OA-OB = />'.0A'-0B

Ces deux conditions sont nécessaires et suffisent évidemment pour déterminer toutes les cordes ou sécantes commîmes à deux sections coniques quelconques tracées sur un plan 5 mais elles n'appartiennent pas aux seules cordes réellement communes à ces courbes, elles peuvent aussi appartenir à des droites qui leur seraient entièrement extérieures 5 il suffit en effet , d'après ce qui précède , pour que cela ait lieu , que la direction de chacune d'elles soit celle d'une corde réellement commune aux supplémentaires des sections coniques proposées relativement à cette direction : ce qu'on peut exprimer en disant que la droite correspondante doit être une sécante ou corde idéale commune à ces sections coniques.

SECTION I. CHAPITRE II. 3i

57. La question actuelle consiste à savoir si deux sections coniques (C) et (C), Fig. 7, tracées sur un plan, ont effectivement, pour des positions générales , des cordes communes idéales remplissant les conditions qui précèdent.

Pour parvenir à la résoudre , nous remarquerons d'abord qu'il y a sur le plan des deux courbes (C) et (C) une infinité de points 0 et de droites correspondantes mn , qui satisfont à la première de ces conditions. En effet , pour obtenir un système semblable , il suffit évidemment de mener, dans une direction quelconque , des tangentes , parallèles entre elles , aux deux courbes } de tracer ensuite les diamètres AB et AB', qui passent respectivement par leurs points de contact 5 car le point 0 de leur intersection commune sera le point demandé , et la droite mn , menée de ce point dans ime direction parallèle aux tangentes, sera la droite qui lui correspond. Tous les points 0, ainsi obtenus , sont sur une certaine courbe , et cette courbe passe évidemment par Pun et l'autre centres C , G des proposées (*).

Les dernières conditions exigent, en outre, qu'ayant tracé les coniques supplémentaires aux proposées , qui correspondent à la droite mn déterminée ainsi que nous venons de le dire , les parties MN , M'N' , interceptées sur cette droite parj l'une et l'autre courbes , soient égales entre elles , ou , ce qui revient au même , que OM soit égal à OM'. Cette condition ne sera évidemment pas remplie pour une position quelconque de la droite mp ; mais , si , pour chacune des situations qu'elle peut prendre , on détermine le point M correspondant à la courbe (C) , et celui M' qui correspond à la courbe (G) 5 chacun de ces points engendrera évidemment une courbe particulière , et ces courbes indiqueront , par leurs intersections mutuelles , les positions des points générateurs M et M' pour lesquelles ils se confondent , et pour lesquelles par conséquent les parties ou ordonnées OM et OM' sont égales, et les droites correspondantes mn des sécantes idéales commîmes aux deux sections coniques proposées.

Nous pourrions arrêter ici l'examen qui nous occupe , car il est visible que les courbes (M) et (M') , n'ayant entre elles qu'une dépendance générale , doivent aussi , en général , se couper selon la position relative des sections co-

(*) Pour démontrer cette assertion, il suffit d'observer que, quand le diamètre AB, par exemple , a atteint la position CC , celui A'B' qui lui correspond , et qui renferme jivec lui le point O , le rencontre nécessairement au centre G lui-même.

3a PROPRIÉTÉS PROJECTIVES.

niques (C) et (C) 5 mais , pour ne rien laisser à désirer , nous allons faire voir , par l'examen d'un cas très-étendu, qu'en effet les courbes (M) et (W) sont susceptibles de s'entrecouper d'une manière réelle , et par conséquent de donner des cordes idéales commîmes à celles (C) et (G).

58. Prenons , pour exemple général , le système de deux ellipses (C) et (C1) , de grandeur et de situation arbitraires , mais pourtant telles qu'elles soient entièrement extérieures Tune à l'autre. La courbe parcourue par le point 0, passant nécessairement (57 note) par les centres C et Cf des deux ellipses , aura une partie de son cours entièrement au-dehors de ces ellipses , et il existera une infinité de positions correspondantes de la droite mn , pour lesquelles elle sera tout à fait extérieure à ces mêmes courbes.

Cela posé , considérons , comme ci-dessus , les deux coniques supplémentaires qui correspondent à une telle position de la droite mn ; il est évident qu'on aura démontré que le point M se confond , pour une certaine position de mn , avec le point M' , et par conséquent le point N avec le point Nr , si l'on parvient à prouver que , parmi toutes les grandeurs que peut prendre la corde MN , il y en a deux telles que l'une soit plus grande et l'autre plus petite que celle de M'N' qui leur ^correspond $ car , à cause de la loi de . continuité^ il y aura nécessairement une position intermédiaire où ces cordœ seront parfaitement égales. Or, si l'on suppose que, dans la situation actuelle des hyperboles supplémentaires , MN soit plus grand que M'N' , il ne sera pas difficile de s'apercevoir qu'il existe une autre position du système, pour laquelle la corde MN devient nulle , et par conséquent où les points M et N se réunissent au point 0. En effet, cette circonstance arrivera nécessairement lorsque le point 0 se trouvera sur l'ellipse correspondante (C) , en sorte qu'il suffit de démontrer que la courbe des points 0 rencontre effectivement cette ellipse : mais c'est ce qui a lieu précisément dans la supposition actuelle 5 car la courbe (0) passant par les centres C et C , et les ellipses étant entièrement extérieures Fune à l'autre , le point 0 doit nécessairement les traverser, toutes deux, par un mouvement continu.

Donc , en effet , il existe une position du point 0 pour laquelle la corde MN est plus grande , et une autre pour laquelle cette corde est plus petite que sa correspondante M'N' 5 ce qui ne peut avoir lieu qu'autant qu'il existe une position intermédiaire où ces cordes sont parfaitement égales , et se confondent par conséquent en une seule , qui devient ainsi une corde idéale commune aux deux ellipses proposées.

69. La courbe des points 0 rencontrant nécessairement chacune de celles (C) et (G) au moins en deux points réels , puisque , après être entrée dans leur intérieur et avoir passé par leurs centres respectifs , elle doit nécessairement en ressortir , on pourrait prouver , en suivant l'esprit des raisonnemens que nous venons de mettre en usage , que les deux sections coniques dont il s'agit ont une autre corde idéale commune différente de celle qui précède. Enfin il ne serait pas difficile de constater l'existence de semblables cordes pour d'autres circonstances également étendues } mais il suffit 1 pour notre objet actuel , d'avoir prouvé la chose d'une manière générale et , en quelque sorte, indéterminée , et d'avoir fait connaître même les moyens propres à construire ces cordes graphiquement dans tous les cas possibles.

En effet , dans la discussion qui précède , nous n'avons attribué aucune grandeur absolue ou fixe aux parties qui déterminent la grandeur et la position du système ; la seule condition admise ne tient qu'à une limitation de la possibilité de résoudre le problème 1 et cette limitation laisse d'ailleurs tout arbitraire. La nature particulière supposée aux deux sections coniques ne détruit pas la généralité des raisonnemens 5 car ces raisonnemens en sont indépendans , et ils subsistent , pourvu qu'une partie de la courbe des points 0 soit à la fois au-dehors des deux sections coniques , quelle que soit d'ailleurs leur espèce } or cette condition laisse entièrement indéterminées , entre certaines limites, les grandeurs des parties du système.

Il en est ici évidemment comme dans l'Analyse algébrique elle-même , où Ton regarde une quantité , objet d'un problème , comme généralement possible , quand les conditions de sa réalité , dans les équations finales qui le déterminent , sont indépendantes de toute grandeur ou relation absolue et donnée , et que ces conditions laissent variables 7 entre certaines limites , les diverses quantités qui fixent le système.

Concluons donc que

Deux sections coniques , situées sur un même plan , ont , en général et pour des situations indéterminées , des cordes et des sécantes idéales communes , tout comme elles ont, pour de semblables situations, des points â? intersection réels et des cordes réelles également communes.

60. Pour faire entrevoir , à l'avance , Futilité que peut présenter la considération des cordes idéales , et , en même temps , pour faire sentir le but qu'on se propose en les admettant dans les recherches géométriques 7 nous présenterons , dès à présent , un exemple bien connu , où leur emploi peut paraître

34 PROPRIÉTÉS PROJECTIVES.

de quelque importance pour la solution d'une difficulté singulière , qui se présente assez souvent dans les applications de la Géométrie descriptive.

Quand on se propose de rechercher la courbe d'intersection de deux surfaces de révolution dont les axes sont dans un même plan, on arrive, comme Ton sait , à la construction suivante , pour déterminer un point quelconque de la projection de la courbe, sur le plan diamétral qui contient à la foi* les deux axes (*).

Soient SB, SB' (Fig. 8) les deux axes en question-, AMB, A1IW, ou (G) et (C), les deux courbes génératrices, situées Tune, et l'autre dans le plan commun des axes, courbes que nous supposons ici être toutes deux des ellipses ; du point d'intersection S de ces axes , comme centre , soit décrite à volonté une circonférence de cercle rencontrant à la fois les deux courbes j soit tracée , pour chacune d'elles, la corde MN ou M'N' qui lui est commune avec ce cercle , le point I de l'intersection mutuelle des deux cordes , ainsi obtenues , appartiendra à la projection de la courbe de pénétration des deux surfaces sur le plan commun des axes.

• Cette construction s'applique très-bien à tous les: points de la courbe qui sont situés entre lés limites extrêmes où le cercle cesse de rencontrer à la fois les ellipses génératrices , et , en cela , elle sert à donner tous ceux qui peuvent répondre à la commune intersection des deux surfaces que l'on considère £ mais elle est tout à fait inapplicable à ceux qui sont situés au-delà de ces mêmes limites 5 les points M et N , M' et N', où la circonférence coupe les deux génératrices , déviennent en effet, en tout ou en partie , imaginaires. (**)f

. (*) Voyez la Géométrie descriptive de Monge, art. 83, (ire, édit. )•

(**) M. Hachette a déjà fait des remarques semblables pour les cas particuliers où l'on considère la pénétration mutuelle d'une surface cylindrique droite arec une autre surface cylindrique pareille ou avec une sphère (Correspondance Polytechnique , tom.III, p. 197)* Il résout la difficulté en employant l'Analyse des coordonnées, qui lui donne, en effet, un moyen simple de prolonger la projection de la courbe de pénétration des deux surfaces au-delà des limites où cette courbe devient imaginaire.

Nous avions depuis long-temps fait la même remarque pour le cas général où la projection de la courbe d'intersection de deux surfaces quelconques s'abaisse à un degré moitié , sans se décomposer. C'est l'examen de la difficulté qui en résulte qui nous s conduits, en partie , à la recherche du système d'interprétation que nous venons de mettre en usage pour les sections coniques.

Depuis, nous avons eu occasion de voir que M. Vallée (Traité de la Géométrie descriptive, p. 204) a présenté, au sujet du cas particulier qui vient de nous occuper, des ré-

À ne consulter que la manière ordinaire de voir en Géométrie , il semblerait naturel de penser que la génération de la courbe ne s'étend pas au-delà des limites que nous venons de reconnaître , et qu'ainsi cette génération ne serait pas sujette à la loi de continuité , qui subsiste dans toutes les courbes géométriques • mais ce serait une véritable erreur que de le supposer , erreur qui serait contraire aux notions et aux résultats les plus certains de l'Analyse algébrique : on trouve en effet 1 par les procédés qui lui sont propres , que la courbe des points I s'étend à l'infini par une loi continue , et qu'en particulier c'est une hyperbole, quand les axes de révolution SB, S'B' sont en même temps des axes principaux des ellipses méridiennes.

61. Ce paradoxe géométrique disparait dès l'instant ou l'on admet, ainsi qu'il est naturel de le faire , que les sécantes communes MN , M'Nf , qui d'abord étaient réelles et absolues , se sont changées en des sécantes communes purement idéales , jouissant d'ailleurs des mêmes caractères quant à l'objet qu'on se propose. Il résuite, en effet, des principes qui précèdent, que ces sécantes pourront subsister et se construire , même quand le cercle auxiliaire en question ne rencontrera plus les courbes génératrices , ou , si l'on veut , les rencontrera en des points imaginaires.

Supposons, par exemple, le cas déjà cité où les droites AB, A'B' sont les axes principaux de deux ellipses j ayant décrit , à volonté , une circonférence de cercle qui ne rencontre ni l'une ni l'autre de ces courbes , pour trouver , malgré cela , les sécantes communes correspondantes , qui seront nécessairement idéales , on tracera (54) pour chaque ellipse , pour celle (C) par exemple , la conique supplémentaire qui a mêmes axes qu'elle et AB pour diamètre de contact 5 on tracera pareillement l'hyperbole équilatère qui correspond au cercle auxiliaire et a le diamètre compris sur SB pour axe de contact $ cherchant ensuite celle des sécantes communes à ces supplémentaires qui est

flexions analogues aux nôtres , et qui tendent à prouver que la courbe des points I n'est pas limitée aux points extrêmes de la pénétration des surfaces données , puisque la construction s'étend naturellement au-delà de ces points ; mais M. Vallée n'a pas fait attention que cette construction avait elle-même des limites, de sorte qu'elle ne donne pas effectivement tous les points de la courbe ; il aurait encore pu remarquer que la courbe demeurerait possible dans le cas même où les deux surfaces cesseraient tout-à-fait de s'entrecouper. Il est évident que la solution satisfaisante de ces difficultés ne peut se trouver que dans la théorie qui ▼ient d'être exposée, ou plutôt dans l'admission indéfinie de la continuité des lois géométriques.

36 PROPRIÉTÉS PROJECTIVES.

perpendiculaire à Taxe AB , ce sera évidemment (56) la sécante idéale commune au cercle auxiliaire et à Fellipse (C).

Une opération semblable donnerait celle qui correspond à la courbe (C% et le point où sa direction irait couper celle de la première serait nécessairement un de ceux du prolongement de la courbe des points I. Il est visible , en effet , que les points ainsi obtenus jouiront de la même propriété que les premiers : savoir que « si , de l'un quelconque d'entr'eux , on abaisse des per- » pendiculaires sur les diamètres AB et A'B', les rectangles des segmens qu'elles » y formeront seront toujours entre eux dans le même rapport (56). »

11 est à remarquer , au surplus , que la construction précédente donnerait simultanément deux sécantes idéales correspondantes à chaque courbe génératrice , et qu'ainsi leur pénétration mutuelle donnerait à la fois quatre points appartenant à la courbe cherchée.

62 . On voit , par cet exemple particulier , combien il devient nécessaire d'étendre le langage et les conceptions de la Géométrie ordinaire , et de les rapprocher de celles admises dans la Géométrie analytique. Vouloir repousser des expressions fondées sur des rapports exacts et rigoureux , quoique parfois purement figurés , pour leur substituer des noms insignifians , et qui ne rappellent que des caractères particuliers et insolites de l'objet défini $ éviter de se servir, dans le raisonnement géométrique , des expressions et des notions qui qualifient la non existence et la rappellent, ce serait véritablement refuser à la Géométrie rationnelle les seuls moyens qu'elle ait de suivre les progrès de l'Analyse, et d'interpréter, d'une manière satisfaisante, les conséquences des résultats souvent bizarres auxquels elle parvient.

Mais il est temps que nous revenions à l'objet véritable des discussions que nous avons un instant abandonnées ,. dans le dessein de répandre quelque jour sur la nature du sujet.

63. Supposons donc que la sécante, réelle ou idéale, commune au système de deux sections coniques tracées sur un même plan , et qui satisfait aux conditions ci-dessus prescrites (56) , au lieu d'être d'ailleurs quelconque , comme le supposent ces conditions , soit telle qu'elle ait même pôle dans l'une et l'autre courbe. Dans le premier cas , les deux sections coniques se toucheront (48 et 49) en deux pbints réels appartenans à cette droite r qui sera ainsi une sécante commune de contact , ou la réunion de deux sécantes réelles communes. Dans le second , les deux supplémentaires des sections coniques proposées , relativement à la direction de la sécante idéale , se toucheront évidemment en

deux points réels , situés également sur la direction de cette sécante , qui sera ainsi la réunion de deux sécantes idéales communes aux proposées , ou , si Ton veut, une sécante idéale de contact commune à ces courbes. Dans ce même cas , on peut dire aussi , par analogie , que les deux courbes ont un ' double contact idéal , ou se touchent en deux points imaginaires placés sur la sécante commune.

64* Au surplus , quelle que soit Pespèce de sécantes idéales communes que l'on considère , il résulte de ce qui précède qu'elles sont assujetties, dans leur détermination , aux mêmes conditions générales que les sécantes communes réelles , et qu'elles n'en diffèrent absolument que par leur situation à l'égard, des deux courbes 5 les unes et les autres forment naturellement avec ces courbes deux systèmes assujettis aux mêmes lois , en sorte qu'elles doivent jouir des mêmes propriétés et se comporter de la même manière dans les recherches ; c'est au moins ce qui résulte , à priori , de la loi de continuité 3 et ce que nous établirons , par la suite , d'une manière entièrement rigoureuse y en donnant des moyens assez simples de les construire , dans tous les cas possibles, par des procédés généraux et indépendans de leur nature particulière. Pour le moment , nous nous contenterons de démontrer leur commune origine dans le cône du second ordre 5 ou, plus exactement , dans le cône qui a pour base l'ellipse , la parabole ou l'hyperbole.

65. Supposons que l'on coupe une telle surface par deux plans quelconques, il en résultera (40 deux sections coniques, qui auront, en général, deux points réels communs , situés sur la droite d'intersection des deux plans , laquelle sera par conséquent , aussi en général , une sécante réelle commune à ces courbes et à celles qui proviendraient du rabattement de l'une d'elles, sur le plan de l'autre , autour de la droite d'intersection commune des deux plans. Or je dis que cette droite deviendra une sécante idéale commune y quand les deux courbes cesseront de s'entrecouper.

Soit , en effet , S (Fig. 9) le sommet du cône , et mn la droite en question 5 on prouve aisément (37) que les centres de toutes les cordes parallèles d'une surface conique du second ordre sont renfermés dans un même plan appelé diamétral , et qui renferme le sommet du cône 5 concevons donc le plan diamétral qui est conjugué à la direction de mn , et divise les cordes qui lui sont parallèles en deux parties égales, il coupera le cône suivant deux arêtes SA, SB , et les deux plans des sections que l'on y considère suivant deux droites AO, A'O, qui se rencontreront évidemment en un point 0 de mn , et dont

38 PROPRIÉTÉS PROJECTIVES.

les parties AB, AfBr> terminées aux arêtes SA, SB, seront les diamètres de ces deux sections , conjugués à la direction de la droite mn : or c'est la première des conditions que cette droite ait à remplir (56) , pour être sécante idéale commune aux sections coniques dont il s'agit.

Il faut , en outre , qu'on ait , p et pf étant les constantes qui appartiennent aux diamètres AB et A'B',

p.OA-OB = j/.OA'-OV 1

comme cela a lieu évidemment pour le cas où la droite mn rencontre à la fois les deux courbes. Mais on peut toujours déterminer, sur la surface du cône, deux sections (ah), (#'&') 9 parallèles et par conséquent semblables (*) aux premières , qui s'entrecoupent d'une manière réelle , et dans lesquelles la relation ci-desus aura naturellement lieu entre les lignes et les constantes correspondantes $ de plus ces constantes seront nécessairement (43) égales à celles p^jf des sections coniques (AB), (AT?) dont il s'agit, et d'ailleurs toutes les lignes sont respectivement proportionnelles de part et d'autre \ donc enfin Ton a effectivement la relation ci-dessus , et partant la droite mn est une sécante idéale commune aux deux courbes (AB) et (AT}' ) , comme il s'agissait de le démontrer.

66. On prouverait , d'une manière toute aussi simple , que réciproquement deux sections coniques , situées dans des plans difTérens, et qui ont Tintersection de ces plans pour sécante idéale commune, sont susceptibles d'appartenir à une même surface conique , tout comme cela aurait lieu évidem-»ment si cette droite était une sécante réelle commune $ or cela suffit pour prouver l'identité de nature et d'origine des imes et des autres dans le cas particulier où les deux courbes sont couchées sur un même plan. On peut • au surplus , remarquer que les raisonnemens qui précèdent demeureraient applicables j d'une manière analogue , à une surface du second ordre quelconque coupée par deux plans arbitraires» Enfin on prouverait également que toutes les sections qu'on pourrait former dans un cône ou une surface quel» conque du second ordre , par des plans passant à la fois par une même droite extérieure à la surface , auraient la même corde idéale commune placée sur cette droite, etc.

(*) En effet, ces sections pourront être considérées, d'après un théorème connu de la Géométrie élémentaire 9 comme les limites respectives de deux polygones semblables de grandeur et de situation (4a f note).

SECTION I. CHAPITRE II. 3g

67. Supposons maintenant que Fune (A'B') des deux sections, qui ont été considérées ci-dessus dans le cône , vienne à passer par le sommet S de ce cône ; on pourra la regarder comme une section infiniment petite , semblable à celle qu'on obtiendrait par un plan quelconque parallèle au sien , et ayant par conséquent même constante p'^ par rapport à la direction de SO, qui représente la nouvelle direction du diamètre conjugué à la sécante idéale mn; donc, MN étant la corde idéale relative à cette sécante et à (AB) , on aura (54 et 65)

ÔMa=p.OA-OB=^.ÔS1-,

c'est-à-dire que le rapport de OM à OS représentera (3q) le rapport des diamètres conjugués , parallèles à ces droites, qui appartiennent à la section conique infiniment petite que Ton considère.

Supposons, par exemple, que le plan SOM soit parallèle à celui d'une section circulaire du cône ; SO sera évidemment perpendiculaire à mn , et pf égal à l'unité , de sorte qu'on aura OM = OS ; c'est-à-dire que la longueur de SO sera précisément moitié de celle de la corde idéale MN : résultat qui nous sera utile par la suite.

On obtiendrait évidemment des conséquences analogues pour le cas ou MN serait une corde réelle de la section conique (AB) } car le plan passant par le sommet S et cette droite couperait le cône suivant deux arêtes , représentant les asymptotes de la section correspondante réduite à ces deux arêtes, et par conséquent le rapport des distances OM et OS serait encore celui des deux diamètres conjugués parallèles à leurs directions, tant pour la section dont il s'agit , que pour toutes celles qui lui sont semblables dans le cône et appartiennent à des plans parallèles.

68. En partant de ce qui précède, nous pourrions déduire, dès à présent, un grand nombre des propriétés des sections coniques et des surfaces du second degré relatives aux sécantes idéales communes } de là on s'élèverait , sans peine, aux considérations les plus générales concernant l'intersection et le contact de ces lignes et de ces surfaces 5 mais nous ne devons pas oublier que notre objet actuel est seulement de poser des principes qui puissent servir à la recherche des propriétés projectives des figures.

Bornons-nous donc à considérer le système de deux circonférences de cercle (C) et (G1) (Fig. 10), situées sur un même plan.

69. D'après la définition que nous avons donnée en général (56) de la sécante idéale commune à deux sections coniques , il paraît évident que , si

4o PROPRIÉTÉS PROJECTIVES.

mn est une telle droite sur le plan de deux cercles , elle doit être perpendiculaire à la distance CC qui sépare leurs centres 5 de plus elle devra déterminer , sur chacun des diamètres correspondais AB , A'B', deux segmens dont le rectangle soit le même de part et d'autre ; or ces conditions , qui donnent la corde idéale commune à ces cercles quand ils n'ont aucun point d'intersection , appartiennent aussi à leur corde réelle commune quand ces cercles se pénètrent 5 donc ces cordes s'échangent réciproquement entre elles, sans jamais exister ensemble. Il résulte d'ailleurs des considérations qui précèdent , relatives aux sections coniques en général , que les sécantes réelles et idéales communes' doivent jouir absolument des mêmes propriétés } mais c'est ce qu'on peut aussi démontrer, pour le cas particulier de deux cercles, d'une manière tout à fait directe et fort simple.

70. Car, si l'on imagine, par exemple, que les cercles se détachent du plan primitif qui les renferme , en tournant autour de leur sécante idéale commune mn, prise pour charnière, le système des nouveaux cercles, parvenus à une position quelconque , appartiendra à une même sphère , par suite de la définition ci-dessus de la sécante idéale commune à deux cercles 5 or , il en ré— suite immédiatement que , si, dun point quelconque P d'une telle sécante , on mène des tangentes PT, PT'.... aux cercles qui lui correspondent , ces tangentes seront égales : propriété qui appartient aussi aux sécantes commises ordinaires de deux cercles. Il est d'ailleurs évident qu'il n'existe que les seuls points de la sécante idéale commune qui jouissent de cette propriété sur le plan de ces cercles.

7 1 . En partant de là , on démontre aisément toutes les autres propriétés des . sécantes réelles ou idéales communes à deux ou à plusieurs cercles, par exemple :

Trois cercles étant tracés à volonté sur un plan, les sécantes, réelles ou idéales , qui leur sont communes , deux à deux , se coupent nécessairement en un même point , pour lequel les six tangentes correspondantes sont égales.

En efFet , d'après ce qui précède , il ne saurait y avoir aucun autre point du plan qui jouisse de cette propriété , s'il n'appartient à la fois aux sécantes dont il s'agit (*).

(*) La démonstration de Monge, à qui l'on doit cet élégant théorème, démonstration qui ne s'applique qu'au seul cas où les trois sécantes sont réellement communes , à moin* qu'on n'admette le principe de continuité , est trop généralement connue des géomètre» f pour qu'il soit nécessaire de la rappeler ici.

SECTION I. CHAPITRE IL fa

72. Cette propriété fournit un moyen graphique fort simple de construire la sécante idéale commune à deux cercles donnés sur un plan 5 car 7 si on les coupe par un troisième cercle quelconque ^ les deux sécantes communes qui en résulteront 7 et qui seront réelles 7 devront concourir sur celle dont il s'agit.

73. Pareillement, concevons sur un plan une suite de cercles (C), (C).... (Fig. 1 o) 7 ayant tous une sécante réelle ou idéale commune mn $ d'un point quelconque P de sa direction soient menées des tangentes PT7 PT'.... aux différera cercles 7 toutes ces tangentes seront égales , et leurs points de contact T7 T'... appartiendront à une nouvelle circonférence, qui aura pour centre le point P d'où sont issues les tangentes $ de plus , ce cercle et tous ses semblables (P7)"* coupant orthogonalement 7 ou à angles droits , tous ceux de la série qu'on examine , auront eux-mêmes évidemment la ligne CCr des centres de cette série pour sécante commune ; mais cette sécante sera nécessairement idéale , quand l'autre sera réelle , et vice versa. En effet , les tangentes CT, Cl.... à ces nouveaux cercles, partant d'un même point quelconque C de cette ligne , seront toutes égales entre elles (70).

74 • Tout cercle (P), qui coupe orthogonalement deux cercles (C) , (G) de la série proposée 1 a évidemment son centre sur la sécante mn qui leur est commune , et par conséquent il coupe aussi à angles droits tous les autres cercles de cette série j donc il fait partie de la série orthogonale réciproque de la proposée.

75. Une condition quelconque , comme celle de passer par un point ou de toucher une droite donnée , suffit évidemment pour déterminer entièrement un cercle appartenant à Tune ou à l'autre série } or les propriétés qui précèdent serviront à tracer ce cercle , sans qu'il soit besoin de recourir aux points mêmes de l'intersection commune des cercles proposés 7 lesquels peuvent par conséquent être imaginaires 5 donc les sécantes idéales se comportent 7 en tout , comme les sécantes réelles , et ne peuvent nullement en être distinguées dans les recherches.

76. Le cas où la sécante m/i7 commune à une série de cercles (C) , (C)... , est idéale offre une circonstance particulière qui mérite d'être remarquée 5 c'est que , parmi l'infinité de cercles dont elle se compose , il en est toujours deux qui ont des dimensions infiniment petites , ou qui sont réduits à des point K et L symétriquement placés sur la ligne des centres à l'égard de la sécante commune. Ces points sont précisément ceux où passent à la fois tous les cercles de la série orthogonale réciproque de la proposée 5 on peut les appeler les

4a PROPRIÉTÉS PROJECTIVES.

points ou cercles limites de cette dernière série : ceux de la série réciproque

sont évidemment imaginaires quand les premiers sont réels , et vice versa.

77. D'après toutes ces propriétés de la sécante idéale commune à deux ou plusieurs cercles 7 il est aisé de reconnaître la droite que des géomètres ont appelée Vaxe radical de ces cercles (*) 5 ils ont de même désigné par l'expression de centre radical de trois cercles tracés sur un plan , le point où concourent (71) les trois sécantes réelles ou idéales qui leur sont deux à deux commîmes. Ces définitions sont aussi simples que naturelles; mais elles ont l'inconvénient de ne présenter qu'un caractère particulier de l'objet défini , applicable seulement aux cas du cerclé 1 et de faire perdre de vue par conséquent la dépendance générale et purement graphique qui lie cet objet aux autres parties de la figure. Enfin elles ne sauraient nullement convenir aux sécantes communes à des sections coniques quelconques.

• Au reste , les sécantes communes à deux ou plusieurs cercles , tracés sur un plan 7 jouissent d'un grand nombre d'autres propriétés non moins remarquables $ il nous suffira , pour le moment , d'exposer rapidement quelques-unes de celles qui nous seront utiles par la suite 7 et qui , se rattachant plus particulièrement au sujet qui nous occupe 1 deviennent , par là , susceptibles d'être démontrées sans le secours de considérations qui lui soient étrangères.

78. Soit À (Kg. 11) un point pris, à volonté, sur le plan d'une suite de cercles (C)7 (C/)... 7 ayant une sécante réelle ou idéale commune mn; concevons 7 par ce point , la circonférence ÂBKL qui coupe orthogonalement tou£ les cercles de cette série ? et a par conséquent son centre P placé sur ma (74) ; joignons le point A au centre C de l'un quelconque des cercles de la suite dont il s'agit , par une droite indéfinie AC , elle rencontrera de nouveau le cercle (P) en B' , et déterminera , par ses intersections avec (C) 7 le diamètre FG. Cela posé , soit T l'un des points appartenais à la fois au cercle (P) et au cercle (C) , le rayon CT ou son égal CG sera moyen proportionnel enlre les segmens CB' et CA } mais le diamètre FG est divisé en deux parties égales en -C, donc (3i) il est aussi divisé harmoniquement aux points A et B'7 et par conséquent le point B' est le conjugué harmonique du point A , relativement au diamètre dont il s'agit.

Il suit de là évidemment que le point B' n'est autre chose (48) que le milieu de la corde de contact ou polaire MN qui répond au point A dans le cercle

(*) Voyez le mémoire de M. Gaultier, de Tours, inséré au XVIe. cahier du Journal de V Ecole Polytechnique.

(C) ; ce qui a lieu d'ailleurs quelle que soit sa position par rapport à ce cercle , puisque les raisonnemens qui précèdent en sont tout-à-fait indépendans. Donc Tous les milieux des cordes de contact qui correspondent à un même point quelconque du plan (F une suite de cercles , ayant une sécante commune, sont distribués sur une nouvelle circonférence coupant orthogonatentent toutes les premières.

79. On peut remarquer , en passant , que , quel que soit le diamètre du cercle (C) que Ton considère , il sera divisé harmoniquement aux deux points où sa direction rencontre le cercle (P) qui lui est orthogonal ; et , comme il en doit être de même réciproquement des diamètres de ce dernier cercle , on conclut généralement que,

Deux cercles qui se coupent orthogonalement sur un plan sont réciproquement tels que les diamètres de l'un sont coupés harmoniquement par la circonférence de Vautre.

Et par conséquent (76) ,

Si une suite de cercles, ayant une sécante commune, possède deux points limites , ces deux points divisent à la fois harmoniquement tous les diamètres qui leur correspondent dans les différens cercles de cette suite.

80. On peut conclure de cette propriété des points limites K et L (Fig 1 1) de deux ou plusieurs cercles (C), (C)... qui ont une sécante idéale commune mn, que chacun d'eux est à la fois (48 et 49) , pour les différens cercles, le pôle de la droite qui, passant par l'autre, est parallèle à la sécante commune dont il s'agit.

La même propriété a lieu évidemment à l'égard de chacun de ces points limites et du point situé à l'infini sur la sécante commune mn , puisque la polaire de ce dernier, par rapport aux différens cercles, se confond nécessairement avec la ligne des centres CCr qui renferme les deux autres. Enfin , il serait facile de prouver, à l'aide des considérations de l'art. 78 , qu'il n'existe , sur le plan de la suite des cercles que l'on considère , que les trois points ci-dessus qui jouissent de la propriété d'avoir à la fois même polaire par rapport à tous ces cercles. Donc on peut énoncer généralement la proposition suivante :

Deux ou plusieurs cercles , tracés sur un plan , ayant une sécante idéale commune, il existe trois points et il ri existe que trois points sur ce plan, savoir : les deux points limites et le point à F infini de la sécante commune , tels que F un quelconque d'entre eux soit le pôle de la droite qui renferme les deux autres, par rapport à tous les cercles que F on considère. 6 *

44 PROPRIÉTÉS PROJECTIVES.

81 . Revenons à l'objet des raisonnemens de l'art. 78 $ puisque tous les centres B' des cordes de contact ou polaires MN, qui correspondent à un même point A et à chaque cercle (C) de la suite qui a mn pour sécante commune 7 appartiennent à la circonférence de cercle invariable (P) , ces polaires iront toutes concourir à l'autre extrémité A' du diamètre de ce cercle qui passe par A } c'est-à-dire que

Toutes les cordes de contact 1 ou polaires , qui correspondent à un même point quelconque et à une suite de cercles ayant une sécante commune , vont concourir en un point unique du plan de ces cercles.

82. Si Ton appliquait au point A' les raisonnemens faits sur le point A^ on trouverait évidemment que le concours des polaires qui lui correspondent est sur le même cercle (P) , à l'extrémité du diamètre qui passe par ce point , c'est-à-dire en A 5 donc les points A et A' sont réciproques l'un de l'autre.

On peut remarquer aussi que 7 quand le point A est pris sur la direction de la sécante commune mn 7 son réciproque A' s'y trouve nécessairement aussi 7 ou, ce qui revient au même,

Tous les points de la sécante commune à une suite de cercles tracés sur un même plan , sont tels que les polaires correspondantes vont concourir réciproquement en des points appartenons à cette sécante.

Cette proposition n'est , au reste , qu'un corollaire fort simple des art. 7 1 et 73.

83. Supposons toujours que m/i(Fig. 11) soit une sécante idéale commune à une suite decerles (C)7 (C) ... situés sur un même plan 5 tous les cercles orthogonaux (P) passeront par les deux points K et L , limites des premiers (76) 5 et, si DE est une droite quelconque donnée arbitrairement sur le plan de la figure , chacun des cercles (P) la coupera en deux points A , B , dont les réciproques A', B' seront situés à l'extrémité des diamètres correspondant sur une droite ou corde A'B', constamment parallèle à DE , et qui viendra ren^ contrer la ligne des centres CC en un point S , tel qu'on aura