PQ""PQ.""PA"^PB

et, par conséquent, si l'on mène par le point P une suite de transversales PAB, PA^B'',..., dans l'angle ASB, puis qu'on prenne, sur chacune d'elles, des points Qi, Q'^,.,., tels qu'on ait, eu égard à la règle des signes posée cidessus,

les points ainsi définis seront (2 et 5) sur une droite QiQ'i, parallèle a l'axe SQ des moyennes harmoniques des côtés de l'angle ASB, et passant par ses points a et 6 où chacune des parallèles Pa, Vh à l'un de ses côtés rencontre l'autre. Car, pour ces positions particulières de la transversale PAB, ou PA"B", le point Qi, ou Q% se confond avec Tun des points correspondants A ou B, d'après la relation ci-dessus, attendu que l'un des segments correspondants devient infini.

Or, de làrésulte un moyen, indiqué parMac-Laurin, pourconstçqire directement le point QiQ^j lorsqu'on connaît les points P, A etB. Quant au centre Q des moyennes harmoniques, il est plus simple et plus élégant de le déterminer à l'aide du procédé suivant, qui n'exige que l'emploi de la ligne droite ou de la règle : ayant mené par l'origine P des segments harmoniques, une transversale arbitraire PA"B" dans l'angle des projetantes SA, SB, on joindra, par de nouvelles droites AB^ BA'\ les points ainsi obtenus sur ces projetantes avec les points donnés A, B, et le point S' de leur intersection appartiendra à la projetante SQ du point Q cherché. Il est visible, en effet, que si l'on substitue l'angle AS'B à l'angle ASB, et la droite PS' à la droite PS, l'axe des moyennes harmoniques (5) de cet angle par rapport à P, et qui renferme nécessairement Q et Q", devra aussi passer par le sommet S' et se confondre par conséquent avec celui SQ de l'angle ASB; on conclurait d'ailleurs la même chose en observant que la figure peut être mise en pro-

DES CENTRES DE MOYENNES HARMONIQUES. i3

jectioD ou perspective sur un nouveau plan, de façon que P passe à TinSni ou que les droites PAB, PA''B" deviennent parallèles, et c'est ainsi que nous avons démontré cette proposition généralement connue, à Tarticle 154 du tome V du Traité des Propriétés projectiles.

8. Considérons maintenant une droite af [fig. 3), divisée en un nombre quelconque de parties égales aux points b, c, d, e,...; le pointa l'infini de cette droite pourra être regardé (1) comme l'origine commune des segments harmoniques relatifs à trois points de division consécutifs quelconques, en y comprenant les points extrêmes a et/; donc (2), si l'on projette le système de tous ces points sur une droite arbitraire a'f en a\ h\ c\ d\ e\f\ il en sera de même du point/?' qui est la projection du point à l'infini de q/*, à l'égard de trois points de division consécutifs quelconques de a'/'; c'est-àdire que les segments relatifs \p et à ces points formeront une proportion harmonique; donc la suite de tous les segments /?a',/?6',/7c',prf',...,^, formera une proportion harmonique continue^ et l'on pourra dire, avec M. Brianchon {Application de la Théorie des transversales y etc., § 68), que ces segments forment une progression harmonique.

Pour justifier davantage encore cette expression, nous remarquerons que, d'après l'article 2 et les articles suivants, il doit régner entre les réciproques des segments harmoniques qui répondent au point p' et aux différents points de division de a'/^, la même relation qu'entre les simples distances d'un point quelconque /? de qf, aux différents points de division a^ b,c, ...,/; mais ces dernières forment une progression arithmétique, donc il en est de même des réciproques qui leur correspondent.

En effet, on aura pour la droite a/ et le point arbitraire/? :

'îpb=pa-hpC9 2pc = pb-\-pd, 2pd=pc-hpe,. . ., ou

pb — pa=pc — pb = pd — pb=pe — pd,. . .,

comme aussi l'on a (3), pour la droite qf' par rapport à l'origine des divisions harmoniques /?%

jV'^Y^^Yd' yd~pv^'fd'^ 7rf^"~7?"^^'"*'

ou

yb'^y^''^jd''pV'^Yd' p'vji' p'd'^'"

9. Il résulte de ce rapprochement, en particulier, qu'on pourra calculer

i4 THÉORIE GÉNÉRALE

un terme quelconque de la progression harmonique, par les mêmes règles que Ton calcule un terme de la progression arithmétique, au moyen des extrêmes, quand son rang est assigné.

Supposons, par exemple, que la droite a/* soit divisée en m + n parties égales aux points 6, c, rf,..., et qu'il y ait par conséquent m -i- n -h i segments /?a, pby pcy...^ pf correspondants au point arbitraire />; proposonsnous de rechercher le segment pd du point ^ qui appartient àlan"*"' partie à compter de a: nous aurons, dans le cas dont il s'agit, des divisions égales,

pd = pa^ad = pa + j^^af=pa-^j^^(pf-^^^^

ou

pd = ; — pa H ; — p/= — ; — Impa -f- npf)\

^ m-hn^ m-hn'^^ m-^-n^ '^ '^ '

donc on aura aussi, dans le cas de la division harmonique, c'est-k-dire pour

la perspective a'/',

relation qui, en vertu de la continuité, doit même s'étendre au cas où les nombres m et n sont incommensurables entre eux, et qui servira immédiatement à résoudre tous les problèmes analogues à ceux où il s'agit de diviser des distances en parties proportionnelles à des nombres donnés. On voit, en outre, qu'elle a une forme tout à fait semblable à celle (3) qui concerne la simple division harmonique de a'f en p' et d' ; si l'on y suppose en effet m et n égaux à l'unité, on retombera sur celle dont il s'agit. C'est pourquoi on pourrait dire que le segment />'rf', relatif au point de division d\ est moyen harmonique entre les segments/?' a' et/?'/' pour les coefficients m et n, et que le point d' lui-même est le centre des moyennes harmoniques de a' et/' relativement à/?' et à ces mêmes coefficients.

Enfin il résulte encore de ce qui précède que les points extrêmes d et/' d'une échelle harmonique étant donnés, ainsi que le nombre des parties dont elle se compose et l'origine/?' des segments harmoniques, on pourra construire successivement, à l'aide du calcul et sans recourir à l'échelle des divisions égales afy l'échelle harmonique dont il s'agit, à laquelle son usage dans la perspective a fait donner le nom à' échelle perspective ou fuyante (*).

( * ) Je ne crois pas que ces dernières propriétés de l'échelle harmonique aient encore été remarquées des géomètres; elle en possède quelques autres intéressantes, auxquelles les précédentes nous conduiraient aisément, mais dont Texamen nous écarterait de notre objet. On peut consulter, à cet égard, le Mémoire de M. Brianchon, déjà cité art. 8.

DES CENTRES DE MOYENNES HARMONIQUES. i5

10. On déduirait beaucoup d'autres conséquences remarquables de ce qui précède; nous nous contenterons d'observer que, pour se construire une échelle harmonique sur un dessin, ou pour diviser une ligne df en un certain nombre de parties harmoniques par rapport à un point quelconque /i' pris pour origine et qu'on nomme quelquefois /?oi/U défaite dans les Traités de perspective, il n'est point indispensable de recourir au calcul, comme nous venons de le faire, ni même de construire d'abord une échelle^ordinaire de parties égales comme l'indique la^?^. 3; des opérations purement linéaires, ou qui s'exéctftent avec la règle seule, suffisent pour atteindre le même but.

Remarquons d'abord que, quand une droite a'f est divisée en parties harmoniques aux points h', c\ d\ e',..,, par rapport à un point p qui sert d'origine aux segments harmoniques, la même chose aura lieu encore (2 et 8) dans toutes ses projections centrales ou perspectives sur une autre droite quelconque; c'est-à-dire que, quel que soit le centre de projection ^ que l'on ait choisi en particulier, si l'on coupe le fai^iceau des projetantes sp\ sa\ sb\..., sf qui lui correspondent par une droite arbitraire, le système de points qui en résulte forme encore une échelle harmonique ayant pour origine le point répondant à p'\ c'est-à-dire, en un mot, que l'échelle harmonique est projectile. Si, de plus, on prend pour transversale une droite a/* parallèle à la projetante sp\ ou que l'origine des segments harmoniques passe à l'infini dans la projection, l'échelle harmonique se changera en une échelle ordinaire de parties égales (2 et 8).

11. Supposons donc (y!g. 4) que a' et &' étant les deux premiers points de division d'une échelle harmonique, eip l'origine des segments harmoniques ou \epoint de/uite, il s'agisse de construire successivement toutes les autres parties de l'échelle, prolongée de part et d'autre de a' jusqu'à l'infini : on tirera arbitrairement les deux droites pe'\ p$'' par le point/?, et l'on joindra, par d'autres droites a"b\ a''a\ un point quelconque a" de pe" aux points donnés a' et b'; ces droites iront déterminer sur ^5" deux points s' et s\ dont on se servira ainsi qu'il suit pour construire l'échelle harmonique a'b'&d'.,..

On tirera s^b^ qui rencontrera /?e^ en 6"; traçant ^'ô", elle ira rencontrer pf au 3* point de division harmonique &; traçant ensuite &$'\ elle rencontrera />e" en (f, et ^d' ira construire le 4* point de division d'\ il est évident que l'on pourra poursuivre cette opération à volonté, soit à droite, soit à gauche du point a', ce qui donnera l'échelle harmonique demandée a', b\

(* ) Ces constructions sont entièrement analogues à celles que M. Briancdon a données pour la

i6 THÉORIE GÉNÉRALE

En effet, si Ton met la figure en projection sur un nouveau plan parallèle à ps^s^\ c'est-à-dire tel, que cette droite passe à Tinfini, les quadrilatères dh'h'd'y h'c!b"d\...y seront des parallélogrammes, et par conséquent la droite a'/' sera une échelle ordinaire de parties égales pour la nouvelle figure, de sorte qu'elle en est une de parties harmoniques pour l'ancienne.

12. Supposons maintenant que, s'étant donné une distance quelconque af, il s'agisse de la diviser en un certain nombre de parties harmoniques relativement au point quelconque p pris pour origine : on tracera arbitrairement une droite pf passant par/?, et l'on construira, comme ci-dessus, une échelle harmonique quelconque a'b'c'd!.../' par rapport à ce point, mais dont le nombre des divisions soit précisément celui des parties qu'on veut obtenir sur af. Cela posé, on tracera les droites aa!^ ff qui, par leur intersection, donneront le point ^, dont on se servira pour projeter les points de division de l'échelle olf sur af. Il est évident, en effet, qu'à cause que la relation harmonique est projective, les points 6, c,..., ainsi obtenus, seront les points demandés.

Mais si, le nombre de parties harmoniques de a/*étant m -i- /i, on demandait simplement le point d qui appartient à la n^^^^ partie, comme dans le problème ci-dessus (9) résolu à l'aide du calcul, ayant d'ailleurs construit l'échelle harmonique a'/', il n'y aurait autre chose à faire qu'à projeter le j^ihmt pQÎut dg division d' en rfsur a/", à partir de s.

Ces dernières considérations, quoiqu'elles nous aient un peu écarté de notre premier objet, nous seront néanmoins utiles pour ce qui concerne la partie des applications.

Du centre de moyenne harmonique de points quelconques rangés en ligne droite.

13. Jusqu'ici nous nous sommes bornés à comparer la division en parties égales à celle en parties harmoniques; maison peut étendre plus loin l'objet de ces définitions, en observant, en général, que toutes les relations ou propriétés qui ont pour fondement la division en parties égales doivent pou-

division d'une distance en parties égales dans les Applications de la Théorie des transversales (voyez §§ 5i et 62); mais, dans ce cas, elles ne peuvent s'effectuer uniquement avec la règle ou des alignements.

voir se convertir en des relations ou propriétés analogues de la division harmonique; or de cette nature sont évidemment toutes celles qui concernenles centres de moyennes distances.

Soient, par exemple, a, 6, c (/^.5) trois points quelconques situés en ligne droite; soit q le centre des moyennes distances de ces points, p un point quelconque pris pour origine des segments : on aura, comme on sait,

pa-hpb-h pc

pourvu qu'on ait égard à la règle des signes posée ci-dessus (6). Projetons les points a, i, c, q sur une droite quelconque a'd\ à partir d'un point arbitraire 5, et soient a', b', c\ q* les points de la projection : on peut se demander quel rôle le point q' jouera par rapport aux points a', b\ c'. Or, je dis qu'en nommant z^' le point qui représente, sur aV, celui à l'infini de ad, et dont la projetante sp' est ainsi parallèle a ad^ on aura

toujours en ayant égard à la règle des signes qui vient d'être indiquée.

Pour le prouver, il nous suffira de rechercher la manière dont on peut obtenir les points q et q' au moyen de ceux dont ils dépendent respectivement.

Pour le point q, il faut, comme on sait, prendre le milieu x de ab, puis diviser ex en trois parties égales, et prendre le premier point de division q, à partir de a?, pour le point demandé ; en eiTet, on aura

.1, , ipx-\-pc pa-hpb-hpc

pq = px-^:^{pc—px)= ^^ r = r , r^ — il..

Or, pour obtenir ce qui concerne le point q' de la projection, il suffira évidemment de remplacer la division en parties égales par la division harmonique, en prenant/)' pour origine; c'est-à-dire (3 et 9) que, dans les relations ci-dessus, il faudra simplement remplacer les segments qui se rapportent au point arbitraire /> par les réciproques de ceux qui répondent au point/?', projection de celui à l'infini de ac; on aura donc

Ce qui précède montre aussi, d'après l'article 12, comment il faudrait s'y IL 3

prendre pour construire directement le point ^f' avec la règle, et sans recourir à la division en parties égales qu'indique la figure.

14. Le cas où Ton remplacerait les trois points a, 6, c par quatre points quelconques serait encore plus facile à établir. En effet, s'il s'agissait d'obtenir leur centre de moyennes distances, il suffirait évidemment de prendre le milieu ou le centre des moyennes distances de deux quelconques de ces points, puis celui des deux autres, puis enfin le centre des moyennes distances des deux centres partiels ainsi trouvés, ce qui donnerait de suite, en nommant d le quatrième point, et conservant d'ailleurs les mêmes dénominations que ci-dessus,

pa -\- pb -\- pc -k- pd

pq=' — ^^—f^ — —^

et, par conséquent, en passant k la projection sur une droite quelconque aV,

En général, on voit que, quel que soit le nombre m des points a, 6, c, e/,..., rangés sur une même droite, le centre q des moyennes distances de tous ces points sera unique et tel, qu'en le projetant ainsi que ces points sur une droite quelconque en qf, a\ b\ dy rf',..., et nommant// le point qui représente celui à l'infini de la proposée ahcy on aura

ou

pourvu encore qu'on ait égard à la règle des signes posée art. 6. On voit de plus (12) comment on pourra construire, avec la règle seule et sans recourir aux centres des moyennes distances, le point (f dont il s'agit, quand tous les autres a', h\ c\ rf',..., seront donnés ainsi que le point/?' qui sert d'origine commune aux segments harmoniques; mais cette construction se faisant d'une manière successive et assez pénible, quand le nombre des points donnés est tant soit peu considérable, nous indiquerons plus tard des moyens généraux et simples pour y parvenir.

15. Mac-Laurin, qui a eu à considérer dans son Traité des Courbes géométriques, quelques-unes des propriétés du point q' défini par les relations métriques ci-dessus, et qui n'a point aperçu l'analogie qui régnait entre ce point

DES CENTRES DE MOYENNES HARMONIQUES. ip

et le centre des moyennes distances, ni les moyens de déduire Tun de ces points de l'autre, s'y prenait d'une manière différente pour construire la valeur de pq* : il déterminait, à l'aide du procédé de l'article 7, le point dont la distance \p a pour réciproque la somme des réciproques àep'a' QiAep'h',

c'est-à-dire -^ -4- -^p puis le nouveau point dont la distance à/? a pour réciproque la somme des réciproques du point déjà obtenu et du point c\ c'est-à-dire -^7-+--7T7-i- -^7» puis, etc.; car, en nommant Q' le dernier point ainsi obtenu, on aura

et par conséquent /l'gr' = m./>'Q'. Cette méthode a, comme on voit, l'inconvénient d'exiger l'emploi de la règle et du compas réunis» au lieu que la précédente n'exige simplement que celui de la règle.

Mac-Laurin nomme/?' y' la moyenne harmonique des segments/?' a', p'b\ p&^...\ nous pourrons donc dire aussi, par analogie, que le point q\ projection du centre de moyennes distances des points a, è,c,..., en nombre m, est lui-même le centre des moyennes harmoniques des points a', h\ c',..., de la projection, par rapport à/?' qui représente le point* à l'infini At pc: or, cette définition s'accorde parfaitement avec celle de l'article 4, dont elle n'est guère que l'extension; et, comme ici le faisceau des projetantes sa\ sb\ s&,..,f conserve les mêmes propriétés à l'égard de sp\ sq\ quelle que soit la transversale />'c', on pourra dire encore que la projetante sq' est tao-e des centres de moyennes harmoniques du faisceau dont il s'agit; et cela non d'une manière absolue, mais seulement par rapport à la projetante sp qui, à son tour, conservera le nom d'aa?^ des origines harmoniques, et qui, venant à passer à Tinfini avec les points Sy changera évidemment la projetante sq' en un simple axe des centres de moyennes distances.

16. Les relations qui définissent le centre q' {fig. 5) des moyennes harmoniques étant projectives (14), ou telles, qu'elles subsistent dans toutes les projections centrales de la figure, on voit que les définitions et propriétés précédentes seront applicables directement à un faisceau quelconque de droites projetantes qui s'appuieraient sur des points donnés en ligne droite, sur leur centre de moyenne harmonique et sur l'origine relative à ce centre; c'est-à-dire que toute transversale déterminera, dans ce faisceau, un nouveau système de points qui auront entre eux la même corrélation que les premiers,

sauf le cas où la transversale sera parallèle à l'axe des origines» et pour lequel, l'origine des segments harmoniques passant à l'infini» le centre des moyennes harmoniques se changera évidemment en un centre de moyennes distances.

Enfin on voit que si» par l'origine des segments harmoniques de plusieurs points situés en ligne droite» on mène une droite ou un axe quelconque, et qu'on abaisse, de ces différents points et de leur centre de moyennes harmoniques» des ordonnées sur cet axe» qui soient parallèles entre elles et à un autre axe arbitraire, celle qui répond au centre de moyennes harmoniques sera encore la moyenne harmonique de toutes celles qui répondent aux points proposés; propriété qui est entièrement analogue à celle du centre des moyennes distances, si ce n'est que» pour ce dernier, l'origine étant entièrement arbitraire, il en est de même des axes de projection.

17. Au surplus» on peut partir de la définition générale du centre des moyennes harmoniques» pour établir directement ses diverses propriétés» sans recourir aux considérations précédentes, qui d'ailleurs nous paraissent mériter l'attention des géomètres. Or» cette nouvelle manière d'envisager la question va nous conduire k d'autres résultats non moins remarquables que les premiers.

Soient a, è, c, rf,... {fig. 6), des points quelconques en nombre m rangés sur une même droite, et/> un point arbitraire de cette droite pris pour origine des segments; regardons, d'après la règle de l'article 6, comme positifs tous les segments qui sont à droite de p et comme négatifs ceux qui sont dirigés dans le sens contraire. Cela posé, si l'on choisit, sur la droite dont il s'agit, un point q tel que

— = H-tH h —.+ •••»

pq pa pb pc pcl

en attribuant a chaque terme le signe qu'il doit avoir d'après le sens du segment qu'il renferme, le point 9, ainsi déterminé, sera unique, et le centre des moyennes harmoniques des points a, 6, c, rf»..., relativement à p. Il s'agit, en premier lieu, de prouver que ce point est projeclif, c'est-à-dire tel» qu'en le mettant en projection sur une droite quelconque p'd' et à partir d'un point arbitraire s de l'espace, aussi bien que le système de tous les points que l'on considère sur pd, la relation ci-dessus aura toujours lieu entre ces différents points.

Pour y parvenir, nous mettrons cette relation sous la forme suivante» afin

(l'en mieux étudier les propriétés,

Mais

f I I I I I I I pq pa pq pb pq pc pq pd

I I pn — pq aq i 1 bq

Pq^pà" P^'Pq '^~ap.pq' pq~pb'^~bp,pq'

I I cq