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BP~CR5

SECTION I. CHAPITRE Ier. ,9

donc BQ=CQ, et par conséquent le point Q appartient à la droite AO qui passe par le sommet de l'angle A et par le milieu 0 de la corde de contact PR.

En menant la nouvelle tangente B'C parallèlement à la première BC et à la corde PR 1 on conclurait , de même , que son point de contact Q' est sur la droite AO : ainsi cette droite appartient à la fois à toutes les cordes de la section conique qui seraient parallèles à celle PR ou aux tangentes BG et BrCr } c'est-àdire 1 en d'autres termes , que les cordes parallèles des sections coniques ont leurs milieux , et les points de concours des tangentes qui correspondent à leurs extrémités respectives , distribués sur une même droite appelée diamètre.

38. Pareillement, si l'on observe que les trois tangentes BQ, BF, BrQr, prolongées d'une manière convenable , peuvent être censées former un triangle circonscrit BB3C dont les côtés BK et WK sont parallèles et concourent à l'infini en K ( *) 1 on conclura de ce qui précède ( a8 et 36) la nouvelle relation

PB-Q'B' = PB'-QB.

Mais , à cause des parallèles BQ , OP et FQ* ,

PB OQ QB AQ

P5'~ OQretQrB|-AQ,î

donc

OQ AQ

OQ'AQrî

c'est-à-dire que le diamètre QQ* est divisé harmoniquement (a3) par le milieu de chaque corde PR et par le sommet A de l'angle circonscrit correspondant (**).

On voit que , si l'une des extrémités du diamètre , Q par exemple , passait à l'infini , ce qui arrive nécessairement quand la courbe est une parabole , la relation ci-dessus deviendrait simplement (27)

OQf = AQfi c'est-à-dire que , dans la parabole 5 la partie du diamètre comprise entre

(*) Désormais 9 pour indiquer que plusieurs lignes ont un point commun hors du champ de la figure 9 nous terminerons ainsi leurs extrémités par la même lettre censée représenter ce point.

(**) C'est la XXXVm*. Propos, du 1". liy. des Coniques VAppollonius.

20 PROPRIÉTÉS PROJECTIVES.

la corde du contact et le sommet de Vangle circonscrit correspondant

est divisée en parties égales par le sommet de la courbe.

39. De là on déduirait immédiatement toutes les définitions et les proprié— tés connues du centre ? des axes 5 des diamètres conjugués et des asymptotes (4) des sections coniques.

Soient , par exemple , MN et PR (Kg. 6) deux cordes parallèles d'une section conique quelconque , AB le diamètre conjugué à leur direction commune 7 c'est-à-dire celui qui passe par leurs points milieux 0 et Q (37) ^ la proportion de Fart. 35 deviendra évidemment

ÔMa PQa

OA-OB ~ QA-QB' d'où Ton tire

ÔM*=^.OA-OB,

p étant une quantité constante qui ne varie qu'avec la direction du diamètre AB , et représente évidemment , dans le cas de Y ellipse et de Yhyperbole , le rapport inverse du carré de ce diamètre à celui qui lui est conjugué.

4o. Dans le cas particulier de la parabole 1 les mêmes choses n'ont plus lieu , à cause que Tune des extrémités 7 B par exemple , du diamètre AB passe nécessairement à l'infini avec le centre de la courbe j la relation de l'art. 35 devient simplement alors 7 en observant que les segmens BQ et BO qui partent du sommet B ont pour rapport l'unité ?

OMa PQ*

OA ~ QA 5 d'où l'on tire

OW=p.0A,

p étant encore un quantité constante pour un même diamètre 7 et qui a évidemment une signification tout autre que celle qu'on lui a attribuée ci - dessus 9 puisqu'ici c'est une ligne appelée paramètre 1 et non plus simplement un nombre.

4 1 • Dans tous les cas , et quelle que soit la nature particulière de la courbe ,

on obtiendra très-facilement la valeur de la constante p , au moyen d'une seule

ordonnée OM et du segment ou des segmens qui lui correspondent sur le

, diamètre AB } de sorte que , sans s'inquiéter si cette courbe est de telle ou

SECTION I. CHAPITRE Ier. 21

telle espèce ^ on pourra la construire entièrement au moyen de ces seules données , et être sûr par conséquent que c'est une section conique. Or , il en résulte cette conséquence générale , qu'il nous était indispensable d'établir pour ce qui suit : La projection et une section conique quelconque sur un plan arbitraire est encore une section conique.

H est viable 1 en effet , que la projection d'une section conique quelconque sur un plan devra jouir de la propriété générale de l'art. 34 j puisqu'elle est projective^ et par suite de toutes celles qui viennent d'être établies dans ce qui précède ? et qui sont la conséquence de celle-là 5 mais les dernières de ces propriétés sont aptes à décrire la courbe, et ne peuvent décrire que des sections coniques sous les mêmes données ; donc la projection d'une section conique est nécessairement aussi une section conique.

4a. Au reste 7 on déduirait avec la même facilité 7 de ce qui précède , les propriétés de similitude des sections coniques en général. A cet effet, nous ferons observer que , pour que deux courbes quelconques soient semblables , il faut qn'on puisse les considérer 7 l'une et l'autre , comme les limites de polygones semblables d'un nombre infini des côtés infiniment petits. Mais, d'après la théorie de ces sortes de figures , pour que deux polygones soient semblables 7 il est nécessaire et il suffit qu'on puisse les décrire , Fun et l'autre , sous des données et par des constructions elles-mêmes semblables ? c'est-àdire telles que les parties qui les composent appartiennent à des figures semblables 5 ce qui exige simplement que les distances homologues y soient proportionnelles et fassent les mêmes angles de part et d'autre 5 donc , pour que deux courbes quelconques soient semblables , il est nécessaire et il suffit que les mêmes conditions soient remplies 5 c'est-à-dire que7 ces conditions ayant lieu 7 toutes les autres lignes homologues seront 7 par là même , proportionnelles, et formeront les mêmes angles dans les deux courbes (*) : ainsi , par exemple , on pourra inscrire et circonscrire à l'une d'elles des polygones semblables à ceux qui sont inscrits et circonscrits à l'autre , etc.

43. Pour en venir maintenant à notre objet 7 nous remarquerons que, d'après ce qui précède 7 pour que deux sections coniques soient semblables 7 il faut d'abord qu'elles soient de même espèce ; que de plus 7 en traçant dans

(*) Si, de plus, les droites homologues sont parallèles dans les figures élémentaires qui construisent les proposées , la même chose aura lieu dans celle-ci; en sorte qu'elles ne seront plus simplement semblables , mais semblables et semblablement placées entre elles.

aa PROPRIÉTÉS PROJECTIVES.

Tune et dans l'autre deux diamètres homologues, que je nomme (AB) et (AI?) , les conjugués à ces diamètres , ou , plus généralement , les directions de cordes que ces diamètres divisent respectivement en parties égales, fassent avec eux le même angle de part et d'autre , car ces directions sont parallèles à celles des tangentes aux extrémités des diamètres (AB), (Al)'), lesquelles sont évidemment homologues. En second lieu , si Ton prend à chaque instant sur ces diamètres des points (0) et (Q*) qui les divisent en segmens proportionnels, ou qui soient entre eux dans le rapport de (AB) à (AD'), il faudra que les ordonnées ou demi-cordes correspondantes (OM) et (OM') soient aussi entre elles dans le même rapport ; car alors la construction des deux courbes (40 sera exactement ce que nous avons appelé semblable de part et d'autre , et ces courbes , par conséquent , seront elles-mêmes semblables. Mais , puisque ce sont des sections coniques, on a en général (39)

ÔM» = p.OA-OB ,

OM* = j/.O'A'-O'B' ; d'où

OM

p.OA- OB

O'M'* p'.O'A'-O'B' D'un autre côté, on a, par hypothèse,

OA OB AB O'A' ~ O'B' ~ A'B' 5 donc

OM' p.K& .

(MT ~ p'M'* '

par où l'on voit que les ordonnées OM , OTVT ne peuvent être entre elles dans le rapport de AB et A'B;, à moins que les constantes p et jf qui leur appartiennent ne soient égales.

Réciproquement , si cela est , et qu'en même temps les autres conditions qui précèdent soient remplies , les ordonnées correspondantes à des segmens proportionnels aux diamètres AB et A'B' seront elles-mêmes proportionnelles à ces diamètres , et les constructions des deux courbes seront semblables : c'està-dire que «

SECTION I. CHAPITRE Ier. *3

Deux sections coniques (ellipses ou hyperboles) sont semblables , quand les cordes, conjuguées à deux diamètres de ces courbes forment , de part et d'autre , le même angle avec ces diamètres , et que , de plus , la constante p qui correspond à ces diamètres est aussi la même ^ou, en d'autres termes , quand ces diamètres sont entre eux comme leurs conjugués (*). 44* Dans le cas particulier où les sections coniques sont des paraboles, les diamètres AB et A'B' deviennent infinis , et les raisonnemens qui- précèdent n'ont plus lieu 5 mais , si Ton choisit , dans deux paraboles quelconques , deux diamètres qui fassent le même angle avec leurs cordes conjuguées 1 ce qui est possible d'une infinité de manières , puis qu'on prenne , sur ces diamètres , des abscisses AO , A'O' qui soient dans le rapport des paramètres p et pf qui leur correspondent respectivement, on aura (4o)

OÙ'* ~~ f/.OA' ~ p" '

c'est-à-dire que les ordonnées OM , OW seront elles-mêmes dans ce rapport 5 d'où il suit par conséquent que les courbes sont semblables : ainsi '

Deux paraboles quelconques sont deux courbes semblables.

45. C'est sur ce petit nombre de principes, déjà connus, que nous nous proposons d'établir, dans ce qui suit, les diverses propositions qui doivent former la base de cet ouvrage.

On remarquera, au surplus, que les considérations générales d'où nous avons déduit ces principes ne concernent proprement que les relations projectives qui ont lieu entre les longueurs ou distances qui lient entre elles les différentes parties d'une même figure 5 mais on pourrait obtenir aisément des résultats analogues pour les relations entre les aires des triangles.

Soit, en effet, ABC (Fig. 1) un triangle quelconque appartenant à la figure proposée , et AfB'Cf sa projection $ d'après un théorème connu de la Géométrie élémentaire , analogue à celui déjà cité (9) pour la simple projection des distances , les solidités des pyramides SABC , SA'B'C sont entre elles dans le

(*) Si, de plus, les deux courbes avaient leurs diamètres conjugués parallèles, elles seraient (4a., note) semblables et semblablement placées entre elles, en sorte que leurs axes principaux, leurs asymptotes, etc. seraient également parallèles. On démontrerait d'ailleurs aisément que deux hyperboles quelconques , comprises dans le même angle d'asymptotes, sont nécessairement des courbes semblables de grandeur et de position.

a4 PROPRIÉTÉS PROJECTIVES.

rapport des produits des trois arêtes qui comprennent l'angle solide commun S , et par conséquent le rapport de la solidité de chaque pyramide au produit des trois arêtes correspondantes est un nombre constant.

Nommant donc -z ce rapport , invariable pour un même angle solide S , et a, 6, c les trois arêtes ou projetantes SA, SB, SC, la solidité de la pyramide SABC sera égale k -.a.b.c. D'un autre côté, en nommant P la hauteur de cette pyramide , ou la perpendiculaire abaissée du centre de projection S sur le plan du triangle de base ABC , cette solidité a aussi pour expression -y P. surf. ABC } donc

Surf. ABC = m. —^— — ;

formule entièrement analogue à celle trouvée ci-dessus (9) pour les simples distances, et qui donne lieu aux mêmes remarques relativement à la projection des aires. C'est-à-dire que , si dans une relation quelconque entre les aires triangulaires d'une certaine figure , on substitue , à la place de chaque triangle qui y entre , l'expression ci-dessus qui lui correspond , et qu'il arrive que les lettres a, b , c, P disparaissent d'elles-mêmes du résultat de la substitution , cette relation sera nécessairement projective de sa nature , et appartiendra à toutes les figures qui pourront être censées la projection de la première.

46. De là on pourrait déduire beaucoup de conséquences relatives aux aires de certaines figures } mais , quoique cet examen se rattache immédiatement à notre sujet , nous croyons devoir nous borner simplement , dans ce travail , aux relations projectives concernant les distances et la direction indéfinie des lignée, qui offrent par elles-mêmes un assez vaste sujet de recherches.

Au surplus, il est essentiel de remarquer que l'analogie que nous avons reconnue (18 et 19) entre les figures situées dans l'espace ou sur un plan et celles tracées sur une sphère , ne subsiste plus quand on ne considère que les relations d'aires qui sont projectives, bien qu'alors même ces relations aient encore lieu entre les quantités constantes 7», m'... 5 car chacune de ces constantes n'a plus de rapport déterminé (*) avec l'ouverture de l'angle solide correspondant , ou avec l'aire du triangle sphèrique qui lui sert de mesure.

( * ) En effet , la quantité m représente alors le double produit du sinus de l'angle de deux arêtes ou projetantes quelconques, par le sinus de l'angle que leur plan Eut avec l'arête opposée. Voyez un mémoire de Lagrange , inséré dans le VIe. cahier du Journal de PEcole Polytechnique*

SECTION I. CHAPITRE Ier. s5

47 . On doit aussi remarquer que la relation ci-dessus (45) , de même que celle de Fart. 9 , relative à la projection des simples distances , n'est applicable qu'au cas où Ton suppose la projection centrale } car , dans la projection orthogonale et dans la projection oblique sous un angle donné , les projetantes étant parallèles et le centre de projection par conséquent à l'infini , ces relations deviennent insignifiantes , et prennent la forme indéterminée | • On peut alors les remplacer par les relations suivantes

AB = m. AU',

Surf. ABC = m. Surf- AW ,

dans lesquelles la lettre m représente le rapport des sinus des angles que forment respectivement , avec la direction d'une projetante quelconque, d'une part les droites AU' et AB, d'une autre les plans ATB'C et ABC. Mais, notre intention n'étant que de nous occuper des rapports les plus généraux des figures, d'où découlent immédiatement tous les autres comme simples corollaires, ces considérations sur les projections orthogonale et oblique deviennent) en quelque sorte, étrangères à l'objet véritable de ces recherches.

Dans ce qui précède , nous avons exposé les diverses notions à l'aide desquelles on peut reconnaître , au simple énoncé , si une figure et une relation donnée qui la concerne sont projectives 5 il nous resterait , pour compléter cet objet , à établir les principaux théorèmes de projection qui servent à modifier les figures suivant certaines conditions particulières , et à faire découvrir quelle est la nature de ces modifications et dans quel cas elles sont possibles j mais la démonstration de la plupart de ces théorèmes repose nécessairement sur quelques notions , non encore reçues des géomètres , concernant les changement qui s'opèrent dans certaines Jigures , quand une ou plusieurs de leurs parties cessent d'avoir une existence absolue et réelle } c'est pourquoi nous allons exposer , dans le chapitre suivant , ces diverses notions , en en déduisant , par occasion , quelques corollaires relatifs au cas particulier du cercle , corollaires qu'on pourra, au surplus, considérer comme des espèces de lemmes pour la partie des applications.

36 PROPRIÉTÉS PROJECTWES.