suit de là, en particulier, que
Les diverses propriétés angulaires et descriptives dont jouissent les cercles et les sphères peuvent se traduire immédiatement en d'autres propriétés d'angles appar^ tenant au foyer commun des sections coniques et des surfaces du second degré de révolution, ce dont nous avons déjà montré de beaux et de nombreux exemples. Chapitre I, Section IV du tome I^^du Traité des Propriétés projec-tives des figures.
Remarquons en outre que, puisqu^un système quelconque de cercles tracés dans un plan, ou un système quelconque de sphères dans Tespace, a
SECTION IL - DES POLAIRES RÉCIPRO<JUES. loi
toujours, à l'infini, soit une sécante^ soit une section plane idéale commune (même ouvrage, Section P, et Supplément)^ les lignes et les surfaces du second ordre qui en sont les polaires réciproques par rapport à un autre cercle ou à une autre sphère pris pour auxiliaires, auront aussi idéalement (106) pour point de concours des tangentes communes, ou pour sommet de cône enveloppe commun, le centre qui sert à la fois de foyer à tout leur système ; de sorte qu'elles jouiront entre elles, sous ce rapport, de propriétés descriptives analogues à celles qui appartiennent aux systèmes de cercles ou de sphères ayant un centre de similitude commun, ou, plus généralement, aux systèmes de lignes et de surfaces du second ordre, qui ont un centre dhomologie commun, c'est-à-dire qui sont la projection, la perspective-relief les unes des autres (*).
De là résulterait donc une foule de propositions et de rapprochements curieux ; mais nous ne saurions insister sur ces conséquences particulières et faciles, sans nous écarter du but général que nous cherchons à atteindre ; c'est pourquoi nous allons passera un dernier exemple relatif aux propriétés d'angles des figures dans l'espace.
117. MM. Hachette et J. Binet ont démontré, p. 7 1 du tome II de la Correspondance polytechnique, que, f si, entre deux droites fixes quelconques, on fait mouvoir deux plans rectangulaires, la surface engendrée par la droite intersection de ces plans est une hyperboloide à une nappe ou surface gauche quiconque du second degré. » Appliquant donc à cet énoncé les principes exposés plus haut (109), on sera immédiatement conduit à cet autre théorème qu'on peut regarder comme le réciproque du premier :
Deux droites étant situées à volonté dans r espace, si, entre ces droites, on fait mouvoir un angle droit dont le sommet soit en un point fixe de r espace ^ et dont les côtés s'appuient respectivement sur ces droites, la suite de celles qui appartiennent à la fois aux paires de points de rencontre des droites fixes et dès côtés de C angle mobile, sera une surface gauche (92) rfa second ordre, ouhy-^ perboloïde à une nappe.
118. En général, on voit que: il n est, en quelque sorte, aucune propriété concernant les angles constants d'une certaine figure située dans V espace ou dans un plan, de laquelle on ne puisse déduire, à l' aide des principes qui précédent, une autre tout aussi générale, quoique essentiellement distincte de la proposée,
(*) Traité des Ptopriéiés projectives^ tome I, Sect. ID, Chap. I; Sect. IV, Chap. I, et Sappïémenî.
Parmi les diverses relations d'angles qui peuvent appartenir aux figures et qui sont remarquables autant par leur utilité propre que par leur généralité, je me contenterai de citer celles qui concernent les normales^ les développées et les lignes de courbure des ct)urbes et des surfaces, qu'il serait aisé de transformer, à l'aide de la théorie des polaires réciproques, en d'autres également générales quoique, sans contredit, d'un bien moindre intérêt. Je citerai encore la description organique par le moyen A'angUs constants, que Newton a donnée pour les lignes du second degré, enfin toute la Géométrie organique du célèbre Mac-Laurîn, fondée sur ce théorème de Newton, aussi bien que les recherches postérieures du même géomètre, imprimées dans les Transactions philosophiques de la Société Royale de Londres. pour l'j'iS.
Ces diverses propositions nous conduiraient sur-le-champ à d'autres entièrement nouvelles, où, au lieu de décrire les courbes par le mouvement de certains points mobiles, on les construirait par l'enveloppe de leurs tangentes, etc., etc. Mais, encore une fois, nous ne saurions nous arrêter à ces corollaires faciles de la théorie des polaires réciproques, et il doit nous suffire d'avoir montré, par quelques exemples simples, la nature et l'étendue des applications qu'on peut en faire.
119. Au surplus, tout ce qui précède ne concerne uniquement que les relations d'angles d'ouverture donnée et constante; mais il est éûdent qu'on peut traduire d'une manière semblable celles qui concerneraient des angles variables quelconques et dont on connaîtrait la loi en fonction des lignes trigonomé triques; car, à l'aide des principes établis aux n"* 109 et suivants, on pourra toujours traduire ces relations en d'autres concernant des angles suppléments des premiers, et qui auront pour sommet commun un point quelconque de l'espace pris pour centre du cercle ou de la sphère auxiliaire.
Par exemple, si, au lieu des normales d'une surface ou d'une courbe quelconque, on considère les systèmes de droites ou de plans formant entre eux et avec une courbe ou une surface donnée des angles arbitraires dont les sinus seraient assujettis à une loi déterminée, les réciproques de ces droites, à l'égard d'un cercle ou d'une sphère auxiliaire choisis à volonté, seront comprises (109) dans des plans passant par le centre de cette sphère, et formant respectivement des angles dont les sinus devront avoir entre eux précisément la relation donnée entre les premiers. Ainsi, en particulier, les propriétés générales àes faisceaux de droites réfléchies ou réfractées pourront se traduire immédiatement en d'autres d'une espèce toute différente et qui.
SECTION II. — DES POLAIRES RÉCIPROQUES. io3
sans être par elles-mêmes d'une égale importance, n'en seront pas moins utiles à considérer. On conçoit» en effet, que la recherche des relations qui appartiennent à ce système dérivé pourra, dans certains cas particuliers, être plus simple et plus facile que pour la figure primitive elle-même.
Nous n'en dirons pas davantage sur ce sujet, attendu que nous aurons occasion, dans le paragraphe suivant, de considérer une classe trëstétendue de relations entre les sinus des angles, et de démontrer ainsi, d'une manière plus particulière, le parti avantageux que l'on peut tirer des principes qui viennent d'être mis en avant dans ce qui précède.
Des relations projectiles entre les lignes trigonométriques et les distances des figures polaires réciproques dans un plan.
120. Nous avons vu (58) qu'un faisceau quelconque de droites VA, VB, VC,..., VF [fig. 24, PL III) convergeant en un même point V sur un plan, et qu'on peut simplement appeleryâwceaw projetant^ avait pour réciproque, par rapporta une section conique quelconque (S) prise pour auxiliaire, un sys* tème pareil de points A', B', C',..., F', rangés sur une même droite, ^ivice versa; donc, si l'on suppose, en particulier, que (S) soit un cercle, toute relation existant entre les sinus des angles projetants formés autour du point V aura lieu également (110) entre les sinus des angles formés par les droites QM rayons vecteurs qui, du centre S, projettent les pôles respectifs de ces droites, c'est-à-dire entre les angles projetants des distances, rangées sur D'E', qui ont pour extrémités respectives les pôles des côtés des premiers angles; et réciproquement, toute relation entre les sinus des angles au centre S aura lieu pareillement entre ceux des angles correspondants formés autour du pôle V de D'E'.
Cela posé, admettons qu'entre les distances des points donnés A', B', G',.,., F', il existe une ou plusieurs relations métriques projectives de la nature de celles que nous avons définies art. 9 et suivants du tome I" du Traité des Propriétés projectives, et qui ont été rappelées au n® 18 de la précédente Section, la même relation aura donc lieu entre les sinus des angles qui projetteraient ces distances du point quelconque S; et, par suite de ce qui précède, elle aura lieu également entre les sinus des angles du faisceau V. Donc toute droite AF, prise pour transversale de ce faisceau, y déterminera des points A, B, C,..., F, qui auront entre eux précisément la
io4 PROPRIÉTÉS PROJECTIVES DES FIGURES,
même relation projective que les points A', B', C',..., F' qui leur correspondent. Et réciproquement :
c S'il existe entre les sinus des angles du faisceau V, ou entre les distances » qui sous-tendent ces angles sur la transversale arbitraire AF, une relation
> de la nature de celles qui précèdent, cette même relation aura lieu aussi » entre les distances correspondantes des pôles A', B', C',. ... F' des côtés de
> ces angles. »
121. Tout ce qui suit se rapportant essentiellement aux relations métriques qui sont de la nature de celles dont nous venons de rappeler le caractère particulier, nous nous contenterons, pour la simplicité du langage, de les désigner par Tépithète générale de relations projectiles ; on devra se rappeler en conséquence que, non-seulement de telles propriétés subsistent à la fois pour la figure donnée et pour toutes ses projections centrales ou perspectives sur un plan quelconque, mais qu'encore ces mêmes relations devront satisfaire aux conditions prescrites dans les endroits cités; de sorte qu'elles auront lieu également entre les sinUs des angles projetants des diverses distances qui y entrent, c'est-a-dire des angles dont les couples de côtés s'appuient respectivement sur les extrémités de ces distances, et sur un point quelconque de l'espace pris pour sommet ou centre de projçction.
Pareillement, par relation projective entre les sinus d'angles d'un faisceau quelconque de droites convergeant en un même point, nous entendrons toujours parler d'une relation qui subsisterait également entre les distances correspondantes d'une figure sur les différents points de laquelle s'appuieraient les droites ou projetantes du faisceau, et qui serait projective pour cette figure.
Or il suit de cette définition que, si l'on coupe un tel faisceau par un plan arbitraire, et que, dans la relation qui lui appartient, on remplace chaque sinus d'angle par la distance qui, sur le plan arbitraire, sous-tend cet angle, la nouvelle relation devra avoir lieu également entre toutes les distances pareilles, et sera d'ailleurs projective pour la figure à laquelle ces distances appartiennent.
En supposant qu'on voulût distinguer de tous les autres le faisceau de droites qui vient d'être défini en particulier, on pourrait le nomm^v faisceau projectif; il est visible, en effet, qu'un pareil faisceau, mis en perspective, conservera toujours les mêmes propriétés [voyez le tome I" du Traité des Propriétés pro/ectives, n°' 10, 576 et suivants).
122. Soit maintenant une figure quelconque AMBC... {^g. a5), donnée
SECTION IL - DES POLAIRES RÉCIPROQUES^ io5
sur le plan d'un cercle (S) pris pour auxiliaire, et supposons qu'il existe entre les distances AM, AB, BN,... de cette figure une relation métrique projective : ces propriétés seront donc telles que, si Ton mène d'un point quelconque V du plan de la figure un faisceau de droites projetantes VA, VM, \'B,... vers les extrémités A, M, B,... de ces diverses distances, il y aura entre les sinus des angles formés par ces droites la même relation qu'entre les distances dont ils sont les angles projetants respectifs.
Passant donc à la figure réciproque de la proposée à l'égard du cercle auxiliaire quelconque (S), et observant que les projetantes VA, VM, VB,... ont pour pôles une suite de points A', M', B',-.. rangés sur la polaire de V, et situés aux intersections respectives de cette polaire et de celles qui appartiennent aux extrémités A, M, 6,... des distances que l'on considère, on en eonclura (120) que la relation projective qui existe entre ces distances a lieu également dans la figure réciproque, entre les distances des points ou pôles qui appartiennent à la polaire de V; mais le point V est arbitraire, €Jonc on pçut énoncer ce théorème général, dont le réciproque est égale- XDent vrai :
Une figure quelconque étant donnée sur un plan, s* il existe entre les diverses distances de ses points une relation métrique projective, la même relation exis- ^ra aussi, dans la polaire réciproque de cette figure, prise par rapport à un cercle auxiliaire quelconque de son plan, entre les distances correspondantes formées sur une droite arbitraire par les intersections de cette droite avec tespoicires des extrémités respectives des premières. Et réciproquement :
5'// existe une relation pareille entre les distances des points d* intersection €i'une transversale arbitraire et des diverses droites de l'une de ces figures, la ^Tiême relation aura lieu aussi entre les distances de sa réciproque, qui ont pour extrémités respectives les pôles des droites dont il s* agit ^ pourvu toutefois quelle soit de la nature projective, quand on V applique à cette réciproque.
123. Mais ce n'est pas tout encore : la relation métrique que nous supposions exister entre les droites MA, MB, MN,... de la figure proposée ayant lieu aussi, d'après sa nature (121), entre les sinus des angles projetants de ces distances, formés autour de S, pris en particulier pour centre de projection; et, d'un autre côté, chacun de ces angles, tel que DSC par exemple, ayant même sinus (109) que l'angle D'cC formé par les polaires cD', cC des extrémités D et C de la distance correspondante Q), on voit que, dans la figure réciproque de la proposée AMBD... la relation ci-dessus entre les IL i4
io6 PROPRIÉTÉS PROJECTIVES DES FIGURES.
distances se change en une relation pareille entre les sinus des angles formés par les polaires des extrémités de chacune d'elles; d'où ce nouveau théorème général :
S' il existe entre les distances d'une figurç plane quelconque une relation mé* trique projective^ la même relation aura lieu encore, dans la réciproque de cette figure prise par rapport à un cercle auxiliaire quelconque de son plan^ entre les sinus des angles formés par les polaires des extrémités respectives de ces dis-tances.
Et réciproquement :
^ il existe une certaine relation entre les sinus des angles de certaines droites de la figure primitive, la même relation aura lieu aussi entre les distances de la réciproque dont les extrémités respectives sont les pôles de ces droites, pourvu que cette relation soit^ de sa nature, projective quand on l'explique à cette ré^ ciproque.
124. On peut remarquer, en passant, qu'attendu la nature particulière des relations que nous venons d'examiner, ces différents théorèmes auraient lieu d'une manière analogue dans le cas oii, à la place d'un cercle, on prendrait une section conique quelconque pour directrice ou auxiliaire; car on peut toujours considérer l'un de ces systèmes comme la perspective ou projection centrale de l'autre, pourvu néanmoins que les figures auxquelles ils se rapportent soient elles-mêmes projectives de leur nature, et ne concernent par conséquent aucune grandeur constante et déterminée.
Au surplus, je crois devoir le dire expressément, cette observation, qui s applique également au cas de l'espace que nous aurons bientôt à examiner, n'ajoute rien à la généralité des conséquences qu'il est possible de déduire des théorèmes précédents (107), quoique leur énoncé suppose que les figures polaires réciproques soient prises simplement par rapport à un cercle auxiliaire; les réflexions générales présentées art. 100 et suivants sont donc également applicables au cas particulier dont il s'agit.
125. Nous allons terminer l'exposition de ces principes relatifs aux figures planes par quelques applications particulières à des propositions déjà connues, seulement pour en faire pressentir la fécondité et les rendre familiers à l'esprit du lecteur.
Et d'abord nous ferons observer d'une manière générale que les propriétés nombreuses de la Géométrie de la règle et de la théorie des transversales peuvent toutes recevoir l'application de ces principes, de sorte qu'elles sont susceptibles d'être immédiatement traduites en d'autres également intéres-
io8 PROPRIÉTÉS PROJECTIVES DES FIGURES.
résulte évideminent du principe de l'article 122, appliqué au cas particulier
dont il s'agit.
Cette nouvelle proposition est d'ailleurs une conséquence des remarques
faites aux articles 174 et 175 du tome P' du Traité des Propriétés projectiles des
figures, puisque les segments de la transversale h'^ sont véritablement la
projection faite, du point V, des paires de segments formés sur les différents
côtés du polygone ABCD... F, à compter de cette même transversale.
127. Considérons encore un triangle, des sommets duquel on aurait abaissé, par un point quelconque, des droites sur les côtés opposés; elles détermineront, sur chacun de ces derniers, deux segments, et tous ces segments auront entre eux, comme on sait, une relation analogue à celle qui vient d'être définie précédemment. En passant donc à la figure réciproque, on conclura immédiatement des principes déjà cités cette nouvelle proposition :
f Un triangle ABC (fig*:^']) étant coupé par une droite arbitraire B'C'A',
» si l'on joint chacun de ses sommets avec le point d'intersection du côté
» opposé, par une nouvelle droite, cette droite partagera en deux autres
» l'angle correspondant du triangle ou son supplément; or si l'on multiplie
> entre eux les sinus de trois quelconques de ces angles qui n'appartiennent
> pas aux mêmes sommets» ce produit sera égal à celui des sinus des trois
> autres angles. >
On voit, en outre, que le système des trois droites ainsi tracées et des côtés du triangle sera coupé par une nouvelle transversale rectiligne arbitraire ah^ en six points, dont les distances auront entre elles la même relation que les sinus des angles correspondants. Ces deux propositions s'étendraient aisément d'ailleurs à des polygones d'un nombre quelconque de côtés, au moyen du théorème de l'article 159 du tome I*' du Traité des Propriétés projectiles.
128. Les mêmes principes, appliqués aux propositions qui font le sujet des articles 515 et 527 de ce même volume, et qui sont relatives aux polygones inscrits et cirsonscrits à des sections coniques quelconques, feraient voir que ces propositions sont réciproques entre elles; de telle manière que, l'une d'elles étant supposée établie, l'autre s'ensuit immédiatement.
On s'assurera pareillement que les propositions des n^* 29, 44 et 45 de la précédente Section relative aux centres de moyennes harmoniques^ sont respectivement les réciproques de celles du n*^ 42, et des première et deuxième propositions du n® 49, etc. On pourrait même en énoncer plusieurs autres d'un genre analogue, et que nous avons négligé de faire connaître dans la
no PROPRIÉTÉS PROJECTIVES DES FIGURES.
tifs à trois sommets différents du triangle, on obtiendra un résultat qui sera le
même que celui qu'on aurait en multipliant entre eux les trois autres produits
restants.
Ajoutons (122) que, si Ton trace k volonté une transversale rectiligne br' à travers le système de toutes ces tangentes et des trois côtés du triangle ABC, et qu'on nomme respectivement a, 6, c ses intersections avec les côtés (a), (6), {c) ; p,p' ses intersections avec les tangentes (/?), (/?'), et ainsi de suite, on aura également la nouvelle relation
ap,apf bq,bq' cr.cr '
bp,bp' cq.cq' ar,ar' '
entièrement analogue à celle d'où nous sommes partis, et qui est relative au triangle transversal abc de \^fig* ^^*
130. Maintenant, si l'on observe que cette dernière relation, mise pour abréger sous la forme
(ap)-(bq)>(cr)
{bq),[cq).[ar)- '
s'applique ou s'étend à une courbe quelconque du degré m prise pour transversale du triangle abc [fig. a8), on en conclura facilement (101) que les propositions inverses qui précèdent auront lieu également pour un triangle quelconque ABC [fig. 29) tracé sur le plan d'une telle courbe, et pour les trois groupes de /w(/n — i) tangentes issues des sommets de ce triangle; tout consistera simplement à étendre, d'une manière convenable, la signification des produits de segments et de sinus compris* dans chaque parenthèse, tels que (ap), J^sin(a,/?)], de la même manière qu'on l'a fait pour le cas simple d'une section conique.
Enfin, puisque la proposition du triangle transversal, d'où nous sommes partis précédemment, s'étend à un polygone d'un nombre de côtés quelconque, il en est de même aussi des propositions inverses que nous en avons déduites à l'aide de la théorie des polaires réciproques.
Nous terminerons ici ces exemples, qu'il serait facile de multiplier, pour reprendre, dans le paragraphe suivant, la théorie que nous n'avons encore exposée que pour le cas où les figures sont dans un même plan.
113 PROPRIETES PROJECTIVES DES FIGURES,
* nant aux points d'une figure quelconque ABMCN... [fig. 25) située dans
> l'espace, cette relation existera pareillement entre les sinus des angles
> dièdres dont les plans passeraient par leurs extrémités respectives et par » une droite quelconque V. »
En effet, si l'on fait la projection orthogonale de toute la figure sur un plan perpendiculaire à l'arête commune V, cette même relation aura lieu, soit entre les distances simples de la projection, soit entre les sinus des aiigles qui mesurent, sur le nouveau plan, les angles du faisceau de plans que l'on considère dans l'espace.
Quant à la proposition réciproque, elle ne peut avoir lieu (121) qu'autant que la relation qu'on supposerait exister entre les sinus des plans convergents, transportée aux distances de la figure correspondante, remplirait, pour cette figure, les conditions assignées aux relations métriques projectives que nous considérons en particulier.
D'après les raisons déjà spécifiées à la fin du n° 121, on pourra, pour plus de simplicité, désigner un système de plans tels que celui qui vient d'être défini, par l'épithète àikt faisceau projectif.
133. Concevons maintenant que les plans VA, VB, VC,... {fig.:il\)y au" lieu de passer par une même droite, comme précédemment, soient seulement assujettis à avoir un point commun V; leurs pôles A', B', C',..., cesseront d'être en ligne droite et seront simplement (76) placés dans le plan D'E' polaire de V; quant aux rayons ou projetantes SA', SB'< SC\..., les sinus de leurs angles seront toujours égaux à ceux des plans qui passent par Y et leur correspondent respectivement. Mais, lorsqu'il existe entre les distances d'une figure plane A'B'C'D'... une relation projective de la nature de celles que nous avons envisagées jusqu'à présent, elle doit aussi avoir lieu (121) entre les sinus des angles projetants de ces distances, formés autour d'un point quelconque S pris pour centre de projection, et réciproquement; donc une semblable relation ne saurait avoir lieu, soit entre les angles dièdres des plans V, soit entre les angles plans des rayons S qui joignent leurs pôles au centre &, soit enfin entre les distances correspondantes de ces différents pôles, sans qu'elle n'eût lieu, de la même manière, pour les deux autres systèmes; principe qu'on peut énoncer ainsi :
SU edbiste, entre les distances des points d'une figure plane quelconque D'E', une relation métrique projectile ^ la même relation aura lieu aussi entre les sinus des angles dièdres formés par les plans polaires respectifs de ces points , plans qui convergent en un même point V.
ii4 PROPRIÉTÉS PROJECTIVES DES FIGURES.
nous avons déjà eu roccasion d'en étudier les propriétés réciproques aux n°' 122 et 123.
135. Au lieu d'un système de plans VA, VB, VC,... {fig. a4), considérons maintenant un système de droites convergeant en un point unique Y de l'espace, et représentées par les mêmes lettres; les polaires réciproques A', B', C',... de ces droites seront situées (78) dans un plan unique D'E', polaire deV.
Cela posé, admettons que le faisceau des droites V soit un faisceau projectif (121); en le coupant par un plan arbitraire AF, il en résultera un certain nombre de points dont les distances respectives auront entre elles la relation métrique projective qui appartient aux sinus des angles de ce faisceau. Mais, en passant à la figure A', B', C',..., polaire réciproque de celle dont il s'agit, à l'égard de la sphère (S), le plan AFsera remplacé par un point X pôle de ce plan, et ses différentes intersections A, B, C,..., avec les droites du faisceau, léseront par des plans passant parle pointX et les différentes droites A', B', C',..., réciproques de celles VA, VB, VC du même faisceau; -donc, d'après les théorèmes ci-dessus (133), les relations projectives qui ont Heu entre les sinus des angles de ces dernières droites appartiendront aux angles dièdres correspondants des plans X A', XB', XC',...,qui, du point arbitraire X, projettent les droites A', B', C',..., réciproques de celles-là.
Ainsi le faisceau X des plans projetants sera analogue à celui qui a été défini ci-dessus (134); il devra donc aussi jouir des mêmes propriétés; et, par exemple, c si on le coèpe par une droite transversale arbitraire, il existera entre les distances respectives des points d'intersection, les mêmes relations projectives qu'entre les sinus des angles dièdres qui embrassent ces distances par les extrémités; » c'est ce que, au surplus, on pourrait établir directement à l'aide de la théorie des polaires réciproques, et par l'examen de ce qui se passe dans le faisceau primitif des projetantes V. Remarquons seulement que si, dans le plan des droites A', B', C',..., on trace une autre transversale rectiligne, les points où elle ira rencontrer ces droites devront jouir de la propriété dont il s'agit. En effet, tout revient évidemment à prouver (131 et 77) que :
« Si, d'une droite arbitraire passant par le sommet du Aûsceau (V), on mène
> des plans vers les différentes droites de ce faisceau, les sinus des angles
> de ces plans auront entre eux les mêmes relations projectives que ceux des » angles formés respectivement par ces droites > . Or c'est ce qui a nécessairement lieu (132), puisque ces plans et ces droites s'appuient sur les diffé-
SECTION II. — DES POLAIRES RÉCIPROQUES. ii5
rents points d'une figure A, B, C,..., dont les distances ont entre elles, par hypothèse, les relations projeclives d'abord mentionnées. Concluons donc de tout ce qui précède, que :
Étant donné, dans V espace, un faisceau projectif de droites convergeant en un même point, c'est-à^ire (121) qui s* appuient sur les différents points d*une figure jouissant d'une certaine relation métrique projectile, \^ la même relation aura Ueu entre les 'sinus des angles correspondants des faisceaux ; 2? le système plan, des polaires réciproques des droites qui le composent, sera tel, quen le coupant par une droite arbitraire, les distances respectes des intersections auront entre elles la relation projectile dont il s'agit; 3*^ si, d'un point quelconque de l'espace, on mène des plans vers ces mêmes polaires, les sinus de leurs angles auront encore entre eux la même relation.
Il est d'ailleurs entendu que, dans ces diverses figures et relations, on a soin de prendre toujours les angles et les distances qui se correspondent directement.
Quant à la proposition réciproque, elle est assez évidente par elle-même pour qu'il soit superflu de l'énoncer.
136. De ce qui précède on tire une nouvelle propriété du système de droites que nous avons considéré (art. 134), laquelle peut s'énoncer ainsi :
Quand un système de droites quelconques A', B', G',..., situées dans un plan, est tel, qu'en le projetant d'un certain point X de l'espace, par de nouveaux plans, les angles dièdres qu'ils forment ont entre leurs sinus une certaine relation métrique projective (134), la même relation a lieu également pour tout autre faisceau de plans projetants, déterminés par un point quelconque de l'espace.
J'ajouterai, en dernierlieu, que : quand les droites du faisceau primitif (V) sont dans un même plan, non-seulement il en est ainsi de leurs réciproques A', B', G',..., mais encore celles-ci concourent également en un point unique, pôle du plan des premières; de plus, il est visible que les relations projectives de l'un de ces faisceaux appartiendront aussi à l'autre, en sorte qu'ils seront parfaitement réciproques entre eux.
137* Ges préliminaires nous mettent en état d'aborder directement le cas général où l'on a à considérer des relations métriques projectives appartenant à une figure quelconque dans l'espace, ou à sa polaire réciproque à l'égard d'une sphère prise à volonté pour auxiliaire.
Soit en effet A, M, B, N, G,... {^gl aS) le système des points proposés, S le centre de la sphère prise pour auxiliaire; supposons qu'il existe une certaine relation métrique projective entre les distances AM, MB;... GP, PD,
ii6 PROPRIÉTÉS PROJECTIVES DES FIGURES.
appartenant à ces points; par un raisonnement analogue à celui du n^ 123 et qu'il est inutile de reproduire, on conclura que la même relation devra avoir lieu entre les sinus des angles dièdres correspondants des plans ak\ aM',..., c¥, cC polaires des extrémités de ces distances respectives. On pourra donc énoncer, pour le cas de l'espace, ce théorème entièrement analogue à celui de l'endroit cité :
S* il existe, entre les diverses distances d* une figure donnée dans V espace ^ une relation métrique projectile, la même relation aura Heu également entre les sinus des angles dièdres formés par les plans polaires des extrémités respectiçes de ces distances y par rapport à une sphère auxiliaire quelconque.
Et réciproquement :
S'il existe une certaine relation entre les sinus des angles dièdres des plans d'une figure quelconque, la même relation aura lieu aussi entre les distances de la réciproque, dont les extrémités respectives sont les pôles de ces paires de plans ^ pourvu que cette relation soit, de sa nature, projective quand on V applique à cette réciproque.
138. Supposons maintenant que, d'une droite quelconque Y de l'espace, on mène des plans vers les différents points de la figure AMBC... considérée ci-dessus, le faisceau de ces plans sera /?/xj/ec/j^ (132) puisque, par hypothèse, les distances de cette figure ont entre elles une relation projective; donc on conclura immédiatement ce théorème, du principe de l'article 131, en observant que les plans VA, VB, VM,..., dont il s'agit et qui renferment les différents points de la figure proposée, ont leurs pôles situés à la rencontre de la polaire de la droite quelconque V et des plans polaires des points respectifs A, B, M,... :
S' il existe, entre les diverses distances d'une figure donnée dans l'espace^ une relation métrique projective, la même relation existera pareillement, dans la figure réciproque, entre les distances correspondantes fi)rmées^ sur une droite arbitraire, par les intersections de cette droite avec les plans polaires des extrémités respectives des premières distances.
Et réciproquement : ^
S' il existe une semblable relation entre les distances des points d'intersection d*une droite arbitraire et des divers plans d'une figure donnée dans l'espace, la même relation aura lieu aussi çntre les distances de la figure réciproque qui ont pour extrémités respectives les pôles des plans dont il s'agit ; pourvu toute-^ fois (132) que cette relation soit, de sa nature, projective quand on l'applique à cette réciproque.
ii8 PROPRIÉTÉS PR0JECTIVE8 DES FIG0RE8.
que l'oD considère sont situées dans l'espace, et où les courbes sont remplacées par des surfaces quelconques du même ordre : c'est à indiquer rapidement quelques-unes de ces applications particulières que je vais consacrer les dernières pages de ce Mémoire» afin de ne pas m'écarter de la marche que j'ai constamment suivie jusqu'à présent.
Sans m'occuper d'ailleurs du cas, en quelque sorte élémentaire, des figures rectilignes et polyédrales dans l'espace, coupées simplement par des droites oju des plans arbitraires, lequel conduirait sans peine à plusieurs propositions intéressantes et que je dois me borner à recommander a l'attention des géomètres, je ferai de suite observer, d'après Carnot, que le principe (129) du triangle et du polygone plan, coupés par une courbe géométrique du degré m, s'applique également à un polygone gauche coupé par une surface géométrique du même ordre prise pour transversale de ce polygone. % Or, de la résulte pour l'espace un principe entièrement analogue à celui de l'article 130, et qui est tout aussi général.
141. En effet, le polygone gauche dont il s'agit aura pour réciproque, à regard d'une sphère, un polyèdre indéfini {SI) dont les arêtes seront réciproques des côtés de ce polygone; de sorte que les plans tangents, menés de ces arêtes à la surface polaire de la proposée, auront pour pôles respectifs (77 et 91) les intersections de celle-ci avec les côtés correpondants du polygone gauche. Tout consistera donc (101, 137 et 138) a substituer, pour le cas actuel de l'espace, un polyèdre indéfini ad triangle des théorèmes énoncés en particulier (129) ; pour la section conique, une surface de l'ordre m à cette section conique; les arêtes du polyèdre aux sommets du triangle; les plans tangents passant par ces arêtes respectives, aux tangentes relatives à ces sommets; enfin les angles dièdres formés par chaque plan tangent et l'une^es faces correspondantes du polyèdre, à l'angle formé par chaque tangente et par l'un des côtés correspondants du triangle.
L'énoncé des deux théorèmes auxquels on arrive ainsi se simplifie un peu dans le cas où le polygone primitif se réduit à un triangle, et dans celui où il se trouve compris tout entier dans un plan ; car alors le polyèdre réciproque se réduit lui-même (81) à un angle solide irièdre ou à un angle solide d'un nombre quelconque de faces ou d'arêtes passant par un même point.
Au surplus, les principes des n^ 133 et suivants, appliqués de même à la proposition du polygone gauche coupé par une surface quelconque de l'ordre m, conduiraient à d'autres conséquences non moins intéressantes et
plusieurs géomètres, je crois devoir déclarer qu'il parait ici conforme au manuscrit déposé, en 1824, à l'Académie des Sciences^ et qui a été paraphé, dans toutes ses parties, par M, le baron Fourier, secrétaire perpétuel.
Je crois aussi devoir prévenir que, lors de la lecture que je fis, au sujet de ce Mémoire, dans la séance du 12 avril 1824, je développai et fis ressortir plusieurs des applications générales qui s'y trouvent simplement indiquées et qui ont été depuis nrientionnées dans Vanafyse ci-dessus. Telles sont, en particulier, les propriétés angulaires et descriptives concernant les lignes et surfaces du second ordre que je nommai homofocales ou con/ocales, parce qu'elles ont un foyer commun, propriétés qui sont, en général (166), les polaires réciproques de celles qui appartiennent à un système de cercles ou de sphères quelconques situés dans un plan ou dans l'espace, et qui deviennent les réciproques de celles des cercles ou des sphères concentriques (115), quand les lignes et les surfaces ont même polaire ou même plan polaire foccU, c'est-à-dirê même directrice ou même plan directeur.
Je montrai par des exemples comment ces propriétés sont, quant aux relations de situation, entièrement analogues à celles des lignes et des surfaces du second degré qui, étant inscrites dans un même angle ou.dans un même cône, peuvent être envisagées comme la perspective^ dans un plan ou en relief, les unes des autres, propriétés développées dans le tome P'^de cet ouvrage, et qui, dans le cas actuel, résultent de ce que le foyer commun est, en effet, idéalement pour toutes les surfaces, le sommet d'un tel angle ou dun tel cône circonscrit, ou, plus généralement, ce que j'ai nommé un centre de projection, un centre d'homologie (').
Parmi les propriétés particulières du ybyer^e/iera/ des surfaces du second degré, je signalai comme les plus importantes celles des section^ planes de ces surfaces, qui, d'un tel foyer, sont vues sous l'aspect de cercles qui appartiendraient tous à une sphère ayant ce foyer pour centre, et celles qu'ont les tangentes conjuguées de ces surfaces, d'être vues, de ce même foyer, sous un angle droit {ovmé par les plans qui contiennent ces tangentes, propriétés qui ont servi à M. Dupin {Applications de Géométrie, IV* Mémoire, p. 210
( * ) Dans le cas particulier où les lignes et surfaces ont, en outre, mémo directrice et môme plan
directeur, c'esl-à-dire même droite ou même plan polaire focal, leur système a cette droite et ce plan pour conic idéale commune ou plan idéal commun de contact; ce qui entraîne, comme j'en ai déjà fait la remarque au n°456 du tome I de ce Traité^ une foule de propriétés dont celles qui concernent simplement les sections coniques ont été spécialement étudiées dans K* dernier Chapitre de la Section VU du même volume, et d'ailleurs sont tout à fait analogues à celles qui appartiennent aux cercles et aux sphères concentriques: l'un de ces systèmes étant la projection centrale ou perspective de l'autre.
et suivantes) pour établir sa belle théorie des faisceaux lumineux réfléchis à leur rencontre avec une surface quelconque.
Je fis voir encore c qu'un système quelconque de surfaces du second ordre, confocales, lequel peut comprendre aussi des sphères ayant le foyer commun pour centre, s'entrecoupent deux à deux suivant des sections coniques dont les plans concourent trois à trois en une même droite^ et quatre à quatre en un même point; que les déi^eloppables circonscrites à ces surfaces, prises deux à deux, sont des cônes du second degré qui s'entrecoupent suivant des courbes du même degré et dont les sommets sont, trois par trois, en ligne droite, et quatre par quatre en un même plan; que les pôles de tout plan passant par le foyer commun, pris par rapport à ces surfaces respectives, sont situés sur un ménîe rayon vecteur perpendiculaire à ce plan; que les c^nes circonscrits à ces surfaces, suivant les sections déterminées par ce même plan, s'entrecoupent deux à deux suivant des lignes du second degré dont les plans sont aussi \es plans de section des surfaces auxquelles ils appartiennent, etc., etc.; qu'enfin ces diverses relations permettent de construire très-simplement, et sous des conditions données ^ toute surface du second degré dont le foyer général est assigné ou doit être commun à cettfe surface et a d'autres surfaces données, et qu'elles permettent aussi de construire les plans de section commune à un système de surfaces confocales, etc., etc. > C'est à cela, comme on sait, que revient, en dernière analyse, la recherche cî u centre de la sphère tangente à quatre autres dans r espace, puisque ce centre ^oit se trouver à l'intersection mutuelle de surfaces du second degré de révolution, qui ont pour foyer commun le centre de l'une quelconque des sphères données.
Metz, l6 30 août 1828.
m PROPRIÉTÉS PROJECTIVES DES FIGURES.
SECTION m.
ANALYSK DES TRANSVERSALES APPLIQUÉE AUX COURBES ET SURFACES GÉOMÉTRIQUES (').
Introduction historique commune aux Sections III et IV.
\\\\ annoncé, ilaijs le toiije VIII des Annales de Mathématiques de Moni^ prllicr (année 1817), îles moyens généraux pour construire lineairemeni, ou avec une simplo règle, les tangentes des cour{)es géoniétriques; j'étais en elfe! parvenu, dès le commencement de 1816, à ce résultat ainsi qu*à beaucoup d'aulrcs concernant le cercle osculateur et les sections coniques osculatriccs dos divers ordres, en un point donné d'uae telle courbe censée décrite* Dans une lettre en date de mai 1818, j'annonçai ces résultats à M. Servois, savant géomètre dont je m*honorerai toujours d'avoir été rami et
V * ^ CoUo Ur SvUoQ est conforme au Mi^moire manuscrit lu ei déposé à VkctéUm des Siemx^ lio rinstiiul dans U >éanco du 5 soplonibre i83i i Commissaires, MM. Lacroix el MmoI), |Mù$ inx^r^ au tome VIII du Jt^fimni tie MtUhcmatAjuesde Crctlr^ en quatre fragments séfiaréB par <k* KwiT* inienTiiUes» frairmenl* dont lo promior a |«ru dans le Cahier de janvier i83m, i ^|Hgri(pho tmv de Vfis^u de C^mot sur les in^^^nîeux et admirables éléments de la < ^vuo ur :^"lHM\ est lo ivmplèmont ol lo dèvoloppoment :
'. l^ th^^rio t)t^^ trans\vrsAK\> n'est, à pn>prement |\arler, que la théorie des coordonnées qoi - au Ihhi *ie Cuire un an^U\ s*^nt pri^vts sur une morne droite. »
Ijos 5«(^Is ohani^mHHits apiv^rtôs au texte onginal de ce MéQK>in^ consistent dans le dépbeenKnt et V^ oKan^sement \)o i\\iaction d^^^s ti:T\>s et sou>>titrvs qui saccordaient mal avec les < '>1>V^^}^^^?^^^' le Ivut de la niHi\eîlo t\àiion. dv^nt b première manquait de tontes I
Ttvuoil do Berlin, et à U^ue'lo. en ouin^. le 11' Cahier du tomeU des Jppiicaiioms d*JimÊiym €t f)r tlr.ymrtr/r rahs. i:^ ^v^urra scnir. au besoin, d'utile commenLâre. d'exeraces on d*éefairoh^5*Mrt«r>t. Jo saisirai d aiîloiïrs oxMto *viV.sJon pour fain? remarquer qn'D s'est g)iâ9dk dfens h r. îo An bas *to la jvujo i>a *iu C-abior j:rtvito. une erreisr ce d.?;e relative à b pif f nlMian de .' <i?/?>vr /»^> /-vvnA-, rvwr> à î InMHu; <^ Fr-aniv. qu- a eu îieu vêntabîemeol le SseftteBlvn itli.
01 T>.^ yvfts lo > <*^N;ombTt» de l>.nnoo i S.V^. comme ;o > ions de > \w6er sar le nannsorit cm- •»aiï. a« ^«<v^nf»umt 3e lAcaiwriïe dos SoioïK-^s. oi o^niroe on peut aussi le lire aux |n@H7§nliit ,^a U"wno XTt *lo ia ^''»•^^/^.•»«w.:l^,r n>^;Wn?is;:^;.r do M. CNoî^'oî, qui vmlut Inm <cin Snhvrf/h -im ûxtzfiVi àc tno> ^om.'-.rof >v.r 7.ïïï.7S>y /irs znzKfif'^ialcf H les /.•v*/^N. qu ou ^".-ixîvo-A nipp:>ne à a hii ôo oe NiVuroe. ~ No;o de li^éo.
SECTION III. - ANALYSE DES TRANSVERSALES. ia3
le disciple; je lui signalai comme exemple les corollaires particuliers relatifs aux courbes du troisième degré, lesquelles donnent lieu à des théorèmes et à des constructions d'une simplicité vraiment remarquable, et qui peut se comparer à ce que Ton connaît des belles propriétés des hexagones inscrits et circonscrits aux sections coniques dues à Pascal et à Brianchon. Je fis également part de ces corollaires à différents autres géomètres qu'il serait inutile de citer ici. Enfin, je donnai à la Société académique de Metz^ dans sa séance de décembre iSai, communication de l'ensemble de mes recherches sur les Propriétés projectives des lignes géométriques d'ordre quelconque (').
M. Arago, membre de l'Académie des Sciences de Paris, qui était présent à cette séance, voulut bien me témoigner tout l'intérêt que^Iui inspiraient la nouveauté et la généralité de ces recherches; il m'encouragea même à les mettre promptement au jour; mais, d'après le plan (Jue je m'étais dès lors Tormé, cette publication devait être précédée de celle du Traité des Propriétés projectiles des figures (t. I*^), qui eut lieu en effet l'année suivante (i8aa), et dans laquelle je n'avais presque uniquement en vue que les lignes et les surfaces des deux premiers degrés, ainsi que les principes généraux de projection qui pouvaient m'être utiles pour établir ultérieurement la théorie géométrique des courbes et des surfaces d'un ordre quelconque.
J'annonçai néanmoins, en terminant l'Introduction de cet ouvrage, les recherches toutes spéciales que j'avais entreprises sur ce dernier sujet, et, cJans la Section II du texte, p. 80, n*^ 151, je fis voir comment, par les principes de la projection centrale, on peut immédiatement passer, du théo- «•ème de Newton relatif aux produits des abscisses et des appliquées parallèles des courbes géométriques, au principe plus général de Carnot coucer- Kiant les triangles et les polygones plans ou gauches coupés arbitrairement jiar de telles lignes ou par des surfaces géométriques quelconques.
En remarquant que, par suite de l'universalité de ces théorèmes, les lignes ^t surfaces dont il s'agit doivent jouir de certaines propriétés qui leur sont c^ommunes avec les sytèmes analogues de lignes droites et de surfaces planes: ^n affirmant qu'il était facile d'en déduire un grand nombre de conséquences f)articulières, mon intention .était de faire pressentir la fécondité et l'extension que pouvait recevoir la doctrine des transversales, dont les admirables éléments sont un des principaux titres scientifiques de l'illustre et infortuné géomètre que je viens de citer; mais je ne sache pas que, depuis la publi-
( * ) Voyez le Compte rendu des travaux de cette Académie ^ par M. Herpin, pendant Vannée 1821 à 1822, imprimé à Metz, chezLamort, en mai 1822.
cation du Traité des Propriétés projectiçes, personne ait encore tenté d'ouvrif cette nouvelle route de découvertes dans laquelle, je le répète, j'avais déjà pïircouru un certain chemin dès Tannée 1818, et dont Carnot lui-même ne semble pas avoir soupçonné toute la fécondité, si Ton en juge par ce qu'il a écrit dans sa Géométrie de position et dans son Essai sur la théorie des tramçersales touchant les applications du principe général qui lui est dû.
En 1823, je profitai de quelques Foisirs pour rédiger, sur les centres de moyennes harmoniques et sur la théorie des polaires réciproques^ les deux Mémoires que je présentai, à l'entrée de l'année suivante, à l'Académie royale des Sciences de Paris, et qui furent publiés tardivement (années i8a8 et 1829) dans le Journal de Mathématiques de M. Crelle (*), lequel, dès tors, avait justement acquis une réputation européenne. Ces Mémoires, ainsi que l'indiquent leurs titres, devaient servir d'introduction ou de préliminaires à l'ouvrage étendu que je me proposais de faire paraître sur les Propriétés projectiles des courbes et des surfaces géométriques. En traitant en particulier des nouvelles et élégantes propositions auxquelles donne lieu la théorie du centre des moyennes harmoniques pour les systèmes de plans et de droites arbitraires, je ne manquai pas de signaler d'une manière expresse l'extension dont leur énoncé est susceptible quand on y remplace ces systèmes par des lignes ou surfaces géométriques d'ordre quelconque.
Voici comment je m'exprime dans un passage qui termine le discours préliminaire de l'écrit qui contient cette théorie : c J'ai exposé, dans la der- » nière partie de mon Mémoire, quelques-unes des propriétés qui décou- » lent de la théorie du centre des moyennes harmoniques pour les systèmes
> de points, de droites et de plans; et, afin de n'en pas multiplier inutile-
* ment le nombre, je me suis constamment borné a celles dont la nature ' générale permet de les appliquer immédiatement aux courbes et aux sur-
> faces géométriques d'un ordre quelconque, mettant ainsi ceux qui liront » ce Mémoire en état de pressentir cette extension et de se familiariser par
* degrés avec ce qu'elle pourrait, au premier aperçu, avoir de trop difficile
> ou de trop abstrait. > [Voyez la page 8, Sect. I, de ce volume.)
Pour ceux qui ont donné quelque attention au contenu du Mémoire dont il s'agit, notamment aux articles qui commencent au n^41, il paraîtra évident, en effet, que cette extension est une conséquence nécessaire, et de ce que les principales propriétés des centres, axes et plans de moyennes harmoniques qui y sont exposées peuvent être toutes déduites directement du
(*) Forez t. m, p. 2i3, et t. IV, p. i.
SECTION III. - ANALYSE DES TRANSVERSALES- laS
thégrëme cité de Carnot, et de ce que ce même théorème est indistinctement applicable aux courbes et aux surfaces géométriques comme aux systèmes de droites et de plans arbitraires.
Lorsque j'annonçai, dans ces deux Mémoires de 1824, la publication prochaine et successive de mes recherches relatives aux courbes et aux surfaces géométriques, je pensais que le service dont j^étais alors chargé comme ingénieur me laisserait» d'année en année et pendant les courts intervalles de la suspension des travaux, assez de loisir pour mettre la dernière main à chaque partie; mais ma nomination de professeur à TÉcole de l'artillerie et du génie à Metz, en 1825, le cours de Mécanique appliquée aux machines que je fus chargé d'y créer, joint au fâcheux état de ma santé (en 1827 et 1828), me contraignirent d'ajourner toute rédaction définitive. Il résulte de ce retard que j'ai été prévenu dans la publication de quelques-unes d'entre elles, notamment de celles qui concernent la communauté d'intersection des lignes et surfaces géométriques, ainsi que les propriétés de leurs centres, axes et plans de moyennes harmoniques. En s'occupant avec succès de ces dernières recherches, depuis l'année 1826, MM. Bobillier, Chasles et Gergonne se sont servis d'ailleurs de moyens très-différents de ceux que j'ai moi-même mis en usage, et qui reposent essentiellement sur les principes de l'Analyse des coordonnées combinés avec quelques données fournies par la Géométrie intuitive, et notamment par la théorie des projections centrales et des polaires réciproques.
Du reste, avant 1825, époque depuis laquelle je n'ai rien ajouté d'essentiel à mes recherches géométriques, on ne connaissait, si je ne me trompe, sur l'objet que j'avais spécialement entrepris de traiter, que : i** les trois théorèmes de Newton sur les appliquées parallèles des courbes, leurs diamètres conjugués a une direction donnée, et la coïncidence de ces diamètres avec ceux des asymptotes; 2** les trois théorèmes qui se déduisent respectivement de ceux-là, par nos principes de projection centrale, en remplaçant les sécantes parallèles par des droites convergeant au même point, les asymptotes par un système quelconque de tangentes dont les points de contact sont rangés en ligne droite, le centre de moyennes distances par le centre de moyennes harmoniques^: théorèmes dont le premier, d'ailleurs, n'est autre que celui de Carnot déjà plusieurs fois cité, dont le second ou son annexe a été découvert par le célèbre Côtes, et dont le troisième, dû à Mac-Laurin, se trouve exposé dans le Traité des Propriétés générales des lignes géométriques, imprimé, sous la forme d'Appendice, à la suite de V Algèbre posthume Aq cet auteur, édition de Londres 1748; 3*^ enfin, plusieurs autres théorèmes expo-
ses également dans ce TVYiiV^deMac-Laurin, et qui ont trait au cercle oscidor* teuTy à \z parabole osculatrice des lignes planes géométriques, auxquelles il faut joindre diverses propriétés intéressantes sur les lignes du troisième ordres que cet illustre géomètre a envisagées d'une manière tout à fait spéciale» et qu'il déduit, de même que les précédentes, de ce principe général : t Si, d'un » point fixe pris arbitrairement sur le plan d'une courbe géométrique
> quelconque, on mène une droite arbitraire, puis les tangentes aux inter- » sections de cette droite avec la courbe, supposées en nombre égal à celui * qui exprime le degré de cette courbe; qu'enfin, ayant tracé à volonté
> une nouvelle transversale par le point fixe dont il s'agit, on fasse, d'une
> part, la somme algébrique des réciproques ou valeurs inverses des abscisses » interceptées par la courbe sur cette transversale et à compter du point » fixe; d'une autre, la somme pareille relative au système des tangentes !&*>
> sues des points de la première transversale : i^ les deux sommes seront
> égales entre elles; a^ elles seront constantes quelles que soient les trans^ » versales menées par le point fixe. >
Mac-Laurin déduit cette proposition remarquable du théorème de Newton sur le rapport invariable du produit des abscisses au produit des appliquées parallèles des courbes, en recherchant directement, à l'aide des données de la figure, l'expression des différentielles logarithmiques de ces produits, qui sont évidemment égales entre elles. Mais il est clair que la considération directe des coefficients des deux derniers termes des équations qui ont pour racines les abscisses relatives à la courbe ou au système des tangentes ci-dessus, conduirait sur-le-champ et sans discussions géomé^ triques à la proposition dont il s'agit, de la même manière que la considération du dernier terme des équations qui ont pour racines les appliquées et abscisses correspondantes des courbes a conduit Newton au théorème sur les produits de ces abscisses et appliquées, de même enfin que la considération du second terme de la première de ces deux équations lui a fait découvrir la propriété des diamètres, etc. (').
Cette remarque, au surplus, n'a point échappé à Mac-Laurin, qui, après s'être servi de la proposition fondamentale ci-dessus pour en déduire le théorème de Côtes sur la droite lieu des centres de moyennes harmoniques des intersections d'une courbe géométrique et d'une droite mobile cuUour d*un
( * ) En général, la considéralion d'une fonction symétrique quelconque des racines de l'équation qui donne les abscisses des intersections de la courbe avec une droite ou un axe variable suivant une loi donnée, conduit à une inBnité de théorèmes analogues à celui de Côtes, et qui sont également susceptibles de s'étendre aux surfaces géométriques de tous les ordres.
point fixe ^ s'est proposé ensuite de démontrer le même théorème par les considérations qui résultent directement de la théorie des équations algébriques.
Si nous insistons sur cette remarque, c'est pour mettre en parfaite évidence la corrélation qui â lieu entre les théorèmes de Newton» de Côtes, de Mac-Laurin etdeCarnot, corrélation qui est telle, que, bien que ces théorèmes dérivent de la considération de termes distincts dans l'équation qui a pour racines les abscisses ou segments proposés, néanmoins ils peuvent aussi se déduire les uns des autres, d'une manière purement géométrique et par forme de simples corollaires. C'est en effet ce que nous avons reconnu dès nos premières recherches (1816) sur les propriétés projectives des courbes et surfaces géométriques, dans lesquelles, prenant le théorème de Carnot pour point de départ, nous en avons déduit à posteriori ceux de Newton, de Côtes et deMac-Laurin, ainsi que beaucoup d'autres d'un genre très-différent jet qui n'étaient point encore connus des géomètres.
Nous aperçûmes aussi tout d'abord, que ces mêmes théorèmes, démontrés seulement pour les courbes planes, étaient susceptibles de s'étendre immédiatement aux lignes à double courbure et aux surfaces géométriques, a peu près de la même manière que les propriétés des sections coniques s'étendent aux surfaces du second degré, et celles des systèmes de droites comprises dans un plan unique, aux systèmes de droites ou de plans situés k volonté dans l'espace.
Enfin nous reconnûmes que ces divers théorèmes avaient leurs corrélatifs ou réciproques, et que l'ensemble des uns et des autres doujoait lieu k une série de propositions entièrement analogues k celles qui constituent la théorie des pôles, polaires et plans polaires des lignes ou surfaces du second degré, et celles du centre^ des diamètres ou plans diamétraux de ces lignes et surfaces. Mais, pour mettre cette analogie dans tout son jour, il nous a fallu, au préalable, donner a la théorie du centre des moyennes harmoniques ainsi qu'a celle des polaires réciproques toute Textension et la généralité dont elles sont susceptibles comme doctrines fondamentales; et c'est ce qui nous a déterminé, dès 1823, k rédiger et à publier séparément nos deux Mémoires sur ces matières, dans lesquels nous n'avons pour ainsi dire pas perdu de vue un seul instant l'objet de nos recherches subséquentes sur les propriétés projectives des courbes ou surfaces géométriques d'un ordre quelconque.
Revenant maintenant au théorème de Carnot, qui n'est« comme on Ta vu, que l'extension de celui de Newton sur les produits des abscisses et des appliquées parallèles des courbes» nous ferons remarquer que la démonstra-
tion directe qu'on en trouve à la page ^292 de la Géométrie de position est bien loin d'être aussi satisfaisante que pourraient le désirer les amateurs des méthodes intuitives et purement géométriques; de sorte que ce théorème reste encore à démontrer, si Ton ne veut point recourir aux principes de l'Analyse des coordonnées, ou si mieux, on ne préfère l'envisager, à priori^ comme une simple définition des lignes et des surfaces géométriques, fondée sur ce que l'on connaît déjà des lignes et des surfaces des deux premiers degrés et des systèmes composés d'un certain nombre de ces lignes ou surfaces, auxquels les théorèmes de Carnot et de Newton sont immédiatement applicables.
Desargues, comme je Tai déjà fait observer ailleurs (t. I" du Traité des Propriétés projectiles des figures, Introduction^ p. xxviii, et Annotations^ édition de i865, p,4o9), avait eu la singulière et lumineuse idée de traiter les courbes géométriques comme un assemblage de lignes droites en nombre égal à celui qui marque le degré de ces courbes, ou le plus grand nombre des points suivant lesquels elles peuvent être coupées par une transversale arbitraire; c'est-a-dire qu'il leur appliquait les mêmes raisonnements, leur attribuait les mêmes propriétés, toutes les fois sans doute qu'il ne s'agissait que de ces relations générales et indépendantes de grandeurs déterminées, que nous avons nous-même nommées projectiles, et qui font le caractère propre des spéculations de la théorie des transversales ou de la Géométrie de la règle, relations qu'on voit déjà subsister, sans aucune modificatioû essentielle, pour les systèmes de lignes droites comme pour les sections coniques ou lignes du second ordre. Mais ce n'est là encore qu'une pure induction qui, bien que très-forte si l'on prétend tenir compte des différences spécifiques qui distinguent les simples assemblages de lignes droites dei;. courbes véritables, ne peut néanmoins être admise tout au plus que comme moyen d'investigation, ainsi que le faisait observer notre illustre Descartes dans une lettre au P. Mersenne, concernant les recherches géométriques de Desargues, qui fut son contemporain et son ami.
Ce qui s'oppose d'ailleurs à ce qu'on admette à priori le théorème de Carnot pu celui de Newton comme définition des courbes géométriques, c'est que ces courbes possèdent en elles-mêmes un caractère qui tes définit universellement et d'une manière purement intuitive, celui de ne pouvoir être coupées, au moyen d'une droite ou d'un plan arbitraires, qu'en un nombre de points limité et déterminé pour chacune d'elles; d'où il résulte qu'en partant des théorèmes dont il s'agit, on n'est point sûr d'embrasser à la fois toutes les lignes d'un même degré, et qu'il devient indispensable de dé-
SECTION m. — ANALYSE DES TRANSVERSALES. 129
montrer, pour chaque ligne d'espèce donnée ou définie par une construction géométrique, qu'elle jouit effectivement du caractère supposé par ces théorèmes, avant de lui appliquer aucune des conséquences qui en dérivent. Or, une semblable démonstration pourrait, dans certains cas, présenter des difficultés presque insurmontables au point de vue purement géométrique.
Ces considérations nous avaient depuis longtemps engagé à rechercher, du théorème de Newton sur les appliquées parallèles des courbes, une démonstration qui fût indépendante de leur définition au moyen des équations algébriques entre les coordonnées ordinaires, et uniquement fondée sur la limitation du nombre des intersections possibles de la courbe avec une droite ou transversale arbitraire. Ce genre de démonstration, dont nous avions déjà donné une idée et divers exemples dans noS précédents Mémoires de Géométrie et spécialement dans le tome P du Traité des Propriétés projectwes (Sect. rV, Chap. III, p. 33a et suiv.; Supplément^ p. 384 et suiv.), repose sur le Principe de continuité ('), que nous aurons souvent occasion de mettre en usage en traitant des propriétés projectives des courbes ou surfaces géométriques» et sur lequel il convient que nous revenions un instant dans ces préliminaires.
Envisagé dans son application aux courbes planes continues, c'est-a-dire aux courbes dont les différentes parties, les différentes branches sont assujetties à une même loi géométrique, à un même mode de génération, ce principe consiste spécialement en ce que toute droite tracée arbitrairement au travers d'une telle courbe doit toujours être censée la rencontrer en un nombre de points invariable et égal à celui qui désigne son degré; ce qui, d'après ce qu'on sait déjà des lignes du second ordre, oblige à admettre aussi bien les intersections imaginaires que les intersections réelles, les intersections situées à l'infini que celles qui se trouvent à distance donnée, et d'où il résuite généralement que toutes les fois qu'il sera possible de prouver, en toute rigueur et en ayant égard uniquement au mode de génération d'une ligne courbe située sur un plan, qu'une certaine droite tracée dans ce plan n'a en commun avec elle que m points, soit réels, soit imaginaires, situés ou nonrà l'infini, confondus en un seul ou réunis par groupes distincts de deux ou de plusieurs points, il sera par là même démontré que la courbe est effectivement et au plus du degré marqué par le nombre /n.
En particulier, si cette courbe .est engendrée par la trace de certains
(*) Fojrez aussi, sur ce Principe, les réflexions des pages xxiet suivantes de Ylniroduction du Traité dont il 8*agit.
i3o PROPRIÉTÉS PROJECTIVES DES FIGURES,
points assujettis à une construction unique, et qui se trouvent situés sur une droite mobile autour d'un autre point donné servant de pôlefiooe; pour pouvoir prononcer af&ripativement sur le degré de la courbe, il suffira de rechercher le nombre total des points dont il s'agit, et de s'assurer qu'aucujae des branches de cette courbe ne passe par le pôle fixe, ou qu'aucun de ses points générateurs ne vient à se confondre avec ce pôle, pour certaines positions de la transversale mobile qui les renferme : autrement, en eflfet, le nombre des intersections se trouverait augmenté de celui qui marque la multiplicité de la courbe en ce pôle, je veux dire du nombre des braucbes distinctes, réelles ou imaginaires, qui y passent, ou du nombre de coïncidences distinctes des points générateurs avec ce même pôle.
Si d'ailleurs les transversales, au lieu d'être concourantes en un point fixe, étaient simplement assujetties à demeurer parallèles eatre elles ou à une droite donnée, les mêmes choses auraient encore lieu, si ce n'est que le pèle étant alors situé à l'infini, on devrait, dans chaque cas, f^ech^ercher le nombre des positions distinctes de la transversale pour lesquelles l'un de ces points générateurs passe à l'infini et se confond ainsi avec ce pôle; or, c'est ce que la discussion exacte apprendra toujours, dans chaque cas spécial» et quand le mode de construction des points générateurs que contient chaque transversale sera rigoureusement défini. Mais, afin de ne pas courir le risque de se tromper dans l'appréciation du degré ou du nombre total et effectif des intersections des transversales, il sera indispensable de procéder, d'une manière entièrement directe, à la recherche de ces intersections, comme s'il s'agissait de résoudre un problème ordinaire de Géométrie, et de ne poiqt s'en rapporter simplement à ce que pourrait apf)rendre une discussion purement intuitive ou fondée sur les apparences offertes par le tracé effectif de la courbe, laquelle devra toujours être censée non encore décrite.
La solution de ce problème, qui se Compose, comme an voit, de deu^ parties distinctes, pourra presque toujours être ramenée à celle d'un autre où il s'agira de découvrir les intersections d'une certaine droite avec une courbe de degré donné à /[^non, ce qui lèvera toute espèce d'incertitude, puisqu'on connaîtra ainsi rigoureusement le nombre de ces intersectioQS quelle qu'en soit la nature, c'est-à-dire réelle, imaginaire, etc. Si, au contraire, les intersections cherchées n'étaient déterminées que par les relations purement métriques qui les lient, soit entre elles, soit avec des grandeurs connues, il faudrait prendre garde de ne négliger aucune des combinaisons essentielles et distinctes des inconnues et dés données, c'est-à-dire aucune des permutations, des changements de position et d'ordre, qui, ^ons
SECTION III. — ANALYSE DES TRANSVERSALES. i3i
le point de vue géométriqoe on arithmétique, peuvent s'opérer entre ces diverses quantités, et donner lieu ainsi à la muhiplicité des solutions de chaque problème.
Qu'au nombre des données se trouvent, par exemple, les intersections de la transversale, mobile autour du pôle fixe, avec une certaine courbe simple, assujettie à un même mode de génération ou de construction dans toutes ses parties et dont le degré soit connu, on devra se rappeler qu'en vertu de la continuité ces diverses intersections jouent absolument le même rôle et ne doivent point être distinguées les unes des autres, de sorte qu'il est permis de les permuter entre elles sans, pour cela, changer ou altérer en rien rétatdes questions qui s'y rapportent. Or cette circonstance tient k ce que les différentes branches ou parties des courbes simples sont rentrantes sur elles-mêmes ou se fondent, pour ainsi dire, les unes dans les autres sans solution de continuité, et elle n'aurait plus lieu évidemment si ces courbes n'étaient pas assujetties, dans toute leur étendue, à une loi unique, ou si elles se composaient de différentes lignes particulières et qui seraient soumises à des modes de génération distincts.
Mais nous n'avons point l'intention de nous étendre ici sur le principe de continuité considéré même dans la théorie des courbes; nous y reviendrons peut-être un jour d'une manière toute spéciale, selon la promesse que nous en avons déjà faite dans V Introduction du Traité des Propriétés projectiles ( * ) ; il nous suffira, pour le moment, d'avoir posé ou rappelé les généralités qui précèdent, dont les applications particulières présentent rarement des difficultés sérieuses, comme le prouvent les différents exemples qui en ont été donnés dans le Trctité dont il s'agit.
Qu'il s'agisse, en particulier, de démontrer le théorème de Côtes mentionné plus haut, et qui n'est que l'extension, aux lignes géométriques en général, de celui du n"" 42 de notre Mémoire sur les centres de moyennes har^ moniques, relatif aux simples systèmes de lignes droites situées dans un plan : attendu qu'on n'a qu'un seul centre à considérer sur chacune des transversales issues du pôle fixe, et que ce centre ne peut jamais coïncider avec le pôle, dès que ce dernier est indépendant de la courbe, on voit que le lieu examiné ne saurait être que du premier degré ou une simple ligne droite. Mais cela suppose expressément, comme on voit» que les moyennes harmoniques soient prises par rapport à des coefficients numériques égaux
(*) Tome premier; promesse réalisée par la publication, en 1864, du iome deuxième des Applications (TJnalyse et de Géométrie, auquel j'ai déjà renvgyé le lecteur pour certains éclaircissements ou développements indispensables.
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entre eux ou a l'unité; car, s'il en était autrement, la permutation qui; d'après ce qui précède, devrait être opérée entre les coefficients relatifs aux diverses branches de la courbe, donnerait lieu a un nombre m (m— i) de centres des moyennes harmoniques pour chaque transversale , m étant d'ailleurs le degré de cette courbe ou le nombre de ces branches.
Conome nous nous proposons, dans ce travail, de conclure directement le (héorème de Côtes du principe des transversales de Carnot, nous n'insisterons pas sur la démonstration qui précède, et nous passerons de suite à celle qui concerne le théorème fondamental de Newton, relatif aux abscisses et appliquées parallèles des courbes géométriques. A cet effet, nous nommerons q, q\ q\... {fig. 3o, PL IV) les intersections réelles ou idéales d'une telle courbe, supposée du degré m, avec la parallèle ab à une droite ou axe fixe tracé arbitrairement dans son plan, et/>, p\ p'\.... les intersections de cette même courbe avec une parallèle quelconque ac à une autre droite fixe 'aussi donnée, parallèle. dont le point de rencontre avec le premier axe sera, de plus, représenté par la lettre a. Cela posé, nous savons déjà que si, au lieu d'une courbe unique et distincte, du degré m, nous avions a considérer un assemblage de droites ou de sections coniques dont la sommé des degrés fut égale à m, nous aurions sans cesse la relation
ap . ap . ap'
aq.aq.aq
- =consl. = /r.
qui exprime que le produit des ordonnées ou appliquées ap^ ap\ ap''^... est a celui des abscisses correspondantes a^^aq\ aq'\... dans un rapport qui demeure invariable quelle que soit la position du point a sur l'axe fixe, et bien que certains des segments qui y entrent puissent devenir nuls, infinis, imaginaires, ou changer de sens et de signe avec la position de ce point ou des appliquées qui lui correspondent. Or cela tient uniquement à ce que les produits dont il s'agit n'ont qu^une seule valeur pour une même position du point a, valeur indépendante de l'ordre dans lequel on combine entre eux leurs facteurs simples, soit numériquement ou par le calcul, soit géométriquement ou par des constructions graphiques qu'il est facile d'imaginer, et sur lesquelles nous n'insisterons pas, attendu qu'elles se rapportent à des problèmes élémentaires bien connus.
Supposons, en effet, qu'on porte, sur chacune des droites ou directions d'appliquées parallèles ax:, et à compter de l'axe fixe ou du point a, une longueur ay qui ait, avec une certaine ligne prise pour unité de mesure, le même rapport que k avec l'unité numérique ou absolue, et qui, de plus, ait
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le sens que réclame la loi des signes de position ou la construction effective et géométrique de ay; il est évident qu'on n'obtiendra, dans le cas de la courbe comme dans celui d'un simple assemblage de droites ou de lignes du second ordre, qu'un seul pointy, et que la suite de tous ces points formera une ligne continue assujettie, dans toutes ses parties, à la même loi, au même mode de génération; or je dis que cette ligne est généralement une droite parallèle à l'axe fixe de, comme cela a lieu notoirement pour le cas où la proposée se compose d'un système de lignes du premier ou du second degré ; ce qui revient à dire que ay ou k demeure constant pour tous les cas possibles.
D'abord il est aisé de se convaincre que jamais le point générateur j ne peut s'éloigner à l'intini du point a ou de l'axe fixe ab; car il faudrait, pour que cela eût lieu, ou que l'un des segments qui entrent dans le numérateur û^, ap\ ap",... de A; devint lui-même infini, ce qui ne peut être, à moins que la direction ac des appliquées n'ait été prise, contrairement à nos hypothèses, parallèlement à l'une des branches ou des asymptotes de la courbe, ou à moins que la droite ac tout entière ne soit supposée à l'infini. Mais, en comparant ce qui arrive, dans ce dernier cas, avec ce qui aurait lieu pour celui d'un simple assemblage de lignes droites ou de sections coniques, il sera facile de voir que le rapport k n'en conserve pas moins une valeur unique, qui est finie si la direction de l'axe fixe ab et celle ac des appliquées sont quelconques par rapport aux directions des différentes branches de la courbe proposée, valeur qu'on peut même calculer ou construire géométriquement si les m asymptotes de cette courbe ou les directions de ses m branches infinies sont données. En effet, traçant, par exemple, les m droites pq, p'q\p" q"f*^.f censées parallèles à ces directions respectives et qui joignent les intersections fixes 9, q\ ^',... aux intersections correspondantes p, p\ /?",... de l'appliquée aponac supposée tout entière à l'infini, la valeur du rapport k sera donnée pour ces m droites, et la même que celle qui appartient aux intersections dont il s'agit.
Les différentes appliquées parallèles a/7c ne contenant donc qu'un, seul point y à distance donnée et n'en fiyant aucun à l'infini, il résulte du principe général rappelé ci-dessus que la suite de tous ces points^ est une ligne du premier degré ou une simple droite* Je dis en outre que c'est une parallèle à l'axe qq' des abscisses; et, pour le prouver, il ne s'agit que de faire voir clairement qu'elle ne saurait rencontrer cet axe en un point qui soit situé à une distance assignable ou finie; or, cela paraîtra parfaitement clair si l'on considère que, pour l'appliquée correspondante k ce point, l'un des
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segments ap^ ap\ ap'*,...i soit ap, devrait s'évanouir; ce qui ne peut être qu'autant que l'intersection /> de la courbe relative à ce segment se trouve en a sur l'axe qtf, et sans que par conséquent l'une aq au moins des abscisses, ou segments du dénominateur de la fraction k ne devienne aussi nulle. Mais la loi de continuité assigne une tangente en ce même point /i de la courbe, dont le rapport de l'ordonnée à Tabscisse est précisément le même que ceiui des segments nuls et infiniment petits ap et àq que Ton considère. Donc ce dernier rapport et, par suite, la valeur de oy ou de A; ne cessent point d'être déterminés, et ne peuvent devenir nuls tant que le point d'origine a des appliquées se trouve à une dislance donnée ou finie sur l'axe des abscisses, ou tant qu'il n'arrive pas que les éléments tangentiels de la courbe en ses différentes intersections q, ^, q'\... avec cet axe se trouvent confondus avec la direction même de ce dernier; toutes circonstances qui ne peuvent avoir lieu d'après la généralité de nos hypothèses sur la situation respective de la courbe et des axes fixes considérés.
Concluons donc, en second lieu, que la droite des points 7, ne pouvant généralement rencontrer l'axe q^ en des points situés à une distance donnée, il faut bien que cette droite lui soit parallèle, ou que ay, ainsi que le rapport k du produit des appliquées ap^ ap\ ap'\... à celui des abscisses correspondantes aq,'aq\ cuf\ demeurent invariables pour toutes les positions possibles de ces appliquées parallèles à une droite donnée, et, par suite aussi, pour toutes celles que peut prendre l'axe des abscisses en se transportant paraK ièlement a lui-même dans le plan de la courbe, ce qui constitue proprement le théorème de Newton qu'il s'agissait de démontrer.
Nous n'insisterons pas sur ce qui arrive dans les cas particuliers où l'axe des abscisses est pris tangentiellement à l'une des branches de la courbe, c'està-dire parallèment à l'une des asymptotes, parce que la loi de continuité indique clairement alors comment on doit entendre le t|iéorème ci-dessus» et que les circonstances sont absolument les mêmes que celles qui se pré-« sentent dans le cas bien connu des lignes du second ordre. D'ailleurs ces détails, sur lesquels nous aurons occasion de revenir, ne seraient point à leur place dans cette introduction, où nous avons seulement prétendu prouver que le théorème qui doit servir'de base principale à nos rechercties peut être établi à priori^ en se fondant uniquement sur le principe de conti** nuité combiné avec les données d'une Géométrie générale dont j'ai exposé les premiers éléments dans le précédent volume des Propriétés projeciives. ' Après avoir donné, dans ce qui précède, un aperçu en quelque sorte bis*torique de mes recherches sur les propriétés projectives des courbes géo-
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métriques et des vues qui m'ont principalement guidé en m*y livrant, de loin en loin» depuis 1816, il*me reste à dire un mot du plan que j*ai adopté dans cette présente rédaction, qui, bien loin d'offrir un traité suivi et méthodique sur la matière, comme j*ai déjà dit en avoir eu primitivement Tintention, n'est qu'une esquisse fort imparfaite, je l'avoue, des principaux résultats auxquels je suis depuis longtemps parvenu, et que le peu de loisirs dont je puis actuellement disposer (i83o) ne nie permet j^as de perfectionner davantage ni de mettre^ans Tordre rigoureux que je leur eusse souhaité.
Prenant donc pour définition, propre à caractériser à la fois toutes les lignes et surfaces géométriques, la relation qui subsiste entre les différents segments formés sur les côtés d*un triangle arbitraire par' les intersections de ces lignes et surfaces, et voulant donner tout d'abord une idée de l'extjension que peuvent recevoir les principes de la doctrine des transversales, j'ai débuté, dans un premier paragraphe, par appliquer ces principes aux lignes du second ordre> considérées d'une manière individuelle ou dans leur combinaison, et qui ont tant et depuis si longtemps occupé la sagacité des géomètres, qu'il semble que, dorénavant, il n*y ait absolument plus rien de vraiment neuf et d'intéressant à en dire. La facilité surprenante avec laquelle on arrive ainsi aux propriétés projectives les plus générales et les plus belles de ces lignes, me semble bien propre d'ailleurs à éveiller l'attention du lecteur et à l'initier à l'esprit de la méthode.
Passant de là à ce qui concerne les lignes du troisième ordre, j'ai fait voir comment la théorie des transversales peut, sur-le-champ, conduire à la découverte de leurs principales propriétés projectives, déjà mentionnées dans la partie historique de cette introduction comme étant les corollaires de théorèmes plus généraux concernant les lignes d'un ordre quelconque. Quelques-unes de ces propriétés, relatives aux points d'inflexion et aux quadrilatères complets inscrits, ont été longuement et péniblement démontrées dabs le Traité des courbes géométriques de Mac-Laurin, qui, ainsi que je l'ai également fait observer précédemment^ a envisagé les propriétés des courbes du troisième degré d'une manière tout à fait spéciale.
Lors de mes premières recherches sur cette matière, j'avais eu l'intention de donner une certaine étendue à l'article qui concerne la théorie des lignes du troisième ordre, à cause de la singulière analogie qu'offrent leurs propriétés avec celles des sections coniques ordinaires; je me proposais, par exemple, de les construire par points sous différentes données, de construire leurs systèmes d'intersections ou leurs systèmes de tangentes rela-
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tives a des droites ou à des points de position assignée, de rechercher toud leurs points singuliers ainsi que les propriétés dont jouissent ces points par rapport aux points ordinaires de la courbe, etc. Mais, comme ces différentes questions se reproduisent également pour les lignes de tous les degrés et donnent lieu aux mêmes solutions générales, je me suis ici borné à quelques propositions spéciales propres à servir d'exemple de 4a fécondité des principes et de la fertilité de leurs applications. Ce que j*ai dit d'ailleurs, dans ce même article, concernant les inteftections et les contacts divers dçs lignes du troisième ordre et des sections coniques, doit être considéré uniquement comme une sorte d'introduction à ce que je me propose de donner dans la seconde partie de ces recherches touchant lès osculatrices des lignes d'ordre supérieur.
Laissant la bientôt ces préliminaires, je passe, dans un second paragraphe, à ce qui concerne les courbes planes géométriques d'un ordre quelconque considérées d'une manière individuelle et par rapport aux systèmes de transversales rectilignes qui peuvent les couper. Je fais voir comment on doit entendre ou appliquer, dans ce cas simple, l'équation ou relation fondamentale qui définit à la fois toutes ces lignes; je m'occupe ensuite des différentes transformations ou traductions, soit métriques, soit descriptives, dont elle est susceptible dans certains cas, et noiamment pour certaines situations particulières des transversales, où, sous sa forme primitive, elle devient 4/&£soire, identique, et cesse ainsi de demeurer applicable au système. Ces circonstances se présentent, entre autres, quand une ou plusieurs des intersections propres des transversales se trouvent situées sur la courbe ou se confondent entre elles, et elles donnent ainsi lieu à de nouveaux théorèmes sur les lignes ou surfaces géométriques, comme elles fournissent des méthodes variées et simples pour le tracé de leurs tangentes et plans tangents dans les différents cas. On verra que les transformations dont il s'agit reposent principalement sur le mode d'élimination général par lequel on peut débarrasser l'équation primitive ou ses dérivées de certains segments qui y entrent et qui les reiulent illusoires dans les cas précités.
Du reste, à l'exception de ce qui concerne la relation que nous avons nommée imolution simple de certains systèmes de points en ligne droite, relation qu'on doit considérer comme fondamentale, nous avons fort peu insisté sur les propositions ou corollaires particuliers qui peuvent découler de nos principes, dont l'exposition méthodique est d'ailleurs le but essen-r tiel de la première partie de ce Mémoire : c'est ainsi, par exemple, que nou5 ne faisons qu'indiquer, chemin faisant, les nombreux corollaires relatifs aux
lis PROPRIÉTÉS PROJECTIVES DES FIGURES,
épineuse matière, dans les n^ 66 et suiv. du Mémoire en question;, et que» dans la crainte d'anticiper par trop sur le sujet de nos rechercbes rektives aux propriétés des courbes ou surfaces géométriques, nous y avons même négligé de démontrer, à priori et par les méthodes qui nous sont propresi quelques-uns des théorèmes dont nous sommes partis, tels que celui sur le nombre et le degré des intersections de ces courbes et surfaces, celui sur le nombre et l'espèce de leurs tangentes ou plans tangents passant par lea mêmes points ou les mêmes droites^ ces diiïérents motifs nous ont engagé à revenir sur ces questions fondamentales, qui demandent encore à être écUircies et approfondies, bien qu'elles aient fait dans ces derniers temps (iSaS) rob|et des méditations d'habiles géomètres analystes.
En effet, la solution de telles questions dépend, comme on peut le voir k Tendroit déjà cité, du perfectionnement d'une autre théorie^ celle deapoints singuliers des courbes, qui n'est point encore complètement faite rMlgréles savantes recherches de nos premiers géomètres (*)» et elle tjient aussi aux difficultés les plus ardues de la science de l'élimination. Mais« quoique les cônsidéraiions d'une €éométrie purement intuitive^ appuyée de notions qui dérivent de l'admission du principe de continuité, noua aient permis d'entrer plus avant dans le fond de la question, nous ne saurions nous flatter cependant d'en avoir éctairci entièrement les difficultés et d'avoir dissipé tous les nuages dont elle demeure encore enveloppée.
 l'occasion de ces discussions, nous présentons les éléments d^un nou^ veau mode de transformation des figures qui diffère essentiellement, du moins en apparence, de celui qui ressort de la théorie des pôles et pc^iseâ des lignes du second degré, mais qui, malheureusement, fait retomber sur les mêmes résultats relativement aux questions de réciprocité, et nVfire d'autre avantage que celui d'une facilité plus grande dans lea moyens do construire la transformée ou dérivée d'aune figure donnée.
Tel est l'exposé succinct des matières contenues dans cette première partie de nos recherches, dont la seconde a spécialement pour objet Texposition des principales conséquences relatives aux propriétés projectives des systèmes de lignes et de surfaces géométriques. ^
Cette second partie, dent nous renvoyons la publication à un prochain
{*) yofez. le Traité du Calcul différentiel et du Calcul intégral de M. Lacroix» t. HT, et'la Théorie des points singuliers donnée par M. Poisson, dans le XIV* Cahier du Journal de VÉcole Pofytechnitjue,
SECtION III. — ANALYSE DES TRANSVERSALES. iSg
Mémoire oa Section» a^offre, pour ainsi dire, que le développement et les af^lications des principes exposés, dans la première, sur TAnalyse des tranâ« versales : die se subdivise également en plusieurs paragriiphes, dont noUs nous eon tenterons d'exposer sommairement le contenu, déjà mentionné au commencement de cette introduction.
1® Des systèmes de lignes et de surfaces géométriques, de même degré, qui ont les mêmes intersections communes, ou que touchent les mêmes plans, les mêmes surfaces développables enveloppes; tracé effectif de Tune d'entre elles au moyen de toutes les autres, par des constructions purement linéaires ou qui se rapportent uniquement a la Géométrie de la régie; de Tin- Tolution complète des systèmes de points, de lignes et de surfaces; des lieux géométriques; problème de Pappus résolu pour la première fois par Descartes; combinaison des lieux et de leur décomposition en lieux plus simples.
a^ Application de l'Analyse des transversales à la théorie et à la recherche des osculatrices du deuxième degré et des divers ordres, en des points déterminés des lignes et des surfaces géométriques; tracé de ces osculatrices par points ou par Tenveloppement des tangentes, à l'aide de constructions purement linéaires, etc.
3^ Principales conséquences relatives aux centres, aux axes et aux plans de moyennes distiinces ou de moyennes harmoniques deS lignes et surfaces géométriques individuelles, ou des systèmes de lignes et de surfaces géomé* triques assujetties à des conditions données; solution nouvelle du problème relatif aux faisceaux convergents de tangentes, tracé et propriétés des polaires successives, etc.
Dans cette seconde partie, destinée seulement à l'indication rapide des principaux résultats de nos propres recherches et de celtes des autres sur les <ourbes et surfaces de tous les degrés, nous avons néglige une infinité de corollaires, neufs ou piquants, qui eussent ralenti notre marche, sans rien ajouter d'essentiel aux considérations théoriques qui peuvent servir à faire saisir l'esprit général de nos méthodes, et à en démontrer l'utilité et la fé* eondité.
En insistant principalement sur les applications de la Théorie des transvmwles, noua avons voulu prouver que cette théorie, envisagée comme nous le faisons, constitue aussi un corps de doctrine k part, une sorte d'Analyse géométrique très-digne de fixer l'attention des savants et surtout des auteurs d'Eléments, par la simplicité et la &cilité de l'algorithme, la généralité et l'étendue des conséquences, la fertilité et la variété des ressources qu'elle
i4o PROPRIÉTÉS PROJECTIVES DES FIGURES.
offre dans la solution des questions les plus relevées. Si Ton prend d'ailleurs la peine de comparer le contenu des présents Mémoires avec les belles et récentes découvertes sur les propriétés des courbes et surfaces de tous les degrés, qui ont été exposées par MM. Gergonne, Bobillier, Chasles, Plucker, etc., dans les Annales de Mathématiques, la Correspondance de Bruxelles et le Journal de M. Crelle (année 1827 à i83o), on se convaincra, j*espère, que, malgré le retard involontaire qu*a éprouvé la publication de mes propres recherches sur cette matière, antérieures de plusieurs années, elles n*ont point encore perdu, à certains égards, Tintérèt et le mérite de là nouveauté (*).
Au surplus, en exposant les principaux théorèmes sur les intersections des lignes et des surfaces géométriques, je ne me suis nullement astreint à en opérer a chaque pas, comme l'ont fait quelques-uns de ces géomètres, la traduction en d'autres théorèmes relatifs aux tangences de ces lignes et surfaces; ce qui est toujours facile au moyen des principes généraux de la Théorie des polaires réciproques^ J'ai dû me contenter d'en montrer, de loin en loin, des exemples, en insistant plus particulièrement sur ceux qui pouvaient offrir le plus d'intérêt par l'étendue des conséquences ou par les moyens d'y parvenir.
A ce mémo sujet, nous devons ici reproduire une observation importante par sa généralité : c'est qu'en partant directement des théorèmes sur les tangentes ou plans tangents des lignes et surfaces géométriques, qui sont les corrélatifs ou réciproques de ceux de Carnot, sur les intersections des transversales arbitraires, et dont les énoncés se trouvent rapportés à la fin du Mémoire sur la théorie des polaires réciproques (Sect. II, n°* 128 etsuiv., 141 et 142); en partant, dis-je, de ces théorèmes inverses, on peut, par une analyse analogue à celle qui fait l'objet àfi ce travail, arriver, sur-le-; champ et sans pétition nouvelle de principe, a toutes les conséquences ou propositions réciproques dont il vient d*é(rc parlé; ce qui donnerait lieu à un autre moyen de découvertes géométriques, à un autre corps de doctrine analogue à celui qui constitue l'Analyse même des transversales. En laissant donc de côté, fort souvent, tout ce qui concerne cette réciprocité, nous éviterons d'entasser inutilement des théorèmes dont l'exposition, ne coûtant
( * ) En rendant ce public hommage à quelques-uns des travaux des géomôlres dont je citais en i83i les noms aujourd'hui mieux connus, les lecteur;» instruits comprendront qu'il ne s'agissait là exclusivement que de certaines matières traitées dans la Section IV ci-après, où je me proposais, comme dans le tome I"', de rendre à chacun la juste part qui lui était due, si mes occupations m'en eussent laissé le loisir nécessaire. — (Note de i865.)
SECTION III. — ANALYSE DES TRANSVERSALES. i4i
pour ainsi dire que la peine d'en transcrire les énoncés, serait d'un bien faible intérêt pour les lecteurs, qui estiment principalement, dans les spéculations mathématiques, Tulilité des applications ou la nouveauté et la fertilité des routes qu'elles peuvent ouvrir à l'esprit dans la recherche de la vérité.
Exposé de la méthode dans son application aux lignes planes des
trois premiers degrés.
Pour donner tout de suite une idée de nos méthodes, et en rendre l'ex^-* position générale plus claire et plus facile, nous commencerons par les ap-* pliquer au cas simple des lignes du second ordre, ou du système de deux droites indéfinies situées à volonté sur un même plan : quelques exemples suffirotit pour montrer comment les principes He la théorie des transversales conduisent directement aux propriétés les plus universelles de ces lignes.
