VA OA O'B — OB

Or il résulte de ces définitions des pointe 0 et 0',' que ces points peuvent se construire indépendamment des points M et N , et subsistent par conséquent dans tous les cas possibles , même quand la droite mn est extérieure à la courbe.

Cela paraît d'abord évident , à priori , pour le premier de ces points j et cela ne l'est pas moins pour le second , comme on va le voir par ce qui suit.

Supposons , en effet , que la droite mn se transporte en rriri extérieurement à la courbe \ soit 0' le point où la rencontre , dans cette nouvelle position , la direction indéfinie du diamètre AB qui renferme le milieu des cordes parallèles à min1 $ supposons que , du point 0', on mène deux tangentes 0TV1 , O'N à la courbe , elles seront évidemment possibles pour le cas actuel , et viendront déterminer deux points de contact M , N et une corde correspondante MN dont la direction , nécessairement conjuguée à celle du diamètre AB , sera parallèle à min1 et rencontrera ce diamètre au point 0 demandé 5 car on

(*) Désormais nous indiquerons , presque toujours 9 ainsi une section conique par la lettre de son centre 9 placée entre parenthèses ; et nous pourrons en agir de même à Pégard de courbes quelconques, en substituant à la lettre du centre celle de quelque point remarquable.

SECTION I. CHAPITRE II. a7

aura évidemment (38) , entre les points 0 , 0', la relation harmonique dont il a été question ci-dessus.

49. On voit qu'il existe entre les droites mn , rriri et les points 0 , Of qui leur correspondent à la fois , une relation extrêmement remarquable , et qui est telle que, quand l'une de ces choses est donnée, les trois autres s'en suivent nécessairement. A cause de la nature particulière de cette relation , on pourrait dire que ces droites et ces points sont conjugués harmoniques relativement à la direction commune du diamètre AB } définition qui , au reste , s'accorde avec celle déjà donnée (^3) à l'occasion de la division harmonique des lignes. Quoi qu'il en soit , les points 0 et 0' , considérés comme appartenans à la droite mn , subsistant indépendamment de la réalité ou de la non réalité des intersections M , N de cette droite et de la courbe , il n'y a aucune raison de les négliger plutôt dans un cas que dans l'autre, non plus que cette droite ellemême , puisqu'en devenant extérieure à la courbe , elle ne cesse pas de conserver certaines dépendances avec elle.

Le point O7 jouit, en particulier, d'un grand nombre de propriétés curieuses , par rapport à la droite dont il s'agit et à la section conique ; sa considération est très-importante dans les recherches , et c'est à cause d'une de ces propriétés qu'il a reçu des géomètres le nom de pôle de cette droite , tandis que celle-ci a été appelée , à l'inverse , la polaire du point 0'.

5o. Ces dénominations sont , sans contredit , fort simples , et nous pourrons en faire usage , sans d'ailleurs nous attacher , quant à présent , à l'idée qu'entraîne , d'après leur acception ordinaire , les mots de pôle et polaire. Mais aussi, en supposant qu'on. ne veuille pas créer des termes nouveaux pour désigner la droite mn et ce qui lui appartient , et qu'on persiste à la regarder comme une sécante de la courbe quand elle cesse de la rencontrer, nous dirons , afin de conserver l'analogie entre les idées et le langage , que ses points d'intersection avec la courbe , et par conséquent la corde correspondante , sont imaginaires , qu'elle est elle-même sécante idéale de cette courbe } et nous la distinguerons ainsi de toute ligne droite entièrement inconstructible dans son cours et sa direction , laquelle conservera d'ailleurs la dénomination , déjà admise, de droite imaginaire.

5 1 . Par suite de ces premières définitions , et en supposant que Ton considère la droite indéfinie rriri extérieure à la courbe (C) , droite qui , d'après ce qui précède, est sécante idéale de cette courbe, nous dirons aussi que le point 0' est le centre idéal de la corde imaginaire que détermine rriri \ et

28 PROPRIÉTÉS PROJECTIVES.

le point 0 le concours idéal des tangentes imaginaires qui correspondent aux extrémités de cette corde , laquelle prend d'ailleurs (37) le nom de corde de contact relativement au point 0 5 enfin la droite rriri sera elle-même la sécante idéale de contact par rapport à ce point.

5a. Pour concevoir l'objet de ces définitions, il suffit de supposer que la section conique que Ton considère ne soit pas décrite , mais seulement donnée par certaines conditions, et qu'alors on se propose de rechercher, soit les points où elle est rencontrée par la droite réelle tracée sur son plan , soit tout autre objet qui en dépende 5 car on ignore alors si les uns ou les autres sont ou non possibles , et il est naturel de persister , dans tous les cas , à regarder cette ligne droite comme une sécante véritable de la courbe , et par conséquent de la traiter comme telle dans le raisonnement géométrique qui sert à faire découvrir les objets qu'on cherche.

53. En général on pourrait désigner par l'adjectif imaginaire tout objet qui, d'absolu et réel qu'il était dans une certaine figure, serait devenu entièrement impossible ou inconstructible dans la figure corrélative : « Celle qui » est censée provenir de la première par le mouvement progressif et continu de » quelques parties , sans violer les lois primitives du système 5 » l'épithète idéal servirait à désigner le mode particulier d'existence d'un objet qui , en demeurant au contraire réel dans la transformation de la figure primitive , cesserait cependant de dépendre d'une manière absolue et réelle d'autres objets qui le définissent graphiquement , parce que ces objets seraient devenus imaginaires. Car , de même qu'on a déjà en Géométrie des noms pour exprimer les divers modes d'existence qu'on veut comparer , tels que infiniment petits , infiniment grands , il faut aussi en avoir pour exprimer ceux de la non existence , afin de donner de la justesse et de la précision à la langue du raisonnement géométrique.

Ces définitions ont , sur toutes celles qu'on pourrait leur substituer , l'avantage de pouvoir s'étendre directement à des points , des lignes et des furfàces quelconques $ elles ne sont d'ailleurs ni indifférentes , ni inutiles en elles-mêmes 5 elles servent à abréger le discours et à étendre l'objet des conceptions géométriques 5 enfin elles permettent d'établir un point de contact , sinon toujours réel , au moins, fictif, entre des figures qui paraissent , au premier aspect , n'avoir aucun rapport entre elles , et de découvrir sans peine les relations et les propriétés qui leur sont communes.

54. Pour poursuivre l'objet de ces premières définitions , supposons qu'ayant

déterminé le diamètre AB (Fig. 6) de la section conique, qui est conjugué à la direction de la sécante idéale rriri , et divise par conséquent en deux parties égales toutes les cordes qui lui sont parallèles , on prenne , sur rriri , deux points M' et N' satisfaisant à la relation

OfM'a=^.0'A-(yB,

identique avec celle qui définit les points M et N suivant lesquels la sécante mn , parallèle à la première , rencontre réellement la section conique (39) , pourvu toutefois qu'on n'ait point égard à la différence de situation des lignes (*) } on obtiendra une longueur M'N' , divisée également au point 0' , et qu'on pourra regarder comme représentant , d'une manière fictive , la corde imaginaire qui correspond .à la droite rriri considérée comme sécante de la courbe. Cela posé , si l'on appelle cette distance corde idéale de la section conique proposée , et qu'on construise toutes celles qui lui sont parallèles , leurs extrémités formeront évidemment une autre section conique , qui aura même diamètre de contact AB, même constante p , et par conséquent même grandeur et même% direction de diamètre {réel ou idéal) DE conjugué à AB.

La section conique ainsi construite sera évidemment une hyperbole ou une ellipse , selon que l'autre sera , au contraire , une ellipse ou une hyperbole } elle sera d'ailleurs une parabole , en même temps que la proposée , ayant même diamètre qu'elle avec même paramètre et même tangente au sommet commun parallèle à la direction donnée. Enfin , quand l'une des deux courbes est un cercle , l'autre est une hyperbole équilatère , dont le diamètre de contact est perpendiculaire à la direction donnée rriri. Dans tous les cas , si l'une des deux courbes devient infiniment petite en demeurant semblable à elle-même , c'està-dire, si elle se réduit à un point, la supplémentaire se réduira elle-même à deux lignes droites confondues avec les asymptotes , et vice versa.

Désormais nous dirons de deux sections coniques , ainsi conjuguées , qu'elles sont supplémentaires l'une de l'autre par rapport à la direction de la droite que l'on considère 5 parce qu'en effet l'une quelconque d'entre elles répond aux questions faites sur l'autre dans le sens qui vient d'être indiqué.

55. Il est à remarquer, au surplus, qu'une même section conique a une

(*) En effet, cette différence de situation entraîne le changement de signe du segment CKB, ce qui rend la relation ci-dessus impossible pour les positions de ni ri extérieures - à la courbe ; c'est-à-dire que les ordonnées correspondantes de la courbe deviennent ellesmêmes impossibles ou imaginaires*

3o PROPRIÉTÉS PROJECT1VES.

infinité de supplémentaires , correspondant à l'infinité de systèmes de diamètres conjugués qui lui appartiennent 5 mais,, parmi cette infinité de supplémentaires , il n'y en a jamais qu'une seule qui corresponde à une direction donnée mn , parce que nous n'admettons que celle dont le diamètre réel AB , ou le diamètre du contact , divise en deux parties égales les cordes de la proposée qui sont parallèles à cette même direction.

Ainsi , quand une ligne droite rriri est extérieure à une section conique donnée quelconque (C) , il y a toujours une autre section conique supplémentaire de la proposée relativement à la direction de cette droite , laquelle intercepte sur elle une distance réelle M'N' qui est la corde idéale de la première. Il est évident , en outre , qu'à la même droite rriri correspondent le même centre 0' et le même pôle 0 dans l'une et l'autre courbes (48) 5 en sorte que ce dernier est à la fois le point de concours idéal des deux tangentes qui appartiennent à la droite rriri et à la section conique proposée , et le point de concours réel de celles qui appartiennent à cette même droite et à la supplémentaire de cette section conique. La même chose a lieu évidemment pour le point 0f et la sécante mn qui lui est conjuguée.

56. Considérons maintenant le système de deux sections coniques quelconques tracées sur un plan } si elles ont une sécante ou corde réellement commune , il est évident i°. que les diamètres conjugués à sa direction dans Tune et l'autre courbe iront la rencontrer en un même point, centre de la corde en question ; 20. que , si l'on appelle 0 ce point , AB et AfB' les diamètres qui lui correspondent , enfin p et p1 les constantes qui appartiennent à ces diamètres (39), on aura