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Ces dernières relations nous seront utiles pour la partie des applications où nous aurons à faire connaître quelques-unes des propriétés du point 0. On remarquera , au surplus , qu'elles ne sauraient appartenir aux projections de la

SECTION I. CHAPITRE Ier. i7

figure , attendu que , pour ces projections , le point 0 cesse , en général , d'être le milieu de la distance CD*

3a. Nous croyons superflu de donner d'autres exemples de relations projectives $ leur nombre , en se bornant même à celles qui sont relatives aux segmens formés par difFérens points rangés sur une même droite , n'est pas aussi restreint qu'on pourrait le croire au premier abord 5 et chacune d'elles donnerait lieu à des observations aussi intéressantes que celles qui viennent d'être faites sur la proportion harmonique.

La plupart de ces relations paraissent d'ailleurs avoir été connues des anciens qui en étudiaient les transformations sous le titre de Lemmes $ c'est ce qu'on peut voir r entre autres , par le VIIe. livre des Collections Mathématiques de Pappus. Mais les anciens ne s'étaient pas bornés simplement aux relations projectives, ils avaient étendu leurs recherches à toutes sortes de relations entre les distances de divers points rangés sur une même droite ; et cette partie de leurs travaux , alors si pleine d'intérêt et aujourd'hui si négligée par suite des progrès du calcul algébrique , formait à elle seule la moitié de leurs écrits géométriques , dont elle était la base essentielle.

Nous pensons que c'est dans ces sortes de Lemmes , qui correspondent parfaitement à nos transformations algébriques , que consistait principalement l'avantage de V Analyse géométrique des Grecs. Tel est , par exemple , ce lemme qu'on retrouve encore dans tous les élémens de nos jours : « le carré fait » sur la somme ou la différence de deux lignes égale le carré de la première , » plus le carré de la seconde , plus ou moins le double du rectangle de l'une » par l'autre. »

Jl est évident qu'il ne fallait plus qu'un pas pour passer de là au calcul algébrique lui-même. Mais les Grecs n'employaient presqu'exclusivement que le mécanisme des proportions pour opérer ces sortes de transformations , et , quoiqu'ils s'y fussent rendus très-habiles, ils n'avaient pas créé d'algorithme général et de règles fixes j aussi sont-ils restés fort au-dessous des modernes.

33. Avant de terminer ce sujet, nous donnerons , dès-à-présent, une idée de la facilité avec laquelle les principes qui précèdent peuvent conduire aux diverses propriétés connues des sections coniques , d'autant plus que presque toutes ces propriétés nous seront indispensables pour ce que nous aurons à dire dans les chapitres suivans.

Je commence par établir ce beau théorème , qui n'est , comme on le verra plus tard , qu'un cas particulier d'un autre beaucoup plus général dû à l'illustre auteur de la Géométrie de position. 3

>34- Soit ABC (Fig. 3) un triangle quelconque, situé sur le plan d'une section conique , et dont les côtés AB ? BC 7 AC ^ ou leurs prolongemens 9 sont rencontrés en P et P^ Q et Q'7 R et R' respectivement par cette courbe; je dis qiCon aura

AP-AP' • BQ-BQ' • CR-CR'=BP-BP' ? CQ-CQ' • AR-AR'.

En effet , cette relation est, de sa nature , projective 7 et satisfait aux conditions particulières de Part. 20 5 de plus 7 elle se vérifie aisément pour le cas du cercle , au moyen de la propriété connue des sécantes ; elle a donc lieu pour une section conique quelconque 7 dont le cercle peut être censé la projection.

35. Supposons que les côtés AB et AC, de concourans qu'ils étaient 7 deviennent parallèles (Fig. 4)j Ie sommet A passera à l'infini, et les segmeûs qui lui correspondent pourront être considérés comme égaux (28) } donc la relation ci-dessus se changera en cette autre

BQ-BQ' • CR-CR'=BP-BP' • CQ-CQ% ou

BP-BP' CR-CR' m BQ-BQ' — CQCQ' '

c'est-à-dire que le produit des ordonnées BP , BF est à celui des abscisses correspondantes BQ , BQr dans un rapport constant pour toutes les pœrallèles à AB : propriété très-anciennement connue' des sections coniques , et qui subsiste , ainsi que la précédente , quand on remplace la courbe par le système de deux lignes droites quelconques.

36. Supposons encore que le triangle ABC (Kg. 5) , au lieu d'avoir des côtés parallèles , soit circonscrit à la section conique , et la touche aux points P, Q 7 R 7 la relation ci-dessus ( 34 ) deviendra évidemment 7 à cause que les points P et P' , Q et Q' , R et R' (Fig. 3) se seront respectivement confondus en un seul ,

AP-BQ-CR=BP-CQ-AR,

laquelle exprime une autre propriété très-remarquable des sections coniques également due à M. Carnot.

37. Supposons 7 de plus, maintenant que le côté BC du triangle circonscrit soit mené parallèlement à la corde de contact PR de l'angle opposé A7 c'est-à-dire à la droite qui joint les points de contact des côtés de cet angle 7 on aura