Pour compléter l'analogie entre les deux relations

on peut remarquer qu'elles éprouvent dans leurs termes les mêmes variations de signes pour les mêmes changements de position des points qui leur correspondent.

Supposons, par exemple, que dans le cas de la division harmonique i^g' i) le point P passe, d'un mouvement continu, de la gauche à la droite de A : à l'instant où la distance PA deviendra nulle, le segment QA devra (1) l'être aussi, dé même que PQ; par conséquent le point Q passera, à son tour, de la droite à la gauche du point A, et les distances PA, PQ, ayant changé de sens, devront changer en même temps de signe dans la relation ci-dessus, qui deviendra ainsi

""PQ~"2\,""PA"^PB/ ^" PQ~iVPÂ""PB;

pour le cas où le point P aurait pris la place du point Q, et réciproquement. C'est en effet ce dont on peut s'assurer directement à l'aide de la relation primitive; car, en la mettant sous cette forme

QA P Q — QA UB-pQ-t-QB' on en tire

)P~2(qa qb)'

QP

résultat qui tient d'ailleurs à ce que d'après la définition ci-dessus (1) les points Q et P jouissent de propriétés réciproques à l'égard de A et de B. D'après cela, on voit que la règle des signes, pour la relation harmonique,

est que, en considérant toujours comme positif le terme ^^^ les termes r^^^^y

qui entrent dans le second membre de cette relation, devront être affectés du signe 4- ou du signe — , selon que y par rapport à t origine P, les points auxquels ils répondent seront placés du même côté que le point Q ou d!un côté diffèrent; or c'est ce qui a lieu précisément {fig. a) dans la relation

pQ = i(/>A-i-pB).

Donc la même règle des signes est applicable à ces deux espèces de relations, et par conséquent elles conserveront une forme semblable pour la même dis-

îîi THÉORIE GÉNÉRALir

position des points k l'égard des origines P et p auxquelles elles se rapportent; seulement, en conservant ces points A etB, on ne saurait changer, dans le cas de la division harmonique, l'origine P sans que le point Q change en même temps, au lieu qu'il reste fixe dans celui de la division en parties égales.

7. Les choses ainsi entendues, supposons {fig. i) qu'on divise en deux parties égales, au point Q,, la distance PQ moyenne harmonique entre PA et PB; on aura donc