AC-: AB4-BC

relation qui, sous cetto forme, ne satisfait pas aux conditions ci-dessus, quoiqu'elle subsiste bien (évidemment dans l(*s projections centrales des points de la figure sur une droite arbitraire pn.

Pour la transformer en une autre qui satisfasse à ces conditions, nous chercherons, en premier lit'u, à y introduire, selon ce qui a été prescrit ri-dessus, quelques-uns des segments qui se rap- IMirtent au point situé à l'inûni sur AC, point que nous représenterons par P, et cela de manière il ne pas troubler l'égalité. Or, c'est à quoi l'on parvient évidemment en multipliant chacun des ii'nnes de cette relation par celui des segments infinis et égaux PA, PB, PC, qui n'appartient à Hurun des points relatifs à ce terme. Cette relation se changera ainsi en cette autre,

AC.PB = AB.PCh-BC.PA,

dont 1(« différents termes renferment les mêmes lettres; et l'on voit aussi comment il faudrait agir pour pré[)arer, do la même manière, toute relation linéaire du premier degré entre le-s simples distances de points ranj^'és en ligne droite.

Sous celte nouvelle forme, d'ailleurs, la relation (jui précède n'exprime évidemment rien de plus i]ue celle d'où elle provient, atti^ndu que le point P est censé à l'infini. Mais étant projective, elle ne devra pas cesser d'avoir lieu en mettant les points A, B, C et P en perspective sur la nouvelle droite arbitraire/?/!, à partir d'un point quelconque S; on aura donc, en nommant /z, b, c ei p les nouveaux points, dont le dernier appartient évidemment à la projetante />S parallèle à AC,

acph = ftb.pc ■+- bc.pa,

Relation qui a lieu, de la mémo manière (i8), entre les sinus des angles projetants relatifs à chacune des distances qui y entrent.

On pourrait croire que cette relation est simplement relative à une certaine position particulière de p à l'égard de a, b, r; mais il est facile de prouver le contraire; car ayant choisi, à volonté, un tel i)oint sur une droite abr, on pourra toujours mettre la figure en projection sur une autredroite A(i, de façon que p [)asse à Tinfini , puisqu'il suffit do prendre AC parallèle à la projetante Sp de vxi point; or, la relation ci-dessus, qui est projoctive, sera satisfaite naturellement pour la projection AC; donc elle aura pareillement lieu pour la droite ac^ quels que soient les points r/, by r, p.

Voyons maintenant comment, \vat des transformations convenables, nous aurions pu arriver directement à la relation dont il s'agit en partant do celle ac = ab-^-bc qui n'en est qu'un cas particulier relatif ù l'hypothèse où P serait à l'infini.

A rot effet, multiplions l'éciuation tic = ab + bc par la distance /^Z> : on aura successivement, pour la position actuelle do /i, b, ccip,

acjib --. ab ,f»b + bcpb -- ab (pc — bc) -h bc (jja -\- ab) = ab ,pc -\-bc,pn,

qui est précisémenl celle qui a été obtenue ci-dessus par une voie très-dilférente (* ).

<■) lin taraut Qiiomùtrc, dont rérudition est iiicoiitestalile, attribue au grand Euler (Péiersbourg, I7.'|7 •i i^fB) coite remarquable et èlêGanle relation entre les six 8e(;meuls de quatre points rangés sur une I droite, et dont il a fait la hase de ses écrits en 1B37 et 18J2, d'où sont proscrites soigneusement les