'y aurait autre chose à faire qu'à projeter le j^ième t^q[^^ (Je division d' en dsnr af, à partir de s.

Ces dernières considérations, quoiqu'elles nous aient un peu écarté de notre premier objet, nous seront néanmoins utiles pour ce qui concerne la partie des applications.