PRINCIPES GÉNÉRAUX

- jlL n'en est pas de la méthode purement géométrique comme de celle de F Analyse des coordonnées; dans celle-ci toitf se ramène immédiatement à des principes connus , à* des procédés uniformes de calcul , et il ne reste à celui qui remploie qu'à développer les conséquences d'une manière plus ou moins élégante et rapide j dans l'autre 9 au contraire , les principes peuvent entièrement manquer 7 au moins ceux d'où découlent , d'une manière directe et immédiate , l'objet particulier que l'on a en vue 5 et , pour remplir les lacunes , on se voit quelquefois obligé , après plusieurs essais , de reprendre les choses d'un peu haut pour se frayer une rojite qui soit facile. Tel est précisément le cas des recherches qui suivent 5 comme elles se rattachent nécessairement à des notions jusqu'ici étrangères à la simple Géométrie , nous nous voyons entraînés naturellement à exposer d'abord ces notions, pour parvenir ensuite , d'une manière à la fois rapide et simple , à l'objet particulier et véritable de ces mêmes recherches. Voilà pourquoi 7 après avoir exposé dans le premier chapitre de cette section les notions préliminaires concernant la projection ou perspective des figures en général 9 nous laisserons là ce sujet pour ne nous occuper , dans le chapitre suivant , que des notions relatives à la manière d'être de certaines lignes particulières 5 notions sur lesquelles reposent , de toute nécessité , les principes de projection qui doivent former la base de tout l'ouvrage. Si cette marche n'a pas l'avantage d'être aussi directe qu'on pourrait le

a PROPRIÉTÉS PROJECTIVES.

désirer, elle nous fournira, en revanche, l'occasion de présenter, sur les dépendances qui lient entre elles les lignes droites et les sections coniques, un grand nombre de considérations nouvelles, qui nous ihettront à même de généraliser le langage et les conceptions de la Géométrie 5 ce qui n'est pas le but le moins important que nous ayons cherché à atteindre dans ce travail.

Au reste , ayant principalement pour objet Pexamen des propriétés des figures décrites sur un plan , et notamment de celles où n'entrent que des systèmes de lignes droites et de sections coniques , qui offrent par elles-mêmes un assez vaste sujet de recherches , et sont d'ailleurs presque les seules employées dans les arts fondés sur le dessin linéaire , nous ferons toujours en sorte de ne jamais perdre de vue ce but véritable de notre travail, et de ne recueillir sur notre route que des vérités qui s'y rattachent de la manière la plus intime.

D'après cela , il ne sera guères question , dans cette première partie de Fou— vrage, que des notions qui peuvent appartenir en propre à ces sortes de figures , quoique la plupart d'entre elles puissent s'étendre , d'une manière analogue , aux figures dans l'espace et notamment aux surfaces du second ordre. On aura lieu de s'apercevoir d'ailleurs, qu'au moyen des principes établis, cette extension devient assez facile et assez évidente , pour que nous puissions laisser à d'autres le soin de la développer, et nous renfermer dans les justes limites du sujet que nous voulons traiter. Néanmoins , dans les autres parties de l'ouvrage , qui concernent proprement les applications des principes renfermés dans la première , il nous arrivera quelquefois d'indiquer, chemin faisant, soit par des notes, soit d'une manière très-rapide dans le texte lui-même, l'extension dont pourraient être susceptibles certaines propositions ou certaines théories particulières, relativement aux figures considérées en général dans l'espace. Enfin nous donnerons , dans le supplément , une idée assez étendue de la manière dont on doit traiter ces sortes de figures, et notamment les surfaces du premier et du second ordre , pour arriver aux principales comme aux plus importantes des propriétés qui les concernent.

Pour éviter toute espèce d'ambiguïté par la suite , nous croyons devoir prévenir expressément , avant d'entrer en matière , que les droites , les courbes , les plans , etc. , dont il sera fait mention dans le cours de ce travail , seront supposés indéfiniment prolongés dans l'espace ; le discours fera connaître les cas ou Ton n'en considérerait qu'une portion terminée et finie. Ainsi, quand il sera question des points de rencontre de certaines cordes inscrites à des

SECTION I. CHAPITRE Ier. 3

courbes <, ou de certains côtes d'un polygone avec une ligne ou transversale quelconque , nous entendrons toujours parler de la direction indéfinie de ces cordes et de ces côtés ; il est sans doute inutile d'ajouter que nous donnerons au mot de polygone toute retendue de sens qu'il comporte , et que par conséquent une telle figure pourra avoir des angles rentrans et des côtés qui se croisent ou se replient les uns sur les autres.

Par ligne géométrique d'un certain degré on d'un certain ordre, nous entendrons d'ailleurs parler d'une ligne , plane ou à double courbure , qui ne puisse être coupée par une droite ou par un plan arbitraire en un plus grand nombre de points qu'il est marqué par ce degré ou cet ordre, et qui puisse cependant l'être en un tel nombre de points : la même définition devra s'étendre d'une manière analogue aux surfaces.