D'après cela on voit que

( Si deux figures quelconques sont polaires réciproques k l'égard d'un

> cercle ou d'une sphère, et qu'il existe entre les ouvertures d'angles de

> l'une une certaine relation donnée, on pourra, de suite, en conclure une

> relation semblable entre les angles formés, autour du centre de la sphère » ou du cercle auxiliaire, par les diamètres ou plans diamétraux dont la » direction contient les pôles ou polaires des côtés et des èdres des premiers

> angles. •

Et réciproquement :

c Si l'on connaissait une telle relation d'angles au centre pour Tune des

loo PROPRIÉTÉS PROJECTIVES DES FIGURES,

et le lieu des sommets des angles triëdres rectangulaire^ qui lui sont circonscrits, à la place d'être une sphère comme dans le cas ci-dessus, est simplement le plan directeur polaire du point fixe de l'autre système; de la même manière que, pour la parabole^ le lieu des sommets des angles droits circonscrits est une droite unique, directrice ordinaire ou polaire focale de cette parabole, etc.

115. Sans entrer dans de plus grands détails sur les propositions qui précèdent, et sans discuter en particulier les relations qui peuvent lier entre eux les divers objets qu'elles concernent, nous nous contenterons de remarquer, d'une manière générale, que :

1** La réciproque polaire d'une circonférence de cercle^ à l'égard d'un cercle quelconque de son plan pris pour auxiliaire, est une section conique ayant pour foyer le centre de ce dernier cercle, et pour directrice la polaire du centre du premier; 2® la réciproque polaire d'une sphère^ à l'égard d'une autre sphère quelconque prise pour auxiliaire, est pareillement une surface du second ordre rfeVévolution ayant pour (oyer principal le centre de cette dernière sphère, et pour plan directeur le plan polaire du centre de la première.

Les réciproques de ce théorème sont également vrais; c'est-à-dire que :

La polaire d'une section conique ou d'une surface du second ordre de révolu-' tion quelconque, qui a pour foyer le centre d'un cercle ou d' une sphère pris pour auxiliaire, est une autre sphère ou un autre cercle ayant pour centre le pôle du plan directeur ou de la directrice.

C'est, en effet, ce qu'il est aisé de reconnaître en rapprochant, par exemple, les remarques du n® 112, de cette propriété très-anciennement connue des sections coniques : < l'angle sous lequel on voit, du foyer d'une section conique, la partie d'une tangente quelconque terminée aux deux tangentes qui répondent aux extrémités du grand axe de la courbe, est toujours constant et égal à un quadrant. •