AC BC AD~BD

Les deux points C et D étant étroitement liés entre eux par rapport à la droite AB sur laquelle ils se trouvent , sont conjugués l'un de l'autre : il en est de même des points A et B par rapport à CD.

Nous verrons , plus tard (1 55) , un moyen de trouver 7 avec la règle seule , le point qui est le conjugué d'un autre , et divise avec lui la droite correspondante en segmens proportionnels ou harmoniquement.

^4 . Les quatre points A , B 1 C , D qui viennent d'être définis se nomment 1 par abréviation , harmoniques , et il en est de même des quatre droites qui projeteraient ces points d'un autre point quelconque de l'espace : l'ensemble de ces quatre droites , que Làhire appelle aussi harmonicales (*) , forment , de plus , un faisceau harmonique (**) 5 ainsi (a 1)

Un faisceau harmonique est coupé par une droite transversale quelconque en quatre points harmoniques,

25. Il est évident encore que la proportion (21) a lieu entre les sinus des angles qui 1 dans le faisceau harmonique 1 correspondent aux segmens dont elle se compose et en sont les angles projetans (17)} et réciproquement , si la relation dont il s'agit a lieu entre les angles de quatre droites convergeant en un même point, ces quatre droites formeront un faisceau harmonique (***). Il n'en est plus de même de la proportion (22) , car elle ne satisfait pas aux conditions particulières de l'art. 1 1 . Il ne faut pourtant pas en conclure qu'elle ne soit pas nrojective , puisque le contraire a évidemment lieu. . 26. En général , quand une relation quelconque entre les distances d'une figure ne satisfait pas aux conditions dont il s'agit , on ne peut affirmer, ni

(*) Traité in-fol°. des sections coniques , liv. I*r. , pag. 5.

(**) Voyez le Mémoire de M. Brianchon, déjà cité précédemment (21 , note).

(*#*) Essai sur la Théorie des transversales, par M. Carnoty art. i5.

14 PROPRIÉTÉS PROJECTIVES.

qu'elle soit 7 ni qu'elle ne soit pas projective 5 seulement 1 elle ne peut être de la nature de celles qui sont à deux termes , lesquelles doivent toutes (20) satisfaire à ces conditions pour être projectives. Il faut alors avoir recours à d'autres moyens , et chercher 7 par exemple 1 à transformer cette relation en une autre qui jouisse du caractère particulier dont il s'agit. C'est ainsi que , la proportion (22) se ramenant de suite à celle (ai), on en peut conclure qu'elle est, par là même, projective de sa nature.

Il y a tout lieu de croire , au reste , que les mêmes transformations doivent être possibles pour des relations projectives quelconques •, car d'une part , comme nous l'avons déjà fait observer , presque toutes les relations projectives qu'on rencontre dans les recherches sont de la nature particulière de celles qui satisfont aux conditions de l'art. 20 } et 9 d'une autre , on peut obtenir au moyen de celle-ci , combinées d'une manière convenable avec celles qui expriment la juxta-position des distances rangées sur une même droite , une infinité de relations qui seront nécessairement projectives , et ne satisferont pourtant pas aux conditions particulières dont il s'agit.

27. Supposons (Fig. 2) que le point D soit à l'infini , ou que SD soit parallèle à AB } les segmens D A et DB devenant à la fois infinis , et ne différant entre eux que de la quantité finie AB , auront pour rapport l'unité , et il en sera de même par conséquent de ceux CA et CB auxquels ils sont proportionnels : c'est-à-dire que,

Si Von coupe un faisceau de quatre droites harmoniques (24) peur une autre droite parallèle à Vune quelconque des premières , la conjuguée à celle-ci divisera en parties égales la distance comprise entre les deuac autres sur la transversale ; et réciproquement , si cela a lieu à V égard dit faisceau de quatre droites convergeant en un même point 7 ces quatre droites seront harmoniques.

Si la ligne AB se trouvait divisée en un nombre quelconque de parties égales , le point à l'infini de cette droite serait , d'après ce qui précède , le quatrième harmonique de trois points de division consécutifs quelconques $ donc , si l'on projetait tous ces points , à partir de S 7 sur une transversale arbitraire A'B', en observant que la projetante du point à l'infini est parallèle à AD , la même relation aurait lieu encore entre les différens points de la projection , et l'on obtiendrait sur la distance qui représente AB ce qu'on nomme une Echelle fuyante , échelle qui est d'un grand secours dans la perspective : le nombre des divisions de l'échelle liarmonique aussi bien que le point qui représente celui à l'infini de

SECTION I. CHAPITRE let. i5

l'échelle ordinaire étant donnés , il sera aisé cPobtenir, soit par le calcul, soit de tout autre manière , les différentes parties dont elle se compose (*).

28. La proposition énoncée ci-dessus sur ïe faisceau de quatre droites harmoniques , pouvant se démontrer d'une manière très-simple , à l'aide de quelques triangles semblables , il en résulte , à posteriori , une justification entièrement rigoureuse de la notion , souvent admise , d'où nous sommes partis , et dont l'énoncé général est que,

Si deux distances ou grandeurs infinies ne différent entre elles que d'une quantité finie et donnée , leur rapport seraVunité$ en sorte qu' elles pourront être regardées comme rigoureusement égales entre elles.

Il est évident d'ailleurs que cela a lieu , soit que les distances infinies que l'on considère appartiennent à une même droite , ou à des droites différentes et par conséquent parallèles 5 on voit de plus que , pour que la condition soit parfaitement remplie dans les deux cas , il est indispensable que ces diverses distances puissent être censées , d'une part, aboutir au même point à l'infini, et que , d'une autre ,' elles aient leur origine en des points donnés à distance' finie des autres objets de la figure } car c'est alors seulement qu'on pourra regarder ces mêmes distances comme différant entre elles de quantités également finies.

29. D'après ce que nous avons dit (27) relativement au cas où l'un quelconque des quatre points harmoniques A , B , C , D passe à l'infini , on voit que , si le centre de projection S , où convergent les quatre droites du faisceau harmonique qui s'appuie sur ces points , passe en même temps à l'infini , ou que ces quatre droites deviennent parallèles , on voit , dis-je , que la droite qui répond au point dont il s'agit passera elle - même tout entière à l'infini , et que sa conjuguée harmonique divisera en parties égales l'intervalle compris entre les deux autres j c'est-à-dire que celles-ci seront placées symétriquement par rapport à la première.

Réciproquement, si trois droites parallèles sont disposées ainsi, la conjuguée harmonique de celle du milieu pourra être regardée comme située entièrement à l'infini 5 et , en effet , toute transversale déterminera évidemment dans le faisceau de ces quatre droites quatre points harmoniques (28), puisque, d'après les notions les plus simples de la théorie des parallèles , le point conjugué à celui qui est à l'infini divisera en parties égales la distance comprise , sur la transversale, entre les deux autres.

(+) Application de la Théorie des transversales, par C. J. Brianchon , § 6n. Paris, 1818.

16 PROPRIÉTÉS PROJECTIVES.

3ûé La division harmonique des lignes donne lieu à beaucoup d'autres remarques curieuses : ainsi , par exemple , oaa, entre les segmens formés par les quatre points harmoniques A, B9 C, D considérés ci-dessus (21), la nouvelle relation

™ = 2 ^ ou AB-CD = aAD-CB.