INTRODUCTION

A l'époque où Monge commença à professer la Géométrie descriptive, ou plutôt cette Géométrie générale qui fait le caractère principal des ouvrages de cet illustre professeur et de ceux qui ont suivi ses traces dans la même carrière} Mongé, disons- nous , avait raison de recommander aux Elèves Fétude de la Géométrie analytique , celle-ci étant très-propre à donner aux conceptions géométriques cette extension et cette généralité qui sont essentiellement dans sa nature. En effet , à cette époque , la science était tout entière à créer 9 et les principes 7 jusqu'alors suivis et reçus dans la Stéréotomie 9 étaient beaucoup trop restreints pour servir de base à la nouvelle Géométrie* Les leçons de Monge d'ailleurs s'adressaient à* des hommes appelés à parcourir les diverses branches des connaissances humaines , dans tout ce qu'elles ont de plus relevé.

Les choses sont aujourd'hui différentes à bien des égards} les écrits de Monge , ceux de ses nombreux disciples, ont popularisé , si je puis m'exprimer ainsi , les idées générales $ leur influence s'est manifestée jusques dans les Elémens de la science , et cette influence s'étendra tous les jours davantage à mesure que les applications de la nouvelle Géométrie deviendront plus multipliées , plus nécessaires au grand nombre de ceux qui se vouent aux arts* Peu à peu aussi les connaissances algébriques deviendront moins indispensables 1 et la science 7 réduite à ce qu'elle doit être , à ce qu'elle devrait être déjà , sera ainsi mise à la portée de cette classe d'hommes qui n'a que des moraens fort rares à y consacrer.

Les ouvrages mêmes de Monge , ceux de ses Elèves •, parmi lesquels nous devons sur-tout citer l'auteur des Développemens de Géométrie , ont prouvé que la Géométrie descriptive , « la langue de l'artiste et de l'homme de génie »

xvîij INTRODUCTION.

peut se suffire à elle-même, et atteindre à toute la hauteur des conceptions

de l'Analyse algébrique.

Cependant il reste encore quelque chose à faire ; toutes les lacunes , tous les vides ne sont pas encore remplis , et ces lacunes , ces vides se font sur-tout sentir dans ce qui semble tenir de plus près aux connaissances préliminaires de la Géométrie. Les grandes questions sont résolues, la doctrine est faite r mais elle repose sur certaines données particulières qu'il n'est pas aisé d'acquérir , même dans les Traités de Géométrie analytique. En effet , la Géométrie descriptive ne peut opérer sur les corps à trois dimensions , qu'en ramenant les diverses questions qui leur sont relatives à d'autres concernant les figures tracées simplement sur un plan, et c'est là même ce qui en constitue toute la beauté et l'utilité. D'ailleurs les surfaces les plus générales ont pour génératrices des lignes constantes ou variables 7 dont les projections sur les plans coordonnés sont déterminées à chaque instant du mouvement} les élémens du contact simple en un point d'une surface , ne peuvent se déterminer autrement que par ceux de deux génératrices quelconques passant par ce point . et M. Dupin a prouvé que les élémens du contact du second ordre dépendent pareillement de ceux du même ordre relatifs à trois sections normales , et ainsi de suite pour les contacts d'ordre supérieur. Or on est dans l'usage de regarder comme remplie la tâche du géomètre , lorsqu'il est ainsi parvenu à ramener les opérations de l'espace à celles qui concernent simplement les lignes décrites sur un plan. C'est donc supposer que la Géométrie descriptive plane soit faite , et elle ne l'est pas encore.

D'un autre côté, les méthodes générales , indiquées par la Géométrie à trois dimensions , ne sont pas toujours les plus expéditives de celles qu'on puisse mettre en usage 5 et , pour remplir son but 3 elle est quelquefois obligée de recourir aux propriétés particulières des figures. Les arts d'ailleurs et le goût s accordent à n'employer que des formes dont la simplicité et la régularité présentent des avantages sous le rapport de Fexécution : la ligne droite, le cercle , les sections coniques et quelques autres courbes aussi faciles à décrire ,

INTRODUCTION. xix

en sont les élémens nécessaires 5 il faut d'abord savoir construire ces lignes 7 opérer sur elles j soit qu'on les considère d'une manière isolée , soit qu'on les considère dans leurs diverses combinaisons, pour pouvoir s'occuper ensuite de ce qui appartient aux formes plus générales qui en dérivent. C'est ce qu'ont parfaitement senti les plus grands géomètres de notre époque , qui se sont souvent complus à descendre des hauteurs de la science pour s'occuper de questions en apparence fort simples , mais qui ne laissaient pas de présenter des difficultés à vaincre.

C'est donc cette Géométrie particulière qu'il faut chercher actuellement k perfectionner , à généraliser , à rendre enfin indépendante de F Analyse algébrique 5 c'est l'étude des propriétés des lignes et des surfaces individuelles qu'il faut chercher à ramener dans lé dôtnaine de la simple Géométrie, 4 laquelle elle semble encore §e soustraire dans certains genres de questions.

Les efforts qui, à diverses époques, ont été faits par les géomètres pour remplir ce but , n'ont point été entièrement infructueux ; une foule de pro- , priétés des lignes et des surfaces du second ordre ont été découvertes par le* principes de la Géométrie rationnelle , un grand nombre de questions particulières ont été résolues } mais il reste encore beaucoup à faire en ce genre , non-seulement sous le rapport de l'invention , mais encore sous celui de la méthode, des principes.

En effet , tandis que la Géométrie analytique offre , par la marche qui lui est propre, des moyens généraux et uniformes pour procéder à la solution des questions qui se présentent , à la recherche des propriétés des figurés ; tandis qu'elle arrive à des résultats dont la généralité est sans bornes , l'autre procède au hasard $ sa marche dépend tout-à-fait de la sagacité de celui qui remploie , et ses résultats sont , presque toujours , bornés à l'état particulier de la figure que l'on considère. Par les efforts successifs des géomètres, les vérités particulières se sont multipliées sans cesse , mais il est arrivé rarement que la méthode et la théorie générale y aient gagné 5 encore peut-on reprocher à la Géométrie rationnelle , sur-tout à la Géométrie ancienne , de faire

xx INTRODUCTION.

un usage trop fréquent et trop étendu du mécanisme des proportions, qui n'est au fond qu'un calcul déguisé , comme Fa observé un savant géomètre , M. Gergonne.

Ce reproche ne saurait s'adresser à la Géométrie dans l'espace , dont nous avons déjà parlé , à cette Géométrie générale créée par le génie de Monge ; sa marche est exempte d'hésitation , elle procède avec ordre , les lignes et les surfaces qu'elle contemple sont indéfinies, rien ne limite la pensée, et ses résultats ont , jusqu'à un certain point , toute l'extension de ceux de l'Analyse algébrique , extension qui souvent étonne et embarrasse celui qui l'emploie. Nous avons dit aussi que ce caractère de la Géométrie de Monge lui vient précisément de l'usage qu'elle a fait , qu'elle fait encore , des considérations de l'Analyse , de ce mélange 7 de cette fusion , en quelque sorte intime , de ces deux manières de traiter la grandeur figurée.

Quelle est donc cette influence , cette puissanoe en quelque sorte extensive de l'Analyse algébrique F Pourquoi la Géométrie ordinaire ou ancienne en estelle naturellement privée , et quel moyen pourrait-on mettre en usage pour l'en faire jouir ? Voilà des questions qu'il semble utile de résoudre et de méditer pour les progrès de la simple Géométrie. Nous nous bornerons ici à hasarder quelques mots , à présenter quelques vues générales, remettant à une autre époque de développer ce sujet avec toute l'étendue qu'il mérite.

L'Algèbre emploie des signes abstraits, elle représente les grandeurs absolues par des caractères qui n'ont aucune valeur par eux-mêmes, et qui laissent à ces grandeurs toute l'indétermination possible ; par suite elle opère et raisonne forcément sur les êtres de non existence comme sur des quantités toujours absolues , toujours réelles : a et b , par exemple , représentant deux quantités quelconques , il est impossible , dans le cours des calculs , de se rappeler et de reconnaître quel est l'ordre de leurs grandeurs numériques ; Fon est , malgré soi , entraîné à raisonner sur les expressions a — 6, j/o — &, etc.^ comme si c'étaient des quantités toujours absolues et réelles. Le résultat doit donc lui-même participer de celte généralité , et s'étendre à tous les cas pos-

INTRODUCTION. xxj

sibles à toutes les valeurs des lettres qui y entrent 5 de là aussi ces formes extraordinaires , ces êtres de raison , qui semblent l'apanage exclusif de l'Ai-

gèbre.

Or on est conduit à toutes ces conséquences , non-seulement quand on emploie les signes et les notations de l'Algèbre , mais aussi toutes les fois qu'en raisonnant sur des grandeurs quelconques ^ on fait abstraction de leurs valeurs numériques et absolues ; en un mot , toutes les fois qu'on emploie le raisonnement sur des grandeurs indéterminées , c'est-à-dire le raisonnement purement implicite. C'est ce qui arrive , en particulier , dans là Géométrie , lorsque la figure se complique , ou que les rapports qui en lient les parties , se multiplient , parce qu'il n'est plus possible alors de discerner , au simple coupd'œil j l'ordre de grandeur et de situation de ces parties. C'est encore ce qui a lieu quand certaines de ces parties sont l'objet d'une recbercbe faite sur la figure , ou qu'on les suppose inconnues à la fois de grandeur et de situation ; et voilà pourquoi aussi la marche des Anciens , qu'ils nommaient analytique^ et à laquelle ils attachaient une si grande impprtance , n'était point tout-à-fait dépourvue de cette généralité , de cette force qui appartient à l'Algèbre. Enfin et c'est sur-tout ce qui arrive quand on fait abstraction de la figure et qu'on se dispense de la décrire ; de là 7 et principalement de là , cette généralité de conceptions et cette grande extension de la Géométrie qui considère les objets dans l'espace } de là du moins provient la facilité avec laquelle les géomètres ont transporté les notions abstraites et figurées 9 d'abord manifestées par le calcul algébrique, dans le domaine de cette Géométrie.

Dans la Géométrie ordinaire , qu'on nomme souvent la synthèse , les principes sont tout autres , la marche est plus timide ou plus sévère ; la figure est décrite, jamais on ne la perd de vue, toujours on raisonne sur des grandeurs , des formes réelles et existantes , et jamais on ne tire de conséquences qui ne puissent se peindre, à l'imagination ou à la vue, par des objets sensibles ; on s'arrête dès que ces objets cessent d'avoir une existence positive et absolue , une existence physique. La rigueur est même poussée jusqu'au point

xxij INTRODUCTION.

de ne pas admettre les conséquences d'un raisonnement , établi dans une certaine disposition générale des objets d'une figure , pour une autre disposition également générale de ces objets , et qui aurait toute l'analogie possible avec la première j en un mot , dans cette Géométrie restreinte , on est forcé de reprendre toute la série des raisonnemens primitifs , dès l'instant où' une ligne , un point ont passé de la droite à la gauche d'un autre, etc.

Or voilà précisément ce qui en fait la faiblesse ; voilà ce qui la met À fort au-dessous de la Géométrie nouvelle , sur-tout de la Géométrie analytique. SH1 était possible d'y appliquer le raisonnement implicite , en faisant abstraction de la figure , si seulement il était permis d'y appliquer les conséquences de ce genre de raisonnement , cet état de chose n'existerait pas , et la Géométrie ordinaire , sans pour cela employer les calculs "et les signes de F Algèbre , se montrerait, à bien des égards , la rivale de la Géométrie analytique, de même qu'elle l'est déjà, avons-nous dit, toutes les fois qu'il n'est pas possible de conserver la forme du raisonnement explicite.

Considérons une figure quelconque , dans une position générale et en quelque sorte indéterminée , parmi toutes celles qu'elle peut prendre sans violer les lois , les conditions , la liaison qui subsistent entre les diverses parties du système ; supposons que , d'après ces données , on ait trouvé une ou plusieurs relations ou propriétés , soit métriques , soit descriptives , appartenantes à la figure , en s'appuyant sur le raisonnement explicite ordinaire , c'est-à-dire par cette marche que, dans certains cas, on regarde comme seule rigoureuse* N'est-il pas évident que si, en conservant ces mêmes données, on vient à faire varier la figure primitive par degrés insensibles, ou qu'on imprime à certaines parties de cette figure un mouvement continu d'ailleurs quelconque , n'est-il pas évident que les propriétés et les relations , trouvées pour le premier système 5 demeureront applicables aux états successifs de ce système , pourvu toutefois qu'on ait égard aux modifications particulières qui auront pu y survenir , comme lorsque certaines grandeurs se seront évanouies , auront changé de sens ou de signe, etc., modifications qu'il sera toujours aisé de reconnaître à priori^ et par des règles sûres?

INTRODUCTION. «iij

C'est du mbins ce que Ton conclurait sans peine du raisonnement implicite , et c'est ce qui , de nos jours , est assez généralement admis comme une sorte d'axiome dont f évidence est manifeste , incontestable , et n'a pas besoin d'être démontrée : témoin le principe de la corrélation des figures , admis par M. Cah&ot, dans sa Géométrie de position, pour établir la règle des signes 5 témoin encore te principe des fonctions , employé par nos plus grands géomètres pour établir les bases de la Géométrie et de la Mécanique ; témoin enfin le Calcul infinitésimal , la Théorie des limites , la Théorie générale des équations et tous les écrits des nos jours \ où Ton s'attache à une certaine généralité dans les conceptions.

Or ce principe , regardé comme un axiome par les plus savans géomètres , est ce qu'on peut nommer le principe ou la loi de continuité des relations mathématiques de la grandeur abstraite et figurée.

Ce n'est pas qu'au reste le principe de continuité ait été admis dans toute son étendue et sans aucune restriction par les différens géomètres qui s'en sont servi , soit ouvertement , soit tacitement -, car ,' sans cela , ils se seraient jetés dans toutes ces considérations métaphysiques des imaginaires, qui ont été constamment repoussées du sanctuaire étroit de la Géométrie rationnelle. Son emploi explicite, dans cette science , s'est presque toujours borné aux états réels d'un système qui se transforme par degrés insensibles , et c'est même là ce qui a donné lieu aux infiniment petits , aux infiniment grands , que des géomètres cherchent encore , de nos jours , à banir du domaine des sciences exactes. Cependant nous avons montré , plus haut, que ce principe revient uniquement à admettre les conséquences du raisonnement implicite , et que , dans bien des circonstances, il était absolument impossible, même dans la Géométrie ancienne (*) , d'éviter ce genre de raisonnement. Cependant encore il

t*)~Ua exemple bien fimple de U nécessité* d'admettre lt loi de continuité, nous est offert parla Prop. XXI du Liv. III de la Géométrie de M. Lxgktdri T ouvrage connu par la rigueur des démonstrations et des princiqes. Il s'agit de démontrer la similitude des triangles qui ont les côtes perpendiculaires 5 or le raisonnement , pour être général , suppose les propriétés des quadrilatères non convexes , qui ne font pas partie des "R\4**fw, Il est vrai que l'auteur montre ensuite que la proposition

xxiv INTRODUCTION.

ne serait pas difficile d'établir ce principe , d'une manière entièrement directe et rigoureuse, à l'aide des calculs mêmes de l'Algèbre, dont la certitude n'est du moins plus mise en doute de nos jours , grâces à deux siècles d'efforts et de succès !

Toutefois cela serait-il bien nécessaire , et ne serait-on pas en droit d'admettre, dans toute son étendue, le principe de continuité en Géométrie rationnelle, comme on l'a fait d'abord dans le calcul algébrique, puis dans l'application de ce calcul à la Géométrie , si ce n'est comme moyen de -démonstration , du moins comme moyen de découverte ou d'invention ? n'est-il pas, pour le moins, aussi nécessaire d'enseigner les ressources employées, à diverses époques , par les hommes de génie , pour parvenir à la vérité , que les efforts pénibles qu'ils ont été ensuite obligés de faire pour les démontrer selon le goût des esprits ou timides ou peu capables de se mettre à leur portée ?

Enfin quel mal pourrait -il en résulter, sur-tout si l'on se montrait sévère à conclure , si Ion ne se payait jamais de demi-aperçus , si l'on n'admettait jamais Y analogie et Y induction , qui sont souvent trompeuses , et qu'il ne faut pas confondre avec le principe de continuité ? En effet , l'analogie et l'induction concluent du particulier au général, d'une série de faits isolés, sans liaison nécessaire , en un mot discontinus , à un fait général et constant : la loi de continuité veut , au contraire , que l'on parte d'un état général et en quelque sorte indéterminé du système , c'est-à-dire tel que les conditions qui le régissent ne soient jamais remplacées par des conditions plus générales encore , et qu'elles subsistent dans une série d'états semblables , provenus les uns des autres par gradation insensible \ elle exige , en outre , que les objets auxquels elles s'appliquent soient, de leur nature, continus ou soumis à des lois qu'on puisse regarder comme telles. Certains objets peuvent bien changer de position , par

a lien pour tous les cas, et il serait aisé d'établir la démonstration, sans aucune restriction, et cela pour le cas général on, an lien d'être perpendiculaires, les côtés formeraient des angles égaux quel* conques; il suffirait, en effet, de supposer que l'un des triangles tournât d'une quantité angulaire con- Yenable. L*on pourrait même étendre cette démonstration à des polygones quelconques ; mais il est bien des exemples , plus compliqués que celui-ci ,*où la difficulté ne serait pas aussi facile à vaincre.

INTRODUCTION. xxv

suite des variations survenues dans le système , d'autres peuvent s'éloigner à l'infini , ou se rapprocher à des distances insensibles , etc. 3 les relations générales subissent alors des modifications , sans cesser pour cela de s'appliquer

au système.

La seule difficulté consiste , comme on voit , à bien entendre ce qu'on veut dire par ce mot état général ou indéterminé et état particulier d'un système ) or, pour chaque cas, la distinction est facile : par exemple , une droite, qui en rencontre une autre sur un plan , est dans un état général par rapport au cas où elle devient perpendiculaire ou parallèle à cette droite. Pareillement une ligne , droite ou courbe , qui en rencontre une autre sur un plan , est dans une situation générale et indéterminée à l'égard de cette autre , et la même chose a lieu encore quand elle cesse de la rencontrer 5 pourvu que ces deux états ne supposent aucune relation particulière de grandeur ou de position entre ces lignes 5 le contraire aurait évidemment lieu si elles devenaient ou tangentes , ou asymptotes ou parallèles , etc. , elles seraient dans un état particulier à Tégard de l'état primitif.

L'admission ouverte de la loi de continuité, dans les recherches géométriques, conduira nécessairement à des notions singulières, à de véritables paradoxes} mais ces notions, ces paradoxes ont subsisté et subsistent également dans P Analyse algébrique, et n'ont pourtant point arrêté sa marche ni ses progrès. D'ailleurs est-il raisonnable de repousser , en Géométrie , des notions généralement admises en Algèbre , et dont personne ne conteste plus la rigueur ï n'y a-t-on pas déjà reçu les infiniment petits , les infiniment grands j dont l'existence est purement hypothétique f qui empêcherait enfin d'y recevoir aussi les considérations relatives aux imaginaires ?

La Géométrie d'EucuDE a certainement de très-grands avantages, elle accoutume l'esprit à la rigueur , à l'élégance des démonstrations et à l'enchaînement méthodique des idées 5 sous ces divers rapports , elle est digne de notre admiration et mérite seule de constituer la base des Elémens. Ce serait, sans doute, une grande témérité que- de chercher à introduire, dans cette

xxvj INTRODUCTION.

Géométrie, les expressions figurées de l'Analyse } car , d'après la simplicité des formes qu'elle envisage , cette innovation serait , pour le moins , aussi inutile que dangereuse. En effet , il n'y est guère question que des proportions des figures les plus régulières 5 rarement y considère-t-on leur manière d'être mutuelle , ou , si Ton veut , leurs dépendances relatives à la disposition des points et des lignes. Or c'est précisément cette dernière dépendance, entre des figures qui paraissent , au premier abord , n'avoir rien de commun , qui peut exiger qu'on introduise , dans le langage et les conceptions de la Géométrie , les expressions et les notions abstraites de l'Analyse ; elles seules , en effet , peuvent permettre d'établir un point de contact , sinon absolu , au moins fictif, entre certaines figures et certains résultats géométriques.

Cette manière de raisonner , quoique souvent abstraite et figurée , ne saurait

entraîner à l'erreur , parce qu'elle est fondée sur des rapprochemens en euxmêmes rigoureux et exacts; elle a d'ailleurs l'avantage d'agrandir les idées, de lier par une chaîne continue des vérités en apparence lointaines , et dé permettre d'embrasser, dans un seul théorème, une foule de vérités particulières. Si, après les travaux géométriques des savans illustres qui -composent la moderne Ecole , on peut encore former l'espoir de faire faire quelques progrès vraiment utiles à la science de l'étendue , ce ne peut être évidemment qu'en suivant de près leurs traces, qu'en* cherchant sans cesse à* généraliser le lan-

gage et les conceptions de la Géométrie.

Ce serait ici le lieu de montrer comment l'admission de la continuité en Géométrie conduit , d'une manière naturelle et nécessaire , à l'interprétation de toutes les notions abstraites ou métaphysiques qui appartiennent à la grandeur figurée 5 nous aurions à étudier et à démontrer la loi de l'influence qu'exerce la position sur les signes } ce qui nous conduirait à considérer, dans leur rapport , l'Analyse algébrique et la Géométrie , à résoudre les difficultés et les objections que ce rapprochement a fait naître jusqu'à cette heure ; par là , nous justifierions , d'une manière en quelque sorte rigoureuse , le principe de continuité , et dans sa nature et dans ses applications ; mais notre but , avons-nous

INTRODUCTION. xxvij

dit , n'a été que de présenter quelques vues générales , quelques aperçus sur le moyen de procurer à la Géométrie ordinaire ce caractère d'extension qui lui manque , et que possède si bien la Géométrie analytique.

Je me propose d'ailleurs de donner, dans le couis de cet ouvrage , quelques éclaircissemens sur les applications du principe de continuité , à mesure qu'il pourra se présenter des circonstances favorables pour le faire , sans trop déranger la marche générale des idées. Car mon objet n'y est point de démontrer ce principe , encore moins d'en adopter , sans réserve , toutes les conséquences ; je veux seulement fixer l'attention des géomètres sur son utilité , signaler quelques-unes des applications que Ton en a faites , souvent sans s'en douter ; en jeter en avant quelques autres, moins évidentes et moins faciles à admettre , après les avoir justifiées toutefois par la marche du raisonnement ordinaire 5 faire voir , en un mot , qu'on ne traite point encore la Géométrie avec toute l'extension qu'elle comporte , et qu'il reste beaucoup à faire pour la rendre , sous ce rapport, la rivale de l'Analyse algébrique.

En m'arrêtant quelque temps au développement de ces idées , j'annonce des considérations singulières et non accoutumées 5 je préviens les objections qu'on pourrait leur faire j je lève enfin les scrupules qui auraient pu naître dans l'esprit des personnes qui, ne voulant absolument admettre , dans les recherches géométriques , d'autres principes et d'autre genre de démonstration que ceux qui nous viennent des Anciens , regardent , avec raison , la Géométrie pure comme une science depuis long-temps faite , et dont la marche et la doctrine ne sont plus susceptibles de perfectionnemens.

Mais le défaut de généralité et d'extension de la Géométrie ordinaire n'est point le seul qu'on puisse lui adresser $ nous avons dit qu'elle manque encore de méthode directe et uniforme pour procéder à la recherche de la vérité , et qu'elle fait un usage trop fréquent, sur-tout trop étendu, du mécaûisme des proportions.

Encore une fois ce dernier reproche ne saurait s'adresser à cette Géométrie générale de l'Ecole de Monge , qui , des propriétés descriptives de l'espace ,

xxviîj INTRODUCTION.

conclut celles des figures décrites sur un plan 5 pour repasser ensuite à ce qui concerne les figures à trois dimensions ; et la même exception doit être faite , jusqu'à un certain point 7 pour les principes de la Théorie des transversales; car elle n'emploie uniquement que des rapports de lignes , et elle se borne à les multiplier entre eux , sans jamais se permettre de les décomposer 5 autrement dit , elle ne fait guères usage que des équations à deux termes et de leurs combinaisons les plus évidentes et les plus élémentaires.

Il ne s'agit ici que de cette Géométrie ancienne , de cette Géométrie cultivée par Euclide , Archimède, Apollootxjs7 et plus récemment encore par les Viète, les Fermât $ les Grégoire de SWincent , les Halley , les Viviani , Jes R. Smson , etc. , de cette Géométrie mixte ou particulière enfin , qui , mettant en œuvre une multitude de relations et de lignes auxiliaires , a une marche à la fois embarrassée et incertaine.

En réfléchissant attentivement à ce qui fait le principal avantage de la Géométrie descriptive et de la Méthode des coordonnées , à ce qui fait que ces branches des Mathématiques offrent le caractère d'une véritable doctrine , dont les principes , peu nombreux , sont liés et enchaînés d'une manière nécessaire et par une marche uniforme , on ne tarde pas à reconnaître que cela tient uniquement à l'usage qu'elles font de la projection.

En effet , la Méthode des coordonnées rapporte les objets , décrits dans un plan ou dans l'espace , à deux droites ou à trois plans fixes au moyen de deux ou de trois systèmes de droites abaissées , des différens points de la figure , parallèlement à ces axes ou à ces plans j ce qui revient proprement à faire la projection de ces points sur les axes et les plans dont il s'agit. La Géométrie descriptive considère également les projections des figures dans l'espace , mais seulement sur deux plans coordonnés , ce qui est un degré de simplification ; elle pourrait même ne faire usage que d'un seul plan de projection , en indiquant la hauteur des points au-dessus de ce plan par des cotes j comme il arrive dans certains levés militaires , et comme cela est généralement usité

INTRODUCTION. xxîx

en Fortification (*) , où le peu de régularité des formes % dans le sens vertical , joint à leur peu de relief, relativement aux dimensions horizontales , prête difficilement à la représentation au moyen de projections verticales.

Voici donc quel est l'avantage de ces différentes méthodes : par la projection des figures planes sur des droites , on réduit Fexamen des relations de ces figures, à celui des relations beaucoup plus simples entre les distances comprises sur les axes de projections } au lieu de deux dimensions , on n'en a souvent plus qu'une à considérer, ou , si Ton en a deux , elles sont toujours mesurées dans des directions parallèles ou sur les mêmes droites } des réflexions analogues sont applicables aux coordonnées dans l'espace. D'ailleurs la théorie des lignes proportionnelles et la proposition de Pythàgore 5 qui sont les bases de la Géométrie , suffisent dans tous les cas pour repasser, de ces relations particulières

(*) Dans ce système de projection, la position absolue d'une droite dans l'espace est indiquée par les cotes de deux points de sa projection; celle d'un plan Test par sa trace horizontale et la cote d'un quelconque de ses points , ou par la projection cotée de sa ligne de plus grande pente , ou par les cotes de trois quelconques de ses points , dont on a la projection , etc. Quant à la manière de définir les surfaces, on est dans l'usage, sur-tout pour celles qui ne sont pas assujetties a une loi rigoureuse, de se donner la suite des tranches parallèles au plan de projection, et leurs cotes au-dessus de ce plan ; mais il est évident que, dans la plupart des cas, on peut se contenter, comme en Géométrie descriptive , de connaître le mode particulier de génération de la surface , en se donnant , par des cotes, les points, les droites ou plans fixes auxquels il se rapporte. A l'égard des génératrices , si elles sont planes et constantes de forme , il suffit d'avoir le rabattement de l'une quelconque d'entre elles sur le plan de projection. Enfin les lignes à double courbure peuvent être définies par leur projection et par une surface quelconque qui en contiendrait les difTérens points. En un mot, la figure dans l'espace doit être tellement définie, qu'on puisse aisément trouver la cote d'un de ses points dont on aurait simplement la projection. Il est évident que la plupart des figures employées dans les arts se prêtent , sans difficultés , à ces diverses conditions ; en sorte qu'il doit être possible de résoudre sur elles , directement et à l'aide d'un seul plan de projection , toutes les questions qui sont du ressort de la Géométrie descriptive ordinaire.

Les premiers essais, en ce genre, ont été faits à l'Ecole du Génie deMétières, et ils sont dus a MM. de Chatilloit, MlLET de Mu&eau, Dubuat, Metjsicier et MoNGE. Dans un Mémoire, qui â pour' date l'année 1776, MSUSNIBR a fait une application fort heureuse du tracé, par courbes horizontales, pour la recherche du plan tangent (Dr/Plff, Essai historique sur Mongc, pog. xZj et suiv.). Un de mes anciens camarades à l'Ecole Polytechnique et à l'Ecole de Metz, M. N., Capitaine du' Génie, a fait, de cette partie de la Géométrie descriptive, l'objet de ses méditations; espérons qu'il n'en restera pas là, et qu'après avoir donné à ses recherches le développement dont elles sont susceptibles, il consentira à en faire jouir ses camarades, à qui ces recherches pourront être plus particulièrement utiles.

xxx INTRODUCTION.

aux relations générales qui subsistent entre les objets mêmes de la figure j dé là doit donc résulter à la fois uniformité et simplicité dans la méthode , mais aussi nécessité d'employer des calculs plus ou moins compliqués , et impossibilité de pouvoir jamais opérer directement sur les figures ou sur les grandeurs graphiques qui les composent. Malgré ce dernier désavantage , qui cesse d'en être un lorsqu'il ne s'agit que d'examiner les relations purement métriques d'une figure , on a vraiment lieu de s'étonner que , dans les Elemens , on fesse x si peu usage de la considération des projections pour simplifier à la fois les énoncés et les démonstrations de certains théorèmes.

Pour montrer un seul exemple de cette application , nous considérerons un polygone quelconque plan , coupé par une droite transversale arbitraire. Si , en effet , on projette ce polygone , sur une nouvelle droite quelconque , par des parallèles à la première , et si l'on observe que les rapports des distances , ' qui appartiennent à un même côté , restent les mêmes en projection , On en conclura aisément la relation connue entre les différens segmens formés par la transversale sur les côtés du polygone 5 car cette relation se réduira à une simple identité pour la projection.

La Théorie des transversales qui, suivant la remarque déjà faite par M. Càrnot, n'est à proprement parler que la Théorie des coordonnées prises sur une même droite, et réduite par conséquent à un plus grand degré de simplicité, n'est donc qu'un corollaire, en quelque sorte évident, des principes de la Méthode des projections. Or un grand nombre d'autres théorèmes sur les polygones et sur les polyèdres se rattachent également , comme on sait , à ces principes. Mais poursuivons.

Nous avons dit que la Géométrie descriptive , telle qu'on l'emploie d'ordinaire , a , sur celle des coordonnées , l'avantage de ne faire usage que de deux plans de projection. De plus, elle opère directement et graphiquement sur les figures de projection , et , par des opérations graphiques encore , elle remonte à ce qui concerne la figure même dans l'espace. En un mot , toutes les relations ou propriétés descriptives du plan sont traduites , par elle , en relations

INTRODUCTION. xxxj

ou propriétés de l'espace , et réciproquement. De là donc , indépendamment du caractère d'extension qu'elle imprime aux objets de ses conceptions , doit résulter une foule de rapprochemens et de conséquences infiniment profitables à la simple Géométrie et à la Géométrie à trois dimensions; ce dont Monge a montré les plus beaux exemples dans sa Géométrie descriptive et dans les différens Mémoires qu'il a publiés depuis, parmi les Recueils de l'Ecole Polytechnique. Il est évident que ces avantages sont uniquement dus à la nature même de la projection qui , en modifiant la forme et l'espèce particulière des figures , les place dans des circonstances ou plus générales ou au contraire plus restreintes , sans pour cela en détruire les relations et propriétés génériques , ou en les modifiant seulement d'après des lois fort simples et toujours faciles à deviner et à saisir. Tout autre mode de déformation n'aurait point évidemment les mêmes avantages.

Mais la Méthode des projections ne se borne point là , et ses avantages ne sont point limites à ceux qui appartiennent en propre à la Géométrie descriptive ordinaire et à la Théorie des coordonnées. En effet , dans l'une , la projection réduit les lignes et les surfaces à une seule dimension en longueur, et , dans l'autre , les lignes courbes restent il est vrai des courbes , mais les surfaces sont représentées par des aires planes; c'est un avantage sous un certain rapport , mais c'est un inconvénient sous plusieurs autres , notamment en ce que les dimensions effectives de ces objets ne peuvent point se conclure directement de leurs projections, comme cela a lieu pour les simples distances dans le premier cas , et pour les simples courbes dans le second. Or , il est une manière plus générale de considérer la projection , c'est de projeter les lignes courbes, planes ou à double courbure, sur d'autres lignes planes ou à double courbure , et de projeter pareillement les surfaces courbes quelconques , suivant d'autres surfaces pareilles ; c'est-à-dire qu'une ligne tout entière sera représentée par une ligne en projection , et une surface tout entière par une autre surface du même genre : c'est ce qu'on peut nommer proprement la projection relief des lignes et des surfaces.

xxxij • INTRODUCTION.

Cette méthode , il est vrai , ne sera pas , sous le rapport des constructions , aussi avantageuse que celle de la Géométrie descriptive ordinaire 5 mais elle aura la propriété de conserver la plus grande analogie possible entre la figure primitive et sa dérivée , et de permettre ainsi de ramener facilement les relations

métriques ou descriptives de Tune de ces figures à celles qui appartiennent à l'autre. Elle doit donc être la plus féconde de toutes lorsque , voulant simplement ne faire usage que des considérations de la Géométrie rationnelle, on a pour but de découvrir les propriétés des lignes et des surfaces individuelles. Nous verrons , dans le cours de cet ouvrage , que c'est à ce genre de projection générale qu'il faut rapporter divers modes de transformation , employés dans les ares pour les lignes et les surfaces : comme lorsqu'on fait croître ou décroître leurs ordonnées dans un certain rapport , soit dans leur propre direction 7 soit dans des directions parallèles quelconques , c'est-à-dire en les faisant balancer ou osciller en même temps sur leurs bases, suivant une quantité angulaire constante (*). Nous verrons aussi que ces différens modes de transformation des figures ont été employés par plusieurs géomètres, notamment par MM. Dtjpin et Chasles , pour arriver à la connaissance d\in grand nombre de propriétés intéressantes des lignes et des surfaces du second ordre.

Enfin jusqu'ici nous avons supposé les coordonnées , ou projetantes , parallèles entre elles , mais cette condition n'est pas indispensable , ou plutôt on peut la remplacer par la condition, beaucoup plus générale, que toutes ces projetantes aillent concourir vers un point ou centre de projection unique du plan de la figure ou de l'espace : alors la projection sera proprement ce qu'on nomme conique on centrale; ce sera, si Ton veut encore, une sorte de perspective dont le point de vue sera ce que nous venons de nommer le centre de

(*) Le premier moyen est souvent employé en Fortification pour renforcer, sur le dessin, le relief des ouvrages, toujours peu considérable , comme nous l'avons fait observer, eu égard aux dimensions horizontales du projet; l'objet est, par là, d'augmenter l'échelle des constructions, et de les rendre plus rigoureuses. Le second est principalement usité en Architecture , pour convertir les arcs droits en arcs rampans, etc.

INTRODUCTION. xxxiij

projection , mais qui n'aura véritablement de tableau que dans le cas où tous les objets de la figure primitive seront à la ibis projetés sur une seule et même aire plane , ou sur une seule et même aire courbe.

Les relations ou propriétés , soit métriques , soit descriptives , qui subsisteront à la fois dans l'une et dans l'autre figures , auront nécessairement toute la généralité , toute l'indétermination possible } elles devront être indépendantes de toutes grandeurs absolues et déterminées , telles qu'ouvertures d'angles , distances , paramètres constans , etc. ; en un mot , elles seront des propriétés de genre et non d'espèce , comme il peut arriver pour les projections par des parallèles , qui ont été définies précédemment.

On voit , d'après les diverses réflexions qui précèdent , que deux moyens généraux , également puissans , se présentent pour perfectionner la Géométrie rationnelle : l'un qui consiste à étendre l'objet des conceptions de cette Géométrie à l'aide du principe de continuité , l'autre qui met en usage les principes de la doctrine des projections pour procéder, par une marche à la fois rapide et exempte d'hésitation , à la recherche des vérités géométriques.

Agrandir les ressources de la simple Géométrie, en généraliser les conceptions et le langage ordinairement assez, restreints , les rapprocher de ceux de la Géométrie analytique, et sur-tout offrir des moyens généraux propres à démontrer et ii faire découvrir, d'une manière facile , cette classe de propriétés dont jouissent les figures quand on les considère d'une manière purement abstraite et indépendamment d'aucune grandeur absolue et déterminée , tel est l'objet qu'on s'est spécialement proposé dans cet ouvrage. De telles propriétés subsistent , avons-nous dit , à la fois pour une figure donnée et pour toutes ses projections ou perspectives ;ona donc dû les distinguer de toutes les autres par le nom générique de propriétés projectiles , qui en rappelle , d'une manière abrégée, la véritable nature.

Indépendamment de tout ce qui a été dit , dans ce qui précède , sur les propriétés projectives ^ comme elles doivent , sans contredit , compter parmi les plus générales que l'on connaisse, elles méritent, à ce titre seul, toute

xxxiv INTRODUCTION.

l'attention des géomètres 5 on sait , en effet , que les propriétés de retendue sont d'autant plus fécondes en conséquences curieuses ou utiles à la pratique , qu'elles se trouvent renfermées sous des énoncés plus généraux , plus simples et plus faciles à saisir. On sait encore que , sous l'indétermination même qui leur est propre, elles enveloppent implicitement , et comme corollaires immédiats , toutes les propriétés particulières des figures.

D'un autre côté, nous avons va que, pour le perfectionnement de la Géométrie descriptive , comme pour celui des divers arts dont elle est la base , ce sont principalement les méthodes de la Géométrie plane qu'il faut chercher à étendre et à simplifier ; et que , parmi les propriétés , soit métriques , soit descriptives , qui peuvent appartenir à cette Géométrie , celles qui sont simplement relatives aux lignes droites et aux sections coniques sont sur-tout utiles et intéressantes par l'élégance de la forme et la facilité de la description de ces lignes. C'est donc vers l'étude des propriétés projectives de ces sortes de figures et des principes de projection qui les concernent que nous avons dû principalement diriger nos efforts , en entreprenant ce travail.

Un grand nombre de géomètres distingués « à la tête desquels il faut placer l'illustre Monge , ont senti toute l'importance des ressources que pouvait offrir la doctrine des projections pour la recherche et la démonstration des propriétés générales des figures. Pascal , De Lahire , Lambert, et plus récemment encore M. Carnot, dans son Essai sur la Théorie des transversales , MM. Gergonhe , Servois, Ferriot, Durrande, etc., dans les Annales de Mathématiques, MM. Hachette , Roche , Chasles , dans la Correspondance sur V Ecole Polytechnique , ont successivement fait usage , avec plus ou moins de restriction , de considérations semblables pour étendre le résultat des premières conceptions géométriques. Enfin M. Brianchon a fait insérer, dans le Xe. cahier du Journal de V Ecole Polytechnique , un Mémoire qui présente , sur ce sujet , des reflexions à la fois neuves et étendues 5 je me fais un plaisir et un devoir de reconnaître que je dois l'idée première de mon travail à la lecture de cet écrit. Mais tous ces géomètres, n'ayant en vue que la démonstration de quelques pro-

INTRODUCTION. xxxv

priétés particulières des figures , ne se sont pas occupes , d'une manière spéciale , de rechercher les divers principes que la seule doctrine des projections pouvait fournir ; ce qui fait que 1 pour la plupart 9 ces propriétés auraient pu être établies d'une manière plus générale et plus simple encore , comme on aura lieu de s'en convaincre par la suite.

Un Traité complet sur les propriétés projectives des figures embrasserait , pour ainsi dire , toutes les propriétés particulières et générales de retendue $ aussi voulons-nous borner presqu'uniquement nos recherches aux considérations qui sont relatives à la projection conique ou centrale. Malgré cette restriction 7 qui doit entraîner avec elle toute la généralité possible dans les énoncés, nous aurons lieu de voir que la classe des propriétés projectives , ainsi définies , est encore d'une étendue immense 1 et qu'à cette classe se rattachent les plus anciennes comme les plus intéressantes découvertes géométriques. On doit distinguer sur-tout les recherches qui font le sujet ordinaire de la Géométrie de la ligne droite ou delà règle , et de cette ingénieuse Théorie des transversales 7 dont les principes , aussi simples que féconds , ont beaucoup accru , dans ces derniers temps 7 le champ de la Géométrie spéculative et pratique 7 et mériteraient bien , selon le vœu d'un de nos savans modernes (*) et celui de Tau-

(*) Voyez la note placée au commencement dn beau Mémoire sur Us Polygones et les Polyèdres, par M. PonrsOT, ( Xe. cahier dn Journal de T Ecole Polytechnique ). U serait bien à désirer que le Conseil de perfectionnement de l'Ecole Polytechnique et MM. les professeurs des Collèges fixassent leur attention su» cet objet , beaucoup plus important qu'on ne le pense d'ordinaire, tant a cause des développemens considérables que peut encore recevoir la Théorie des transversales, que parce qu'elle tend à remplir un ride qui se fait de plus en plus sentir dans les Elémens de la science. Nous citerons Tolontiers l'exemple de notre ancien professeur au Lycée de Mets, M. Bàdelle, connu par le grand nombre d'Elèves qu'il a formés pour l'Ecole Polytechnique , et qui, dans ses cours , ne manquait jamais de donner une notion suffisamment approfondie des principes de cette Théorie.

La Théorie des transversales rectilignes et sphèriques vient d'acquérir d'ailleurs un nouveau degré d'intérêt , par le rapprochement qui a été fait entre ses principes et ceux de la composition des forces en Mécanique. M. Coriolis, répétiteur d'Analyse à l'Ecole Polytechnique, a bien voulu m'en faire part dès 1810 , et , sur une simple indication , M. GergoïCNE s'en est servi ensuite pour démontrer les deux beaux théorèmes de la pag. a8o du tom. IX des Annales de Mathématique , dont l'un avait été énoncé seulement par M. Coriolis. Il convient aussi de dire que M. Gergonhb avait déjà appliqué; peu de temps auparavant, des principes semblables à d'antres recherches géométriques.

xxxvj INTRODUCTION.

teur qui les a, le premier, réunis en corps de doctrine, d'être admis au

nombre des Elémens de la Géométrie ordinaire.

Au surplus , la simplicité des considérations mises en usage par la Théorie des transversales , suffirait seule pour faire soupçonner que les Grecs ont dû s'en occuper , si d'ailleurs Pappus, auteur du 4e * siècle, ne nous apprenait, dans la préface du VIIe. livre des Collections mathématiques , qu'EucxiDE avait composé un Traité , en trois livres , sur les Porismes , dont les considérations se rapprochaient probablement beaucoup de celles de cette Théorie et.de la Géométrie de la règle. Au rapport de Pàpptjs, cet ouvrage d'Euclide était plein de génie et d'invention (artificiosissimus) , et fort utile pour la résolution des problèmes difficiles et compliqué? ; il dit que, de son temps , on ne connaissait plus la véritable signification des Porismes, parce que des commentateurs peu instruits les avaient obscurcis et mutilés , pour ne les avoir pas compris dans toute leur généralité , et avoir voulu substituer des démonstrations restreintes à celles de l'auteur. H cherche ensuite à expliquer quel sens l'on doit attacher au mot Porismes; mais cette explication, déjà peu satisfaisante par elle-même , renferme encore des lacunes , et les figures sont perdues.

Les commentateurs modernes, parmi lesquels on doit citer, en première ligne , les Commandin , les Fermât , les Schooten , les R. Simson , ne paraissent guères avoir mieux réussi que Pappus $ et nous croirons volontiers que , de leur temps , la Géométrie n'avait point encore assez fait de progrès : le dernier cependant doit être excepté pour la restitution qu'il a faite de plusieurs propositions dans le genre des Porismes, et dont les énoncés sont mutilés dans le texte de Pappus , grâce à la barbarie des siècles du moyen âge et à l'ignorance des copistes! Pour nous, qui n'avons pas la prétention d'expliquer le sens du texte de Pappus, nous nous contenterons de faire connaître, dans le cours de cet ouvrage , et à mesure que l'occasion pourra s'en présenter , divers théorèmes qui ont dû appartenir au Traité d'EucuDE sur les Porismes et dont Commandin , dans son commentaire sur Pappus , a , mal-à-propos , res-

INTRODUCTION- xxxvij

treint les énoncés , les démonstrations et les figures : nous y ajouterons aussi ceux qui ont été restitués ou indiqués par R. Simson et par les différens géomètres qui , de nos jours , se sont occupés de la Théorie des transversales , et Ton demeurera convaincu , ou du moins Ton inclinera fortement à croire que le traité des Porismes d'EucuDE n'avait guères d'autre objet que ces propriétés générales et abstraites des figures , dont le caractère ne pouvait que difficilement être défini par la langue de la Géométrie ancienne ; en un mot 9 que les Porismes étaient de véritables propriétés projectives , déduites 1 par Etjclide (*), des considérations de la Perspective, qui lui étaient devenues familières , à en juger par un Traité qu'il a publié sur ce dernier objet. On trouve d'ailleurs 5 dans les Coniques d' Apollonius de Perge , plusieurs propositions du même genre , et que nous ferons connaître dans la IIe. section de ce Traité.

Nous aurons aussi l'occasion de voir , au sujet de ces diverses recherches 9 que les Anciens ne s'étaient point bornés simplement aux considérations relatives aux figures planes , et qu'Us avaient également découvert le principe fondamental de la Théorie des transversales sphériques ; que Cl. Ptolémee même , dans son Almageste , en a fait usage pour résoudre plusieurs problèmes d'Astronomie 5 mais notre intention n'est pas défaire ici, en détail, l'his-

(*) Telle parait être austi l'opinion personnelle du savant professeur à l'Ecole jdes ponts et chaussées de France, M. EiSENXAlfN, qui s'est occupé de traduire, dans notre langue, l'ouvrage de Pappus, et qui ne tardera probablement pas a faire jouir les amateurs de l'ancienne Géométrie , de ce fruit de longues et pénibles recherches. Remarquons, à cette occasion, que Ton a généralement tort de croire qu'il ne faille que des connaissances fort ordinaires , en Géométrie , pour lire et comprendre les ouvrages qui nous ont été transmis par les Anciens; tout porte à penser, au contraire, que leurs connaissances en ce genre étaient aussi profondes qu'étendues ; car la plupart de leurs écrits scientifiques ne nous sont connus que par les fragmens imparfaits qui nous restent des Collections de Pappus, qui pourtant n'étaient que de simples Lemmts, de simples éclaircissemens sur certains passages difficiles que présentaient ces écrits, déjà défigurés ou mai compris dès le temps de ce géomètre, c'est-à-dire vers le 4e. siècle de l'ère chrétienne. Il est même à remarquer que ce n'est que depuis peu que Ton est parvenu à restituer quelques-uns des Lemmes de Pappus , et sans doute que plusieurs des résultats géométriques , dont s'honorent les Modernes , ont été pressentis ou parfaitement connus des Grecs. Nous n'en voulons pour preuve que le théorème, sur la cubature des solides, si généralement connu et si mal-à-propos attribué à GuldiN, bien qu'il se trouve énoncé formellement dans les Collections de Pappus.

xxxviij INTRODUCTION.

torique des propriétés projectives , pour lequel on doit beaucoup à M. Brianchon , et nous continuerons , dans ce qui suit , d'en présenter simplement le point de vue général et philosophique.

Desargues , ami de l'illustre Descartes , et dont celui-ci faisait le plus grand cas , comme géomètre ; Desargues qu'on peut appeler , à plus d'un titre , le Monge de son siècle, que les biographes n'ont point assez connu, ni assez compris ; Desargues enfin que des contemporains , indignes du beau titre de géomètre , ont noirci , persécuté et dégoûté , pour n avoir pu se mettre à la hauteur de ses idées et de son génie , fut , je crois , le premier , d'entre les modernes], qui envisagea la Géométrie sous le point de vue général que je viens de faire connaître. Il traita , soit par les considérations de l'espace , soit par la Théorie des transversales , quelques-unes des propriétés des triangles et du quadrilatère , en imaginant , à cet effet , une notation ingénieuse , à l'aide de laquelle il réduisait la multiplication et la division des rapports composés , qui se reproduisent à chaque pas dans cette Théorie , à de simples additions et soustractions de quantités. On peut en voir un exemple dans une petite note placée à la fin de certains exemplaires du Traité de Perspective publié , en 1648 , par Bosse, qui n'était rien moins que géomètre, bien qu'il fut excellent graveur , et qu'il eût reçu des leçons de Desargues.

Descartes écrivait, en janvier 1639, au $ujet d'un papier de Desargues,

• que lui avait transmis le P. Mersemœ : « La façon dont il commence son rai-

* sonnement , en l'appliquant tout ensemble aux lignes droites et aux cour-

> bes , est d'autant plus belle qu'elle est plus générale j et semble être prise

> de ce que j'ai coutume de nommer la Métaphysique de la Géométrie , qui

> est une science dont je n'ai point remarqué qu'aucun autre se soit jamais servi , » sinon Archmède. Pour moi , je m'en sers toujours pour juger en général des » choses qui sont trouvables , et en quels lieux je les dois trouver. » Il ajoute qu on ne doit pourtant pas tellement s'y fier qu'on se croie dispensé de toute espèce de démonstration : que , par exemple , en appliquant les mêmes raisonnemens aux lignes droites et aux courbes , il faut prendre garde qu'il n'y ait rien qui appartienne à leur différence spécifique.

INTRODUCTION. xxxix

II paraît bien évident , d'après cette lettre , que Desargues avait deviné et connu Pextension qu'on pouvait donner aux principes élémentaires de la Théorie des transversales, en les appliquant indistinctement aux systèmes de lignes droites et aux lignes courbes 5 et , en effet , M. Carnot a démontré depuis , dans sa Géométrie de position (Voy. le ch. Ier., sect. II, du présent ouvrage), que la relation entre les segmens , formés sur les côtés d'un triangle coupé par une courbe géométrique d'ordre quelconque , est précisément celle qui a lieu pour un autre triangle coupé par un système de droites en nombre égal à celui qui marque le degré de cette courbe } de sorte que , sous ce point de vue général , le système de deux , de trois , .... droites tracées dans un plan , doit être considéré comme représentant une courbe du 2e. , du 3e. , .... ordre, doit jouir des mêmes propriétés , quant à ce qui concerne la direction indéfinie des lignes et leurs rapports indéterminés de grandeur, propriétés que nous avons ci-dessus caractérisées par l'épithète de projectiles»

Au surplus , il ne paraît pas que Desargues ait rien écrit sur les courbes d'ordre supérieur , et qu'il ait envisagé la question dans toute sa généralité ; il est, au contraire, raisonnable de croire qu'il s'est contenté d'examiner le cas où la courbe est simplement une section conique , pour lequel le théorème de M. Carnot peut se démontrer directement et d'une manière purement élémentaire. C'est ce qu'on voit par une autre lettre de Descartes , où il est question d'un projet de Traité des sections coniques dont s'occupait Desargues, et dans laquelle, tout en louant ce dernier sur le but qu'il cherchait à remplir , il le blâme d'avoir voulu refaire la langue de la Géométrie ancienne , et d'avoir employé des termes nouveaux , dans l'invention desquels il reconnaît pourtant « de l'esprit et de la grâce ». On voit aussi , dans cette lettre, que Desargues avait coutume de considérer les systèmes de droites parallèles comme concourant à l'infini , et qu'il leur appliquait le même raisonnement ; sur quoi Descartes fait des réflexions analogues à celles que nous avons déjà rapportées ci-dessus.

Nous citons d'autant plus volontiers ces passages des lettres de Descartes ,

xl INTRODUCTION.

qu'ils montrent qu'à une époque où la Méthode des coordonnées venait à peine de naître , Desargues cherchait à imprimer aux conceptions de la simple Géométrie , une généralité qu'elle n'a reçue que beaucoup plus tard , et par le concours d'un grand nombre de savans géomètres.

Quant au Traité des sections coniques , dont parle Descartes , il paraît être le même que l'écrit qui a été publié en 1639, sous le titre de : Brouillon-Projet d'une atteinte aux e'vénemens des rencontres du cône avec un plan , etc. ^ ouvrage que nous ne connaissons que par la critique, fort amère et fort peu lumineuse , qui en a été faite par Beaugrand , dans une lettre imprimée qu'on trouve encore à la Bibliothèque du Roi , et qui est loin , sans doute , de pouvoir fixer nos idées sur l'esprit de la méthode employée par Desargues* Nous ferons connaître , au commencement de la seconde section de cet ouvrage , le peu que nous a transmis Beau grand sur cet écrit de Desargues , et Ton verra qu'il devait briller partout des traits de l'originalité et du génie.

Pascal , qui n'avait encore que seize ans , et qui déjà comptait parmi les plus grands géomètres de son temps , guidé d'ailleurs par les préceptes et l'exemple de Desargues , comme il a soin de nous l'apprendre lui-même , fit paraître en 1640, c'est-à-dire peu de temps après l'écrit de ce dernier, son Essai pour les Coniques : c'est une notice très -courte , remarquable par l'usage que Pascal y fait des considérations de la perspective ou projection centrale , et par un passage où , en donnant les plus grands éloges à Desargues , il dit que ce géomètre, dans la méthode qu'il avait suivie, traitait généralement des sections du cône , sans se servir du triangle par Taxe. Parmi plusieurs propositions dans le genre de celles de la Géométrie de la règle et de la Théorie des transversales, cet Essai renferme l'énoncé de la propriété de l'hexagone inscrit aux coniques , attribuée à Desargues par Descartes , et que Pascal a ensuite employée sous le nom $ Hexagrammum mysticum , dans un Traité inédit sur les sections coniques , que Leibnitz a eu entre les mains , lors de son séjour en France, en 1676, et dont ce grand homme nous a transmis une analyse très-succincte , qui est tout ce qui nous reste de cet ouvrage de Pascal*

INTRODUCTION. xlj

A en juger par les titres des six livres dont il était compose (*) , cet ouvrage , beaucoup plus étendu que celui de Desargues, sur le même sujet, devait renfermer les plus belles des propriétés projectives des sections coniques , aujourd'hui généralement connues des géomètres ; et , en effet , elles ne sont , pour la plupart , que des corollaires fort simples de Phexagramme mystique , qui lui-même n'est qu'une extension du Porisme de Papptjs , ou plutôt d'EucuDE , sur l'hexagone inscrit à Pangle formé par deinç droites. Quelle fatalité a donc fait disparaître ces productions de trois hommes doués d'un génie également original et profond ?

Dans un autre écrit, qui porte la date de i654, Pascal fait encore mention de son Traité complet des sections coniques, en rendant compte de plusieurs ouvrages dont il s'était occupé , et dont il se contente simplement de rapporter les titres. Parmi ces recherches de Pascal 7 nous ne citerons ici que celles qui sont relatives aux Contacts des sections coniques 1 aux Lieux plans et à la Perspective, qui , d'après ce qu'il en dit lui-même (**) 7 devaient être traitées avec une grande généralité , et par des principes tout à fait différons de ceux jusque-là mis en usage , soit par les anciens , soit par les nouveaux géomètres. *Nav,

L'éditeur des Œuvres de Pascal , que Ton croit être M. l'abbé Bossut , pensait, d'après les progrès qu'avaient faits toutes les branches des sciences exactes depuis ce grand homme , que Ton ne devait pas beaucoup regretter la perte des divers ouvrages que nous venons de rappeler $ nous croyons que

(*) Nous transcrivons ici ces titres , d'après la lettre de LeibWitz , insérée dans les Œuvres de Pascal (tom. 4, Ed. de 1779), et dont la date est du 3o août 1676: .

I. Generatio coni sectionum tangentium et seeantium , swe projectio peripherim tangentium et seeantium circuit, in quibusounque ocuti, plaid ao tabellœ positionibus. II. De hexagrammo mystico et conico. III. De quatuor tangentibus ,et redis puneta tactitum jungentibus} undè rectarum harmonica sectarum et Oametrorum proprietates oritmtur. IV. De proportionibus segmentorum seeantium et tangentium. V, De tactionibus conicis , swe de punctis et rectis quas sectio oonica attingit. VI. De loco soliâo.

(**) LOCZ PZANI : Non solùm Uli quos à veterîbus tempus abripuit , nec solùm illi quot hit restitutis pefiltustris hujus ceci geometra subjunxit , soi et aUi hue usque non noti, utrosque complectentts , et multo tatius exubérantes, methoJo, ut conjicere est9 omninà nofié, quippe nopâ profitante, *id tamen longé breviori. PBRSPBCTIKA METHODUS, etc.

xlij INTRODUCTION.

bien peu de personnes , qui aiment à suivre la marche progressive de nos idées et de nos découvertes en Géométrie , seront de cet avis , sur-tout si elles se reportent à l'époque où écrivait ce stvant éditeur ; nous croyons , en outre , qu'on vous pardonnera aisément les détails dans lesquels nous sommes entrés , et qu'on ne les trouvera pas dénués de tout intérêt.

Après Desàrgtjes et Pascal , il s'écoula un grand nombre d'années , sans qu'il parût rien , sur les propriétés projectives des figures , qui soit digne d'être cité ou qui fut véritablement neuf. En effet 9 l'ouvrage de Grégoibe de St.- Vincent, intitulé : Opus geometricum , et qui parut en 1647? ne renferme, en ce genre , que quelques théorèmes relatifs à la division harmonique des lignes droites , qu'il nomme moyenne et extrême raison proportionnelle; et ces théorèmes se trouvent exposés , pour la plupart , dans les Collections de Papptjs; on en peut dire à peu près autant du Traité in~4°* des sections coniques que De Lahuie fit paraître en 1673, et qui contient presque toute la Théorie des pôles et des polaires des lignes du second ordre, outre celle de la division harmonique des lignes droites , mais d'après une marche dénuée entièrement d'élégance et de généralité. De Làhire écrivait peu de temps après Desargues et Pascal , et il cite , dans sa préface , les écrits du premier; il a donc dû connaître plusieurs des beaux résultats auxquels ils étaient parvenus ; son travail , qui fit beaucoup de bruit dans le temps , "Sur-tout à l'étranger , doit ainsi être placé bien au-dessous de celui de ces illustres géomètres , tant pour l'invention que pour l'exposition , et parce qu'il n'est point , à beaucoup près 9 aussi complet et aussi étendu que le leur $ sous ce rapport même , on peut dire que cette partie de la science avait rétrogradé.

Ce ne fut que vers le commencement du siècle suivant, c'est-à-dire de 1720 à 1 75o , que le célèbre Màc-Laurin , reprenant le travail de De Làhire 7 retrouva , sans doute (*) sans avoir eu connaissance des écrits de Desàrgtjes et de

(*) MAC-£AT7am bous apprend, m sujet de la dispute qui s'est eleree eatrt lui et Beàixihhidoi , dans les Transaction* philosophiques de vfib , que c'est pendant son séjour à Nancy, en noreinbre 17 m, qu'il entreprit ces recherches*

INTRODUCTION. xKij

Pascal, les principaux théorèmes qui avaient dû les occuper) notamment la propriété de Fhexagramme mystique j il en découvrit en outre plusieurs autres , d'un genre analogue , soit sur les sections coniques , soit sur les courbes d'ordre supérieur, et il indiqua même des moyens pour décrire , par points , ces différentes courbes. On remarquera toutefois que sa méthode est inférieure à celles de ces géomètres, en ce qu'il emploie souvent le calcul algébrique , et qu'il ne fait jamais usage de ces considérations générales fournies par la Perspective ou par la Théorie des transversales.

Nous ne croyons pas nécessaire de faire connaître la multitude des ouvrages , sur les sections coniques , qui , depuis Mag-Iaurin , ont paru soit en Angleterre , soit en Suède, soit en Allemagne, et dans lesquels les recherches de ce géomètre ont été reproduites , souvent par des voies pénibles , quelquefois d'une manière incomplète , et presque toujours sans rien y ajouter qui soit bien digne d'intérêt. Braikbnridge et R. Simson , qui écrivaient à-peu-près en même temps que MaoLaukin, doivent cependant être exceptés, tant parce

qu'il est encore douteux que le premier ait eu connaissance des travaux de ce géomètre , qu'il a même devancé dans la publication , que parce que l'autre a découvert ou restitué plusieurs théorèmes des Anciens , qui ont pu ouvrir la voie à MaoLaubih pour des recherches plus relevées. Le Traité des sections coniques i que R. Simson a fait paraître à Edimbourg, en 1750, et dans lequel se trouvent exposées plusieurs des propriétés projectives , soit graphiques , soit métriques, qui ont occupé Desargues , Pascal et Mac-Laurin , est d'ailleurs remarquable par la rigueur des démonstrations, toutes à la manière d'ËucunE et d'Apoixomus. Enfin on doit encore distinguer le célèbre Lambert qui , dans un Traité de Perspective, publié en 1774 , employa le premier, depuis Desabotes et Pascal , les considérations générales de cette Théorie pour établir plusieurs propondons élégantes dans le genre de celles de la Géométrie de la règle , et qui sentit ainsi , jusqu'à un certain point , les ressources qu'on pouvait tirer de ce genre de considérations.

On avait entièrement oublié ces sortes de recherches en France, où les es-

xliv INTRODUCTION.

prits se trouvaient naturellement dirigés vers des spéculations plus relevées, mais non plus intéressantes , ni plus immédiatement utiles , lorsque Monge , dans son immortelle Géométrie descriptive, démontra, avec cette élégance qui lui est propre , les principales propriétés de la Théorie des pôles des lignes et des surfaces du second ordre. Bientôt après parut la Géométrie de position de M. Caknot , qui renferme , à-peu-près , tous les résultats auxquels ont dû parvenir Eucude , Desàrgues et Pascal , et où se trouve exposée , pour la première fois et dans toute sa généralité , cette belle Théorie des transversales dont nous avons déjà si souvent parlé dans ce qui précède , et dont les Anciens n'avaient fait qu'entrevoir les principes et la fécondité.

Ce savant ouvrage fut aussiôt suivi de plusieurs autres , où Ton s'attache à amplifier et à étendre les mêmes doctrines. Telles sont les Solutions peu connues de differens problèmes de Géométrie pratique , publiées en i8o5, par M. Servois ; ouvrage vraiment original , et qui a le mérite d'offrir les premières applications de la Théorie des transversales à la Géométrie de la Règle ou des Jalons , et d'avoir ainsi mis au jour la fécondité et l'utilité de cette Théorie. Telles sont aussi les recherches ingénieuses de M- Bmanchon , qui étendit les théorèmes de Monge et de Ltvet , sur les pôles et polaires des surfaces du second ordre , et découvrit la propriété de l'hexagone circonscrit aux coniques , non moins féconde et non moins élégante que celle de Pascal sur l'hexagone inscrit. Tel est enfin YEssai même, de M. Cabnot , sur la Théorie des transversales y ouvrage dans lequel l'auteur, mettant à profit ses propres découvertes et celles des savans qui viennent d'être cités , offre un résumé lumineux des divers principes élémentaires et des applications de cette Théorie.

Depuis cette époque , beaucoup d'autres géomètres, dont les noms ont déjà été rappelés plus haut , se sont occupés des mêmes questions et des mêmes théories, soit dans les Recueils de l'Ecole Polytechnique,, soit dans les Annales de Mathématiques; mais il n'en est aucun qui ait autant fait pour elles que M. Brianchon, Son Mémoire sur les lignes du second ordre, publié en 1817, celui, sur les courbes de raccordement , qu'il a inséré tout ré-

INTRODUCTION. xlv

cémment dans le XIXe. Cahier du Journal de V Ecole Polytechnique , etc. y renferment , outre plusieurs principes nouveaux sur les sections coniques et les systèmes de lignes droites , la solution générale et purement géométrique de cette intéressante question : Décrire une section conique assujettie à touclier des droites ou à passer par des points 1 donnés sur un plan? Ce qui, en admettant que certains points ou certaine droite puissent se trouver à l'infini , comprend implicitement toutes les questions analogues relatives à l'hyperbole et à la parabole , comme Fa fait voir lui-même M. Brian chon , aux endroits cités, et comme Ta aussi montré, d'après ses indications, M. Coste, dans un Mémoire sur la parabole , inséré au VIIIe. volume des annales de Mathématiques.

U convient , au surplus , de remarquer que plusieurs de ces questions avaient déjà été traitées , d'une manière à-peu-près semblable pour quelques-unes de celles qui n'exigent que la règle , et d'une manière beaucoup moins simple et moins élégante pour quelques autres , d'abord par De Lahire , ensuite par Mac-Laurin , Braikenridge , Simson , etc. Pascal paraît avoir résolu aussi les mêmes problèmes dans ses écrits géométriques (voy • la note de la pag. xlj ) , mais il ne nous en est absolument rien parvenu.

Quant à ce qui concerne l'histoire des recherches entreprises par les géomètres sur les propriétés projectives des figures à trois dimensions , nous nous contenterons de signaler celles de Monge sur les diamètres conjugués parallèles , l'intersection et le contact des surfaces du second degré ; celles de MM. Dupub , Dura*,. Gaultier, Gergontœ , etc . sur les propriétés générales des cercles et des sphères qui se coupent ou se touchent 5 celles, sur les propriétés analogues des surfaces du second degré semblables et semblablement placées , quTon doit à M* Chasles , qui a mis en œuvre , d'une manière très-heureuse , les principes de la Théorie des transversales , pour démontrer la plupart des théorèmes de Monge 5 celles enfin de M. Lamé , sur les surfaces du second ordre assujetties à passer par les mêmes points ou par les mêmes courbes. Nous avons d'ailleurs déjà dit un mot de quelques autres recherches semblables , par MM. Mokge ,

xlvj INTRODUCTION.

Livet, Dura , Brunchon et Chàsles } tel est donc l'ensemble , assez vaste , des découvertes géométriques qui se rapportent spécialement aux propriétés projectives des figures , considérées soit dans l'espace , soit dans un plan.

Dans une analyse aussi succincte , et pourtant déjà bien étendue 7 il a dû nous échapper beaucoup de choses 7 et il ne nous a guères été possible d'indiquer 7 avec précision , la nature et l'époque des diverses découvertes ; encore moins avons-nous pu faire connaître Pesprit des méthodes employées par les différais géomètres ; nous avons dû nous étendre principalement sur les ouvrages peu connus , ou dont il ne nous reste que quelques traces ; en un mot sur les ouvrages des hommes de génie , qui marquèrent nos premiers pas dans cette partie de la science où Ton envisage les relations les plus générales et les plus abstraites des figures*

D'ailleurs le but de l'ouvrage que nous tnettons au jour, est d'offrir un tableau , sinon complet , du moins assez étendu 7 des propriétés projectives ; et nous saisirons toutes les occasions, qui pourront s'offrir, de signaler les premiers inventeurs. Cet^ ouvrage sera donc véritablement un exposé historique et scientifique de cette branche intéressante de la Géométrie. Nous regrettons toutefois que le défaut d'espace ne nous permette pas d'y faire entrer nos recherches relatives aux propriétés projectives des courbes géométriques des divers ordres , et nous oblige d'en renvoyer la publication à une époque plus reculée : cet ensemble , plus complet , aurait montré qu'il est peu de propriétés générales de l'étendue qu'on ne puisse ramener dans le domaine de la simple Géométrie , au moyen des ressources offertes , soit par la doctrine des projections , soit par loi de continuité.

PROPRIETES

PROJECTIVES.