P^'^CP'P
donc, substituant et supprimant le facteur/?^ commun à tous les termes, il
viendra
aq bq cq dq
ap bp cp dp
équation dans laquelle les termes négatifs proviennent uniquement des points a, b,..., qu'on a supposés à gauche de q. Mais, d'après la règle des signes admise ci-dessus pour la définition du point q, chaque terme devra conserver le signe qu'il a actuellement, ou en changer, selon que le point a, 6, c,..., auquel il se rapporte, sera à droite ou a gauche du point /?; donc l'équation ci-dessus pourra être remplacée généralement par cette autre
£.? + *? + ££ HJ?+...=o.
ap bp cp dp
pourvu que, dans chaque position des points du système, on attribue le signe -h ou le signe — à un segment quelconque, selon qu'il est situé sur la droite ou sur la gauche de celle des origines /> ou ^ à laquelle il se rapporte, ou, ce qui revient au même et ce qui est plus simple encore, pourvu qu'on attribue à chaque terme de la relation ci-dessus le signe -h ou le signe — , selon que les deux segments qui y entrent sont de même sens ou de sens contraire, par rapporta leur extrémité commune (*).
D'après cela, on pourra énoncer ainsi d^une manière générale la relation dont il s'agit :
L'origine p et le centre q des moyennes harmoniques d'un nombre quelconque de points a, b, c, rf,..., rangés en ligne droite, sont tels que, si l'on prend successivement le rapport des distances de chacun de ces points à q et à p. la somme de tous ces rapports sera nulle, en attribuant le signe -h ouïe signe ~ à un rapport quelconque, selon que le point correspondant est situé sur l'un des prolongements de la distance pq ou entre ses extrémités.
(*) Voycz^ sur la loi des signes do position en général, le IH* Cahier du tome H des Jpjdicaiions d* Analyse et de Géométrie (1864).
5t2 THÉORIE GÉNÉRALE
18. Cet énoncé n'est évidemment que l'extension de celui qui se rapporte au cas particulier de l'article 1 d'où nous sommes partis, et dans lequel on ne considère que deux points a et b; prouvons maintenant qu'il s'applique à toutes les projections de la figure faite, d'un point quelconque s de l'espace, sur une droite arbitraire />'rf' du plan spd, et par conséquent qu'il en est de même de la relation (17) d'où nous sommes partis.
En effet, d'après les articles 9 et suivants du tome P de ce Traité, on a, en nommant? la perpendiculaire abaissée des sur pd, et/?, q,a, b, c,..., les projetantes sp^ sq^ sa^ sb^ sc^...^
aq = sin{asq)-r^i bq = s\n{bsq)-^i cç = sin (c5ç) -^j •• m
ap = sin (asp) -^> bp = sïn{bsp) -^t cp = sin {csp)-^ y
Donc, en substituant ces expressions dans la dernière relation ci dessus, et supprimant les facteurs communs a tous les termes, on aura
sin dsq sin bsq sin csq sm asp siu osp sm csp
ce qui exprime qu'il y a entre les sinus des angles projetants la même relation qu'entre les segments qui leur correspondent respectivement. Or, de là on conclut aisément, et par réciproque, que cette relation ayant lieu pour le faisceau des droites projetantes, il faut nécessairement qu'elle subsiste entre les segments d*une transversale quelconque f/d' prise pour axe de projection des segments; donc enfin la relation examinée est de sa nature /^rty^ctwe, ainsi qu'il s'agissait de le démontrer directement; c'est-à-dire que, dans le faisceau ci-dessus, les projetantes sp et sq sont des axes (15) d'origines et de moyennes harmoniques relativement à toutes les autres.
19. Remarquons en passant que, quoique la relation examinée en dernier lieu subsiste entre les sinus des angles projetants des différents segments qui y entrent, on ne saurait pourtant en conclure que celle d'où nous sommes partis (17) jouisse de la même propriété; or, je dis que cette dernière relation aura encore lieu de la même manière, non plus entre les sinus des angles projetants des différents segments, mais entre les tangentes trigonométriques de ces angles, c'est-à-dire qu'on aura
un^psq iaiï^ psa iàn^ psb iàu^psc
DES CENTRES DE MOYENNES HARMONIQUES. a3
En efîet» la relation de départ étant projeclive d'après ce qui précède, devra subsister pour une transversale p'd' perpendiculaire a la projetante sp du point /?, mais les segments/?' y', />' a', />'6',/?'c',..., de cette transversale sont évidemment alors proportionnels aux tangentes trigonométriques des angles projetants qui leur correspondent respectivement; donc la relation ci-dessus a lieu entre ces tangentes, comme il s'agissait de le démontrer et comme il serait facile de l'établir de plusieurs autres manières.
20. La transformation que nous avons fait subir (art. 17) à la relation qui définit le centre des moyennes harmoniques n'est pas la seule qui puisse lui convenir, et il en est d'autres qui ne sont pas moins dignes de remarque et qui sont tout aussi générales.
En effet, soit A un point quelconque de la direction de pd^ pris pour nouvelle origine des segments servant à remplacer l'origine />, on aura identiquement
pu — pq = Aa — Aj, pb — pq^=z kb — Aç, pc — pq =zAc — Aç, pd^ pc:= kd — kCy , . . ,
pourvu qu'on regarde comme positifs les segments des points placés à la droite de A, et comme négatifs ceux des points placés à la gauche de ce point; donc on aura aussi
I I __ pa— pq ka — kg A^ kg t
pq pa~~ pa.pq p^pq P^'PQ PÇ P^
i I A6 kq I I 1 kc kq i
pq pb"^ pb.pq pq pb^ pq pc pcpq pq pc '"*
d'où, en substituant dans la première des transformées de l'article 17, et mul* tipliant tout par pq^
ka kb kc kd . / 1 t « \ m. kg
pa pb pc pd ^ \pa pb pc ) pq
relation qui est assujettie à la même règle de signes que celle de l'endroit cité, et qui, de plus, la renferme comme cas particulier, puisqu'elle redonne celle-ci quand on y suppose A^ = o ou qu'on suppose le point A en q. En admettant même que l'origine arbitraire A soit à l'infini, les segments infinis, devant être censés égaux, disparaîtront comme facteurs communs à tous les termes, et l'on retombera sur la relation
1 I I I fn
pa pb pc pa pq
d'où nous sommes partis en premier lieu.
Mais la relation générale obtenue en dernier lieu conduit à beaucoup d'autres relations semblables, selon que Ton suppose le point  placé en a ou h ou c,...; par exemple, si Aa = o, on aura
m,aq ah ac ad pq pb pc pa
relation dans laquelle il faudra avoir égard à la règle de signes posée ci-devant, en regardant a et/? comme les origines des divers segments. Elle deviendrait de même, pour Ai = o, Ac = o, etc.,
m,bq ha bc bd pq pa pc pa
m.cq ca cb cd pq pa pb pa
d*où Ton en déduirait une infinité d'autres.
Ces diverses relations, y compris celle d'où elles dérivent, satisfont toutes aux conditions indiquées art. 18; donc, non-seulement elles sont projectives, mais elles ont encore lieu d'une manière semblable entre les sinus des angles projetants qui répondent aux différents segments.
2t. Ce qui précède suffit pour faire apercevoir que le point q, ou le ceFitre des moyennes harmoniques de points rangés en ligne droite, offre, dans ses propriétés, l'analogie la plus grande avec ce que l'on nomme le centre des mxyyennes distances de points pareils; pour la mettre dans tout son jour, il ne s'agit évidemment (14) que d'examiner ce qui arrive dans les relations cidessus, pour le cas où l'on suppose le point p, qui sert d'origine aux segments harmoniques, situé a l'infini sur ad. Mais alors tous les segments qui se comptent de ce point sont infinis et doivent être censés égaux comme ne différant entre eux que d'une quantité finie; donc la relation générale trouvée ci-dessus,
m.Aq Art Xb Ac Ad pq pa pb pc pa
se réduira simplement à la suivante :
m.Aç = Aa-|-A6-|-Ac + Arf-f-. . .,
dans laquelle les différents termes devront, d'après ce qui précède, être affectés du signe + ou du signe —, selon que le point auquel ils se rapportent sera à droite ou à gauche de l'origine A des segments, et qui aura lieu, quelle que soit la position de cette origine relativement aux points don-
DES CENTRES DE MOYENNES HARMONIQUES. a5
nés Gf 6» c,...; or, on reconnaît ici la propriété caractéristique de ce qu'on nomme le centre des moyennes distances.
De plus, puisque la relation générale ci-dessus est projective de sa nature, on voit que l'un de ces systèmes pourra toujours être envisagé comme la projection centrale ou perspective de l'autre, ainsi que cela a déjà été établi d'une manière différente art. 14 et 16 de cette Section. On peut d'ailleurs, comme on va le voir, partir directement de la définition particulière du centre des moyennes distances pou*r en déduire celle, beaucoup plus générale, qui convient au centre des moyennes harmoniques.
En effet, si nous nommons p le point à l'infini de kd [fig. 6), et q le centre des moyennes distances des points a, fr, c, </,..., nous pourrons, d'après le raisonnement déjà établi ci-dessus, mettre la relation particulière qui définit ce centre q^ sous la formule générale
m,kq \a A6 Ac Arf pq pa pb pc pa
or, cette relation, dans laquelle les segments qui se mesurent du point p sont infinis et égaux, satisfait aux conditions indiquées art. 18; donc elle aura lieu à la fois pour toutes les perspectives du système proposé sur des droites arbitraires; et par conséquent, dans ces perspectives, le centre des moyennes distances deviendra le centre des moyennes harmoniques.
22. Supposons maintenant que, dans l'équation générale relative au centre des moyennes harmoniques 9, les segments relatifs à ce centre deviennent infinis, ou, si l'on veut, supposons le point q à l'infini, ce qu'on peut toujours obtenir en mettant la figure en projection sur une droite quelconque parallèle à la projetante sq de ce point; le rapport des segments infinis A 9, pq devenant l'unité, on aura pour définir alors le point correspondant pf la nouvelle relation
\a A6 Ac Ad
pa pb pc pa
Mais l'origine A étant entièrement arbitraire, on peut également la supposer à l'infini, confondue avec y, ce qui réduit la relation ci-dessus à la
suivante,
I I I I pa pb pc pa
en supprimant les facteurs ou segments infinis et égaux; or, sous cette forme, elle est une conséquence très-simple de celle d'où nous sommes partis (17) pour la définition du centre q des moyennes harmoniques.
On voit, d'après cela, que les points/? et q ne sont pas réciproques, et ne II. 4
jouissent pas entre eux des mêmes propriétés à l*égard des points a, b^ c, cf,..., comme semblerait l'indiquer le cas particulier où ces derniers points sont au nombre de deux seulement (6); aussi arrîve-t-il que, bien qu'il ne corresponde qu'un seul point q ou centre des moyennes harmoniques à un même point /7 pris pour origine (14), et aux m points donnés a, 6, c, rf,..., cependant il existe, en général, m — i points p répondant à un même point 9, choisi à volonté, et aux m points donnés a, h, c,.... C'est ce qu'il est aisé de démontrer avec ou sans calcul ; mais, comme cette démonstration exige des développements qui ne seraient pas ici k leur place, nous nous abstiendrons, pour le moment, de la donner (*).
23. Avant de terminer ce sujet, nous remarquerons que les diverses transformations que nous avons fait subir à la relation du n® 17, et qui expriment autant de propriétés du centre des moyennes harmoniques, sont uniquement basées sur ce que le nombre m est précisément égal à celui qui marque le nombre des points donnés ajb.c,.... Pour toute autre valeur de m, ces transformations seraient évidemment impossibles, ou du moins on serait conduit à d'autres résultats, et la relation cesserait d'être projective sous sa forme actuelle. Dans ces mêmes circonstances, pour construire le point q défini par cette relation, il faudra nécessairement faire usage de mesures graduées on du compas, tandis que la construction du centre des moyennes harmoniques n'exige, comme on l'a fait voir (14), que l'usage de la règle seule.
Supposons, par exemple, qu'il s'agisse de construire le point Q {^g. 6) tel qu'on ait, eu égard à la règle des signes établie ci-dessus,
p^ '^ pa pb pc pd '"'
n étant un nombre quelconque. On pourra d'abord construire avec la règle le centre des moyennes harmoniques q des points donnés a, b, c, d,..,, par rapport à l'origine/?; ce qui donnera, m étant le nombre de ces points,
pq^P^'^pB'^pi'^pd'^" ' d ou
J^=yq ^' P^ = niP^^
expression qu'on ne pourra construire qu'à l'aide de mesures graduées ou du compas.
(*) On )a trouvera dans les dernières Sections de ce volume, dont la rédaction date d'une époque de beaucoup postérieure à ccllo (1816) de la simple ébauche que renferme le D"* cahier du tome H des Applications d'Analyse et de Géométrie (i864).
Il est évident qu'on pourrait aussi opérer directement, comme il a été indiqué art. 15.
24. En général, une équation dont les deux membres seraient composés de la somme d'une suite de réciproques assujetties à la règle des signes posée ci-dessus, et d'ailleurs multipliées par des coefficients numériques quelconques, sera ou non projeclive dans sa forme actuelle, et appartiendra ou non à la Géométrie de la régie, toutes les fois que la somme des coefficients numériques relatifs à chaque terme, sera, abstraction faite des signes de position, ou ne sera pas la même de part et d'autre.
Pour fixer nos idées, supposons d'abord que l'on ait entre les points/?, q. a, 6, c,... {fig. 6), la relation
m-^m! -^m!' -\- . ., m m' ml'
pq pa pb pc
dans laquelle m, m\ rri\...^ sont des coefficients numériques quelconques, positifs ou négatifs, mais indépendants de la position des points a^b, c,...,q, à l'égard dep; cette équation étant d'ailleurs assujettie à la règle des signes posée art. 6, elle se changera évidemment en ces deux autres, par des transformations analogues à celles des n^ 17 et 20 :
m,aq m'ba m"cQ m'^da ap bp cp dp
m.Aa m'.kb mf,kc m"'. Ad , , „ x A J
pa pb pc pa pq
A étant une nouvelle origine quelconque; et réciproquement, de celle-ci on pourra conclure la relation première. Mais ces relations sont projectives (18), donc il en sera de même de la première; je dis en outre qu'elles appartiennent à la Géométrie linéaire ou de la régie.
En effet, au moyen de la règle, on trouvera (12) le point x de ah tel, qu'en supposant ab divisée en m -+- m' parties harmoniques par rapport à p, oo; en contienne m\ et hxm\ or on aura, d'après l'article 9,
px pa pb
Pareillement, on trouvera avec la règle sur ex le pointa?' qui répond a la m*^'"* partie harmonique de cette distance supposée en contenir m -h m' -+- /w", et l'on aura
px' p.v pc' pa pb pc
et ainsi de suite. Donc on arrivera à un dernier point de division X tel que
pX pa pb pc
et qui ne sera par conséquent que le point q lui-même, lequel se trouvera ainsi construit linéairement ou avec la règle seule.
25. Supposons maintenant {fig. 7) qu*on ait la relation harmonique quelconque
1 1 h...= H-tH h...,
pq pr ps pa pb pc
relativement à des points a, b,c^,..,q^ r, 5, situés en ligne droite, et à l'origine /> des segments harmoniques.
D'après ce qui précède, on pourra d'abord remplacer tous les points a, h, c,..., par un point X, constructible à l'aide de la règle, et tel qu'on ait
/?X pa pb pc
on en trouvera, de la même manière, un autre Y tel qu'on ait n-+-/i'-+-/^" -+-... n n' n"
pY pq pr ps *"'
donc, d'après la relation proposée, il viendra
n-hn^-hn"-^. .. m + m' -h m^ -f- . . ■ pY " p\ '
Si donc /ï -f- n' -h 7i" -h . . . = /n -f- m' -h m" -+- . . . , le point X devra se confondre avec le point Y, et par conséquent la relation d'où l'on est parti appartiendra uniquement à la Géométrie de la règle, et sera d'ailleurs projective d'après ce qui précède, tandis qu'elle exigera pour être construite la règle et le compas dans toute autre supposition.
26. Ces diverses considérations nous permettent de généraliser la définition du centre des moyennes harmoniques, k peu près comme l'ont déjà fait MM. Carnot et Simon Lbuilier de Genève, à l'égard du centre des moyennes distances : en posant, par exemple, pour la définition de ce point, l'équation
pq pa pb pc
q pourra encore être appelé le centre des moyennes harmoniques de a, 6,
c,..., relativement kp^ mais pour des coefficients numériques quelconques positifs m, m\ m",.... Quant au cas où quelques-uns de ces coefficients seraient négatifs, indépendamment des signes de position des segmenU^ auxquels ils se rapportent, on pourrait nommer le point correspondant q Yex-centre des moyennes harmoniques, comme l'a fait, d'une manière analogue, M. Lhuilier pour le cas des simples distances. En effet, la relation ci-dessus conduisant a cette autre, d'après ce qui a été observé plus haut (24),
- ,A<7 mka m'Xb m^kc
pq pa pb pc
on retombera directement sur les définitions du centre et de Vex-centre des moyennes distances, par M. Lhuilier, en supposant (21) que le point /? passe à l'infini.
27. Je crois inutile de pousser plus loin ces rapprochements, entièrement analogues a ceux qui ont été établis dans ce qui précède, pour le cas particulier où les coefficients m, m', m",..., sont simplement égaux h l'unité: et je ferai seulement remarquer que les diverses définitions et propositions établies jusqu'à présent, pour ce cas particulier, doivent s'étendre, de la même manière, au cas général : ainsi, par exemple, le point /> sera toujours Vorigine des segments harmoniques, et si, d'un point quelconque s de l'espace, on mène aux difîérents points que l'on considère des projetantes sp, sq, sa, sb, ^c,..., celles qui appartiennent à /? et à q devront continuer à s'appeler (15) lès axes des origines et des moyennes harmoniques de toutes tes autres, etc.
Dans le paragraphe suivant, je montrerai comment on peut étendre toute cette doctrine du centre des moyennes harmoniques au cas où Ton considère des points quelconques situés dans un plan ou dans l'espace.
Du centre des moyennes^ harmoniques d'un système de points quelconques situés ou non dans un même plan.
28. Nous n'avons encore envisagé, jusqu'à présent, que les propriétés relatives au centre des moyennes harmoniques de points rangés en ligne droite; mais ce que nous avons dit pour ce cas particulier va nous conduire.
3o THÉORIE GÉNÉRALE
sans peine, à ce qui concerne le système d'un nombre quelconque de points situés à volonté sur un plan ou dans Tespace; car tout consiste simplement à partir de la définition ordinaire du centre des moyennes distances pour en déduire, à l'aide de la perspective ou projection centrale, celle qui convient au centre des moyennes harmoniques en général, et même les diverses propriétés qui peuvent lui appartenir. 11 est entendu d'ailleurs que, dans tout ce qui va suivre, le centre des moyennes distances et celui des moyennes harmoniques seront pris par rapport à des coefficients numériques quelconques, répondant respectivement aux points proposés suivant les définitions admises n^ 26.
Considérons d'abord le cas où le système des points proposés A, B, C, D,... {fig. 8), appartient à un même plan, et soit Q le centre des moyennes distances de ces points; l'une des propriétés lessentielles du point Q, c'est que, si l'on Tait la projection du système sur une droite arbitraire hd et par des parallèles Aa, B6, Ce,..., à un axe quelconque, la projetante Qy de Q sera Xaxe des moyennes distances (15 et 27) de celles des autres points du système, de sorte que, pour la transversale arbitraire bd^ le point Q qui appartient à cet axe sera le centre des moyennes distances des points a, fr, c, e/,..., relatifs à leurs diverses projetantes, ou, en d'autres termes, il sera (21), par rapport au point à l'infini de bd, le centre des moyennes harmoniques de ces mêmes points.
Cela posé, voyons ce qui se passe dans la perspective de la figure sur un nouveau plan arbitraire : tout système de projetantes parallèles A a, B6, Ce,..., sera devenu [fig. 9) un faisceau de droites convergeant en un même point S, et tous leurs points de concours semblables seront rangés sur une même droite PS, projection de celle qui contient les divers points à l'infini du premier plan (t. 1, Sect. I, n° 106); le point/? où la droite PS ira rencontrer la transversale arbitraire bd qui lui correspond, représentera donc aussi le point à l'infini de bd dans la figure primitive 8, de sorte que le point q sera devenu (26) dans \^fig* 9, le centre des moyennes harmoniques des points a,. 6, c,.,., par rapport à/?. Mais la droite bd est arbitraire ; donc, pour tout faisceau de projetantes semblable à celui qui précède, la projetante SQy de Q sera (27) l'axe des moyennes harmoniques des projetantes SA, SB, SC,..., des points proposés, par rapport à la droite invariable SP, qui, ici, sert d'axe commun aux origines de segments.
29. D'après cela, on peut dire que le point Q [fig. 9) est le centre des moyennes harmoniques Aq^ points proposés A, B, C,..., et cela non d'une manière absolue, mais seulement par rapport à la droite particulière PS, qu'on
32 THÉORIE «ËNÉRALE
harmoniques^ plan qu'on peut aussi nommer pour cette raison /^iltm des origines harmoniques.
Ces définitions sont évidemment des extensions de celles de Tarticle 27» relatives aux faisceaux de droites convergentes tracées dans un même plan, et elles donnent lieu à Ténoncé qui suit :
Un système de points quelconques étant situé dans un même plan, et un plan quelconque étant donné à volonté dans F espace, si, d^ un point choisi arbitrcUre-ment dans ce dernier plan, on mène des droites o^ projetantes aux différents points du premier, puis qu'on détermine, par rapport au second plan considéré comme plan des origines, l'axe des moyennes harmoniques de ces droites, tous les axes semblables iront passer par un même point , qui sera (29 ) fe centre des moyennes harmoniques des proposés, relativement à la droite if intersection de son plan et du plan des origines.
31. Maintenant il ne nous sera pas difficile d'étendre ces considérations au cas où les points proposés A, B, C, D,... [fig. 9), au lieu d'être sur un même plan, sont situés d'une manière quelconque dans l'espace.
Remarquons d'abord qu'un système pareil a toujours un centre de moyennes distances et n'en a qu'un seul dont la propriété est que : c Si l'on » projette, par des parallèles quelconques^ tous les points proposés sur un
> plan arbitraire, la projection de ce centre sera encore le centre des » moyennes distances de la projection des autres points du système ; c'est-à-
> dire que la projetante qui lui est relative, sera l'axe des moyennes dis-
> tances de celles des autres points de la figure. >
Mais, d'après les principes que nous avons établis dans le tome I^ de ce Traité {Supplément, n*^ 5, 6 et suivants), la figure qu'on vient de considérer peut toujours être censée la perspectiçe-reUef d'une autre, dans laquelle tous les points à l'infini de l'espace, relatifs à la première, sont remplacés par ceux d'un plan unique; de sorte que les différents faisceaux <Ie projetantes parallèles de cette figure sont devenus des faisceaux de droites convergeant en des points de ce plan. De plus, dans la nouvelle figure, les centres et axes de moyennes distances sont devenus (30) des centres et axes de moyennes harmoniques par rapport au plan dont il s'agit ou aux droites qui le concernent ; et, d'un autre côté, quelle que soit la situation d'un plan à l'égard d'un système de points quelconques donnés dans l'espace, on peut toujours, d'après les principes cités, considérer ce système comme la perspective en relief d'un autre pour lequel le plan dont il s'agit est passé à l'infini; donc enfin:
DES CENTRES DE MOYENiNES HARMONIQUES. 33
Un système de points quelconques et un plan étant donnés dans l'espace, il existe toujours un autre point et un seul point, qu'on peut nommer centre des moyennes harmoniques des proposés par rapport au plan que Von considère en particulier, et dont la propriété est telle, que, si on le projette ainsi que tous les proposés sur un nouveau plan arbitraire et à partir d'un point quelconque du premier pris pour centre de projection, il demeure dans cette projection un centredemoyennesharmoniques relativement à la droite d* intersection des deux plans; c est-à-dire que la projetante qui le renferme est (30) Va^e des moyennes harmoniques de toutes les autres, relativement au plan qui contient tous les centres de projection, et qui est ici encore le plan des origines harmoniques.
32. S'il était permis de se servir du compas ou du tracé des parallèles, ce qui précède montre assez comment on devrait opérer pour obtenir le centre des moyennes harmoniques d'un système de points quelconques situés dans un plan ou en général dans l'espace; car, en mettant le système de ces points en perspective de façon que la droite ou le plan des origines harmoniques, qu'on s'est donné arbitrairement, passe à l'infini, tout reviendrait à déterminer le centre des moyennes distances des points de la nouvelle figure et à le projeter sur la première^.
3Iais si l'on veut simplement opérer avec la règle, il faudra s'y prendre d'une autre manière.
Par exemple, si les points proposés A, B, C, D,... [fig*^) sont dans un même plan, ainsi que la droite PS qui sert d'origine aux segments harmoniques, il faudra, de deux points différents S, S' de cette droite, faire la perspective ou projection centrale des proposés sur deux droites arbitraires telles (\\xepd par exemple; cherchant ensuite, par les procédés du n® 24, et pour chaque droite pd, le centre des moyennes harmoniques q des points a, 6, c, rf,... de la projection, et cela par rapport au point/? qui appartient à l'axe PS des origines harmoniques, les projetantes ^S des centres partiels ainsi obtenus iront (29) se couper au centre unique Q des moyennes harmoniques que l'on cherche.
Si les points proposés A, B, C, . . . , étaient situés d'une manière quelconque dans l'espace, il suffirait évidemment de remplacer, dans les opérations cidessus, l'axe PS des origines harmoniques et les transversales arbitraires /?rf par des plans.
33. Mais on peut aussi opérer directement sur les points proposés, sans recourir à la projection, ainsi que cela se pratique lorsqu'il s'agit de trouver
le centre des moyennes distances; et cette méthode aura en même temps
l'avantage d'être plus expéditive que la précédente.
Pour cela, il suffit d'observer, d'aprës ce qui précède, que l'un de ces systèmes peut toujours être envisagé comme la perspective de l'autre, et qu'il n'y a de différence entre eux, qu'en ce que, pour le cas des moyennes distances, le point, la droite, le plan qui servent d'origine aux segments harmoniques sont situés entièrement à l'infini, de sorte que les systèmes de lignes qui y convergent sont des systèmes de parallèles, tandis que les divisions harmoniques sont remplacées par les divisions en parties égales, et vice versa pour l'autre système de points.
Soient, par exemple, A, B, C [PL Ilyfig- lo), trois points quelconques dont il faille trouver le centre des moyennes harmoniques Q par rapport à la droite PP'; on se rappellera que, dans le cas où la droite PP' est à l'infini, et où le point Q devient [fig. 1 1 ) le centre des moyennes distances de A, B, C, on n'a qu'à prendre les points milieux q, q\ q" des côtés du triangle ABC, et à joindre par une droite chacun de ces points au sommet opposé du triangle ; car ces droites donneront par leur croisement le point Q demandé. Opérant donc de la même manière sur le triangle proposé ABC (fig. lo), en prenant (2 et 7) pour les points q, q\ q" les centres de moyennes harmoniques des couples de sommets correspondants, et cela en choisissant pour origines respectives des segments harmoniques les points P, P', P", où les côtés du triangle ABC vont rencontrer la droite PP', le point Q ainsi construit sera le centre des moyennes harmoniques des sommets A, B, C par rapport à cette droite.
34. Pour le cas de quatre points A, B, C, D [fig. la), dont on veut avoir le centre Q des moyennes harmoniques par rapport à la droite FP'', on prendra ces points pour les sommets d'un quadrilatère ABCD, dont on prolongera les côtés jusqu'à la droite PT''; on déterminera ensuite les centres des moyennes harmoniques q, q', q'\ q'" des paires de sommets appartenant à chaque côté, et cela relativement au point de rencontre de ce côté et de la droite P'P"; joignant ensuite ceux de ces centres qui se trouvent sur les côtés opposés du quadrilatère, on aura les droites qq'\ q'q'" dont l'intersection Q sera le point demandé; car c'est ainsi qu'on opérerait si la droite P'P" passant à l'infini, il s'agissait de déterminer le centre Q des moyennes distances des points A, B, C, D.
On pourrait d'ailleurs remplacer le quadrilatère ABCD par tout autre qui aurait les mêmes sommets ; on pourrait aussi chercher le centre des moyennes
harmoniques de trois quelconques des points proposés, et le joindre au qua- Iriëme par une droite qui devrait renfermer le point cherché, etc. ; dans tous les cas on obtiendra un point unique Q, comme cela a lieu lorsqu'on suppose Taxe des origines P'P" à l'infini.
35. Si l'on avait cinq points k considérer, on rechercherait d'abord le centre des moyennes harmoniques de quatre quelconques de ces points, et la droite qui le joindrait au cinquième renfermerait le centre des moyennes harmoniques du système total des points donnés; une nouvelle opération analogue donnerait donc ce centre lui-même. En général, on pourra prendre le centre des moyennes harmoniques d'un certain nombre de points, puis le centre pareil des points restants; la droite qui renfermera les deux centres ainsi trouvés contiendra aussi celui du système total des points donnés. Mais, au lieu de rechercher une nouvelle droite qui contienne ce dernier centre, on pourra se contenter de déterminer, sur la première (9 et 12), le centre des moyennes harmoniques des deux centres partiels déjà trouvés, relativement aux nombres qui marquent de combien de points ces centres respectifs proviennent, etc.
On voit comment il faudrait s'y prendre pour un nombre quelconque de points qui seraient supposés dans l'espace ; il suffirait, dans les opérations ci-dessus, de remplacer la transversale P'P par un plan, ainsi qu'il a déjà été expliqué (32).
36. Ce qui précède est simplement relatif au cas où les coefficients numériques, par rapport auxquels on prend les centres de moyennes harmoniques, sont égaux à l'unité ou égaux entre eux; mais il est évident, d'après les articles 26, 27, etc., que tout ce que nous avons pu dire, jusqu'à présent, de ce cas particulier, est immédiatement applicable à celui où les coefficients seraient des nombres quislconques répondant respectivement aux points donnés. Ainsi, par exemple, si l'on a trois points A,B,C(y?g^ ro), dont m, m', m" sont les coefficients numériques respectifs, et qu'il s'agisse d'en trouver le centre de moyennes harmoniques Q, par rapport à ces coefficients et à la droite FF; on prendra d'abord (9 et 12) le centre des moyennes harmoniques q des points A et B, par rapport aux coefficients m et m! qui leur correspondent, et au point P de la droite des origines PF; puis on prendra pareillement le centre des moyennes harmoniques q' des points B et C, par rapport aux coefficients numériques m! et m" et au point P' de PF; les droites qÇ* et q' k iront encore se croiser au point Q demandé, et /il en serait de même de la droite ^"B, qui appartient au centre de
moyennes harmoniques q[' de A et de C, par rapport aux coefficients numériques m et ni' de ces points.
En effet, si l'on met la figure en perspective de façon que la droite PP' passe à l'infini, le point Q deviendra évidemment le centre des moyennes distances des points A, B, C par rapport aux coefficients m, m', m" .
D'après cet exemple et d'après ce qui a été dit pour le cas particulier où les coefficients numériques sont égaux à l'unité, on voit ce qu'il y aurait à faire pour celui où l'on aurait un nombre quelconque de points auxquels correspondraient respectivement des coefficients numériques donnés, s'il s'agissait de trouver, pour ces coefficients, le centre des moyennes harmoniques des points dont il s'agit.
37. Il n'est pas inutile d'observer que le cas particulier où les coefficients numériques sont égaux entre eux, ou égaux à l'unité, donne lieu à des simplifications notables dans la construction générale ci-dessus du centre des moyennes harmoniques. Car, par exemple, s'il s'agit des sommets d'un triangle ABC {fig* lo), tout consistera alors, pour avoir les trois droites cçr, k(f et B^'" qui contiennent leur centre Q des moyennes harmoniques, à former un nouveau triangle A'B'C circonscrit au premier, dont les côtés aillent concourir respectivement aux points P, P' et F', où les côtés qui leur sont opposés dans le premier vont rencontrer l'axe ou le plan des origines harmoniques PP'. En effet, en se reportant à la projection {fig. ii), où l'on suppose PF à l'infini, il sera facile de voir que les droites AA', BB', CC qui joignent les sommets opposés des triangles seront précisément celles qui se croisent au point Q demandé.
On peut d'ailleurs remarquer que le triangle inscrit qq'(i\ qui a ses sommets aux centres de moyennes harmoniques q^ q\ q" des côtés du proposé ABC, jouit, à son égard, des mêmes propriétés que le triangle circonscrit A'B'C; de sorte que, si l'on connaissait seulement l'un quelconque q de ses sommets, on obtiendrait les deux autres par le simple tracé des droites F^r"^, Vq'q.
38. Plus généralement, si l'on a un nombre quelconque de points A, B, C, ^ Ifig' la) situés ou non dans un même plan, et que P'P" soit l'axe ou le plan des origines harmoniques, il suffira de connaître le centre q des moyennes harmoniques de deux quelconques A, B de ces points, pour en déduire sur-le-champ ceux qui appartiennent à tous les points proposés en les prenant deux à deux.
Supposons, par exemple, que les points A, B, C, D, • • . , soient pris pour
les sommets d'un polygone ABCD..., il sera très-facile d'obtenir sur chaque côté le centre des moyennes harmoniques des sommets adjacents; car, d'après ce qui précède, pour avoir le centre q' des sommets B et C, ayant déjà le centre 9 de A et B, on n'aura qu'à tracer la droite qq* qui va rencontrer l'axe des origines harmoniques F P" au même point que la diagonale AC du polygone appartenant aux trois sommets consécutifs A, B, C que Ton considère.
Pareillement, pour obtenir le centre q[' qui appartient au côté suivant CD, on n'aura qu'à tracer la droite q[(i' qui va rencontrer l'axe des origines au point où le rencontre la diagonale BD, déterminée par les sommets extrêmes des côtés BC et CD que l'on considère et auxquels appartiennent les points q' et y". En continuant donc ainsi jusqu'au dernier côté du polygone ABCD. . ., on formera un nouveau polygone qq'q"q''* • • inscrit au premier, dont les côtés rencontreront respectivement l'axe des origines P'P" aux points où le coupent les diagonales du premier polygone qui joignent ses sommets alternatifs, et dont les sommets seront précisément les centres de moyennes harmoniques qu'on cherche sur les côtés du polygone ABCD. ...
Il est clair qu'ayant une fois les centres de moyennes harmoniques des différents côtés du polygone ABCD. . ., on aura sans peine celui qui appartient à une diagonale ou à deux sommets quelconques, car cette diagonale est elle-même le dernier côté de l'un ou de l'autre des polygones dans lesquels elle divise le proposé, polygones dont on connaît déjà les centres de moyennes harmoniques des différents côtés à l'exception de celui du dernier, qu'on pourra obtenir ainsi par le tracé des simples lignes droites.
39. Toutes ces constructions peuvent d'ailleurs s'établir directement, en supposant qu'on mette la figure en perspective de façon que la droite ou le plan P'P" des origines harmoniques passe à l'infini; et l'on voit en même temps quelle espèce de simplifications elles apportent dans la détermination ci-dessus (art. 35) du centre de moyennes harmoniques d'un nombre quelconque de points situés à volonté sur un plan ou dans l'espace; or ces remarques ne sont pas simplement curieuses, comme on va s'en convaincre par ce qui suit.
En effet, ce qui précède fournit un moyen très-simple et très-expéditif pour construire, sur une àvoiie pd [fig. 9), le centre ç' des moyennes harmo-» niques d'un nombre quelconque de points a, 6, c,..., par rapporta un dernier point p pris pour origine de segments harmoniques; car, ayant mené d'un point quelconque S, situé au dehors de la droite />e/, les proje-*
tantes Sa, S6, Se, Srf,..., puis, ayant pris à volonté de nouveaux points A, B, C, D, . . ., sur chacune d'elles et répondant respectivement à ceux dont on cherche le centre des moyennes harmoniques, tout consistera à construire, comme il vient d'être expliqué dans ce qui précède, le centre pareil Q des points A, B, C, D,..., par rapporta PS pris pour axe des origines, et à projeter ce centre, de S sur pd^ en ^r, qui sera (28 et 29) le point demandé.
40. Cette construction est plus simple que celle qui a été indiquée art. 14, et l'on peut remarquer qu'elle s'étend immédiatement au cas général où le centre q des moyennes harmoniques que l'on cherche est relatif (26) k des coefficients numériques quelconques rriy m\ m!\. . ., répondant respectivement aux points donnés a^h^c, d,..., puisqu'il suffit évidemment, au lieu de se borner a ne prendre qu'un seul point A, B, C,. . ., sur chacune des projetantes Sa, Se, Se,..., qui appartiennent aux proposés, d'en choisir autant qu'il est marqué par le coefficient numérique relatif a cette projetante ou au point d'où elle dérive.
Que l'on ait, par exemple, deux points a, 6, auxquels correspondent respectivement les coefficients numériques m et m', on devra prendre m points arbitraires sur la projetante Sa, et m' points pareils sur la projetante S 6; cherchant ensuite le centre Q des moyennes harmoniques de ces m 4- m' points et le projetant en q sur pb^ q sera le centre des moyennes harmoniques de a et de 6 relativement à m et m' ; c'est-à-dire qu'on aura (9)
pq ""^"*"^'
ou (24)
aq , bq m -^ + m T^ = o j ap bp
en ayant égard à la règle des signes posée art. 17.
Les points A, B, C,. • ., qu'on doit prendre sur les diverses projetantes Sa, SZ>, Se,..., pouvant avoir une position quelconque, on devra profiter de cette détermination pour simplifier les opérations relatives à la recherche des points Q et q\ mais ces simplifications se présentent d'une manière trop facile, dans les projections de la figure où ces points deviennent des centres de moyennes distances, pour qu'il soit nécessaire d'entrer dans des détails; et l'on serait conduit d'ailleurs à des résultats qui n'auraient qu'un léger avantage sur ceux des articles 9 et suivants, où l'on ne considère amplement que deux points a, b et les coefficients numériques m et n relatifs à ces points.
§IV
Application de la théorie du centre des moyennes harmoniques aux propriétés des figures rect dignes et pofyédrales.
41. La théorie qui vient de nous occuper donne Heu à un grand nombre de propriétés nouvelles concernant les figures rectilignes; beaucoup de ces propriétés, entièrement analogues à [celles qu'on déduit ordinairement de la théorie du centre des moyennes distances, soqt par là même faciles à découvrir et peuvent être abandonnées aux investigations du lec* teur; mais il en est d'autres qui, se rattachant à des propriétés du centre des moyennes distances moins généralement connues, et qui, étant sus* ceptibles d'être transportées dans la théorie des courbes et des surfaces géométriques, méritent qu'on leur accorde une attention plus particulière; or, c'est à cet objet que nous allons consacrer les dernières pages de ce Mémoire.
Remarquons, en premier lieu, que la plupart des principes que nous avons établis sur le centre des moyennes harmoniques peuvent être envisagés comme autant de propriétés distinctes des figures composées simplement de points, de droites et de plans quelconques.
Par exemple, les principes des n^' 24 et suivants conduisent immédiate-^ ment à cet énoncé :
Étant donné à volonté, dans un plan, un faisceau de droites projetantes Sp, Sa, Sb, Se,..., (fig. 7), cest-à'dire converf;eant en unmême point S, si, ayant choisi l'une quelconque d entre elles Sp pour axe des origines harmoniques, on mène arbitrairement des transversales droites ps, p's',..., dans ce faisceau, puis qu'on détermine, sur chacune d'elles, le centre des moyennes harmo-niques q^ q' 9..., des points d'intersection dif b, c,..., a', b', c',..., qui luiappar* tiennent, par rapport aux points p, p',-.., de l'axe Sp des origines harmo^ niques et relativement à des coefficients numériques quelconques (26), la suite des centres pareils sera une seule et même droite S q, passant par S, et que nous avons nommée l'axe des moyennes harmoniques du faisceau formé par toutes les autres projetantes,
42. Au lieu de mener arbitrairement les transversales /?5,p'^',..., on peut exiger qu'elles passent par un même point du plan de la figure, et prendre ce point sur l'axe Sp des origines harmoniques, en/i par exemple, auquel cas cet axe devient inutile pour déterminer les centres q^ puisque le point/?
4o THEORIE GÉNÉRALE
est, pour toutes les transversales, l'origine commune et unique des segments harmoniques: le théorème ci-dessus subsiste évidemment toujours; mais ainsi particularisé, il offre l'avantage singulier de pouvoir s'étendre à un système de droites quelconques situées dans un plan, et non plus simplement à un système de droites convergeant en un même point S; bien plus, pour arriver au théorème ainsi généralisé, il suffit, comme on va le voir, de partir du cas particulier où l'on ne considère que deux droites uniques Sa etS6, cas qui se déduit immédiatement des principes exposés art. 8 et 9 de cette Section.
Soient, en effet, AB, BC, CD,... {PL II, fig. i3), des droites indéfinies situées sur un plan, p un point arbitraire pris pour pôle des transversales ph qui rencontrent respectivement en a^b,c/dy,.., les droites fixes dont il s'agit ; je dis que si l'on détermine, sur chaque transversale pby le centre q des moyennes harmoniques des points a, 6, c, ^,..., par rapport au pôle p pris pour origine des segments et aux coefficients numériques quelconques m, m', m",..., la suite des points q sera une droite unique q(X qu'on pourra appeler Vcixe des moyennes harmoniques des droites proposées, relativement à/? et aux différents coefficients qui leur correspondent respectivement.
Pour le prouver, considérons d'abord deux droites AB, BC, auxquelles répondent les coefficients numériques m et m'; si, sur les transversales /^rf, nous prenons sans cesse les centres q' de moyennes harmoniques qui répondent aux points a et 6 de l'angle ABC, et aux coefficients m et m', d'après ce qui précède, la suite des centres q' sera une droite y'B passant par .le sommet de l'angle, et à laquelle correspondra (24 et 26) un nouveau coefficient m -\- m'. Soit Q le point où cette droite rencontre CD, la troisième des droites données; prenons sur la transversale variable ph le nouveau centre q" de moyennes harmoniques des points c et q' qui appartiennent aux côtés CDc et BQ9' de l'angle cQ^, et cela par rapport au point/? et aux coefficients m'\ m-^-m' répondant respectivement à ces côtés; le point q" sera le centre des moyennes harmoniques de a, b, c, et la suite de ces centres sera une nouvelle droite ^r^Q passant par Q, à laquelle correspondra un coefficient m -f- m' -h m'\ et qui rencontrera la quatrième AD des droites données en un point Q' qu'il faudra prendre pour nouveau sommet d'angle, etc. On arrivera donc, en continuant ainsi, à une dernière droite qÇy qui sera le lieu des centres de moyennes harmoniques de tous les points d'intersection a, b, c, d,...9 de la transversale mobile et des droites proposées, et qui en sera l'axe de moyennes harmoniques pour les coefficients m, m', m",...,
DES CENTRES DE MOYENNES HARMONIQUES. 4i
et relativement au pôle/?; théorème qu'on peut énoncer très-simplement de cette manière :
Un système de droites quelconques étant donné dans un plan, si l'on coupe ce système par une suite de droites transversales passant par un même point ou pôlcj puis qu'on détermine, pour chaque transversale, le centre de moyennes harmoniques des points d'intersection correspondctnts, en prenant le pôle pour origine des segments , la suite de tous les centres pareils sera une droite unique, c'est-à~€lire Vcujce de moyennes harmoniques des proposées par rapport au pôle et aux coefficients donnés (*).
43. Remarquons que chacune des manières dont nous avons enseigné (20, 24, 26) à définir graphiquement ou numériquement le point q de la transversale mobile ph donne lieu à un énoncé particulier du théorème qui précède. Ainsi, par exemple, si Ton définit le point q par la relation
m.aq m! ,bq mf.ca m" .dq ap bp cp dp
ou par celle-ci
/n4-'n'-hm''-H .. . m m! m" pq pa pb pc
la suite des points q sera une ligne droite.
11 en sera de même évidemment de la suite des points q déterminés par la relation plus générale
k m m' mf
pq pa pb pc ' "*
dans laquelle k est un coefficient numérique quelconque. Maintenant si, dans cette dernière relation, on suppose tous les coefficients égaux à Tunité, on
( * ) Dans le cas particulier où^ les coefficients m, m\,.., étant égaux à l'unité, on ne considère que le système de trois lignes droites^ et où Ton prend pour pôle p le centre de gravité ou des moyennes distances du triangle formé par ces droites, Taxe des moyennes harmoniques passe tout entier à Finfini, et Ton a, pour une transversale quelconque issue de p et rencontrant en a, b^c, les côtés du triangle,
± + JL + ±=o; pa pb pc
et, en eflet, cette relation, en ayant égard à la loi des signes (i7), est satisfaite pour les trois positions de la transversale où elle passe par Tun des sommets du triangle; car on a alors, par exemple, pb = pc = %pa.
Ce théorème a été démontré par Mag-Laurin dans son Treàté des courbes géométriques.
