APPLICATION DE LA MÉTHODE AUX LIGNES DU TROISIÈME ORDRE

154. Théorème principal qui en dérive. — Soit une courbe plane du troisième degré considérée comme transversale d'un triangle quelconque abc [fig. 34), tracé sur son plan et dont le côté ah la rencontre aux trois points /?, p\ p"\ le côté hc aux trois points ^r, ^r', (f\ le côté ca aux trois derniers points r, /■', r" \ on aura, en vertu du principe des transversales dû à Carnot,

ap . ap' . ap" X hq . hq^ . bq" X cr. cr' . cr" bp.bp'.bp^'x cq.cq' ,cq"^ar,ar' ^af'"^'

Supposons, en particulier, que le système des trois couples de points /i et/?', ^ret^r'.ret r' soit à une ligne quelconque du second ordre, on aura aussi l'équation

ap.ap^ X bq.bq' X cr.cr'

bp.bp'yc. cq.cq' Xar.ar' '

qui réduit la précédente à cette autre

ap'' X bq'' X cr'' \ bp"xcq"Xar"~~^'

exprimant évidemment (148 et 149) que les trois dernières intersections p'\ q'\ r'\ appartenant à des côtés différents du triangle abc, sont situées sur une même ligne droite.

Réciproquement, si ces intersections sont supposées en ligne droite, l'équation qui leur est relative réduira la proposée à celle qui exprime que les six intersections p^p'^ q^ q\ r, r' appartiennent à une simple ligne du second ordre.

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Donc encore :

Tout point d'ir^exion d'une ligne du troisième ordre Jouit ^ par rapport à cette courbe f de propriétés métriques ou descriptives analogues à celles du pâle d *une conique considéré par rapport à sa polaire.

Et, en particulier»

Si d'un tel point on mène les trois tangentes correspondantes de la courbe» leurs points de contact se trouveront sur une même droite qui peut être appelée la polaire de ce point. *

Concevons enfin que, par deux quelconques des points d'inflexion d'une courbe du troisième degré, on mène une ligne droite, il en résultera que la dernière intersection de cette droite sera naturellement un troisième point d'inflexion de la courbe qui ne pourra évidemment en avoir aucun autre de cette sorte. Donc :

Les trois points d'inflexion d'une courbe du troisième degré sont toujours en ligne droite.

1 57. Revendication en faveur de Mac-Laurin. —Ces corollaires ne sont point tous nouveaux; plusieurs ont été donnés, par Mac-Laurin, dans son Traité des lignes géométriques de 1748, et ont été même exposés, par M. Chasles, dans la Correspondance physique et mathématique des PaysSas^ t. V, p. a35« et t. YI, p. Il (années 1829 et i83o), mais par une marche qui ne permet pas de supposer que ce dernier géomètre ait eu connaissance des recherches spéciales entreprises par Mac-Laurin, sur les lignes du troisième ordre; recherches qui embrassent beaucoup d'autres théorèmes sur ces lignes, et dont les plus généraux et les plus remarquables, par l'analogie qu'ils présentent avec les propriétés connues des quadrilatères inscrits aux sections coniques, peuvent être traduits et résumés en ce peu de mots :

Un quadrilatère complet et à trois diagonales étant inscrit à une ligne plane du troisième ordre^ i^ les trois points de concours des coiples de tangentes issues des sommets respectivement opposés de ce quadrilatère, sont situés en ligne droite et sur la courbe; a" chacun de ces couples de tangentes forme, par ses intersec-^ tions avec l'un quelconque des deux autres couples, un nouveau quadrilatère circonscrit à la courbe proposée, et dont les trois diagonales contiennent respectivement, soit l'un des points de contact du dernier couple de tangentes f. soit leur point de concours situé sur la courbe.

15Ô. Démonstration par nos principes et généralisation. — Ces propositions trouvent leur démonstration naturelle» et en quelque sorte évidente, dans le principe général du n"" 154, restreint au cas particulier où Fa ligne du

SECTION IIL — ANALYSE DES TRANSVERSALES. i55

second ordre qu'il concerne se réduit au système simple de deux droites. Ce même théorème conduit encore aux énoncés suivants qui renferment implicitement les précédents, et prouvent qu'il existe la plus grande analogie entre les propriétés de situation d'une branche quelconque d'une ligne du troisième ordre, considérée par rapport aux deux autres branches, et les propriétés pareilles d'une ligne droite quelconque, considérée par rapport à une section conique dans le plan duquel elle se trouve située :

i^ Dans tout qucuirUatère inscrit au système formé par deux quelconques des branches d'une ligne plane du troisième ordre^ les droites qui joignent les couples de points de rencontre des côtés opposés et de la troisième branche vont naturellement se couper en un nouveau point de la courbe.

%^ Si l'on inscrit^ au même couple de branches, une suite de quadrilatères dont les trois premiers côtés pivotent constamment autour de trois quelconques des points de la troisième branche, considérés comme pôles invariables,, le dernier côté picotera, lui-même, sur un quatrième point fixe de cette branche, ayant, par rapport aux trois autres, la corrélation de situation qui vient d'être indiquée.

159. Hexagone inscrit aux lignes du troisième ordre. — Ces énoncés, qui s'étendent sur-le-champ aux polygones inscrits d'un nombre quelconque, pair, décotes, etc., forment, en effet, les pendants de ceux des n^ 180 et 513 du Traité des Propriétés projectives^ qui sont, comme nous l'avons montré en ces endroits, des conséquences fort simples de la propriété qu'ont (144) les quadrilatères inscrits aux sections coniques, d'être coupés, ainsi que la courbe, par une transversale arbitraire, en six points qui sont en involution.

Mais le principe du n^ 154 ci-dessus, spécialisé comme nous venons de le dire, conduit à des rapprochements plus singuliers encore. En effet, on en conclut, sans discussion, ce nouvel énoncé :

Ayant inscrit à volonté, à une courbe du troisième degré, un hexagone dont deux quelconques des trois points de concours des côtés respectivement opposés soient sur cette courbe, le dernier s'y trouvera naturellement aussi.

160. Remarque et théorème général relatif aux lignes du troisième ordre. — L'entière conformité de ce principe avec celui de Pascal (148), relatifs l'hexagone inscrit aux lignes du second ordre, nous dispense d'insister sur les nombreux et intéressants corollaires auxquels il donne lieu, et parmi lesquels d'ailleurs, il faut bien le remarquer, ne se trouvent compris ni ceux qui pourraient avoir trait aux propriétés réciproques des pôles et polaires des sections coniques, ni celui qui se rapporterait au beau principe de Brianchon sur les

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hexagones circonscrits à ces mêmes lignes. Cette circonstance démontre bien clairement, ce me semble, combien il serait dangereux de se livrer, sans réserve, auîi conséquences du principe de dualité, mis en avant, sans démonstration ou même sans preuves suffisantes, par un savant géomètre analyste, qui en en proposant l'adoption, en i8a6, était loin, comme on sait, de soupçonner que les propriétés de situation des lignes du troisième ordre, par exemple, dussent se retrouver, non pas précisément dans les lignes mêmes de cet ordre, mais bien dans toutes celles qui n'ont, au plus, que trois tangentes possibles issues des mêmes points, comme l'indique très-explicitement la théorie des polaires réciproques, dont nous avons établi les principes dans divers Mémoires ou Traités géométriques publiés depuis 1818.

Laissant donc de côté tous les corollaires du théorème ci-dessus, nous nous contenterons d'observer qu'il fournit, sur-le-champ, un procédé facile et purement linéaire pour mener, aux courbes du troisième degré décrites sur un plan, une tangente en l'un quelconque de leurs points; procédé qui, d*ailleurs, est entièrement analogue à celui qu'a proposé Brianchon, pour mener la tangente en un point donné d'une ligne du second ordre dont quatre autres points quelconques sont assignés.

Mais on est conduit plus directement et plus généralement à la solutian de ce même problème, en s'appuyant sur la proposition suivante, qui revient à celle que nous avons déjà plusieurs fois mentionnée :

Si par trois points en ligne droite d'une courbe du troisième degré, on conduit arbitrairement trois transversales rectilignes dans cette courbe, les six nou-^ {^eUes intersections de ces transversales seront à une simple Ugne du second ordre.

Supposant, en effet, que deux quelconques de ces six intersections se confondent, en une seule, au point pour lequel on veut mener la tangente, il est clair que la section conique, appartenant aux cinq autres, touchera elle-même la ligne du troisième ordre en ce point, dont la tangente sera ainsi donnée par le principe cité de Pascal.

Cette seconde manière de construire les tangentes fait, de plus, apercevoir des méthodes générales pour tracer linéairement ou avec la règle les sections coniques osculatrices du second et du troisième ordre en des points donnés des courbes du troisième degré.

161. Corollaires relatifs aux coniques osculatrices des lignes du troisième ordre. — Supposez, par exemple, que l'une des intersections, relative k la troisième des transversales ci-dessusi vienne à se réunir aux deux premières

déjà confondues en une seule au point de tangence, la section conique acquerra évidemment, en ce point» un contact du second ordre avec la courbe proposée; ce qui conduit k cet élégant théorème :

Si, d'un point pris à volonté sur une courbe du troisième degré, on mène 9 à trois autre points quelconques de cette courbe, situés en ligne droite, trois transversales rectilignes, la section conique qui touche la courbe au premier point et contient, de plus, les trois dernières intersections des transversales, sera réell^nent l'une des osculatrices du second ordre relatives à ce même point.

Par trois points quelconques on ne peut mener qu'une seule section conique tangenle en un point donné d'une ligne droite; donc Tosculatrice ci-dessus est complètement déterminée» et» de plus» on a des procédés fort élégants impropriétés projectives, Sect. Il, n« 206 et 207; Sect. IIJ, n^ 318 et suivants) pour la décrire par points et linéairement» ou pour construire directement le cercle osculateur qui lui appartient en connmun avec la courbe proposée.

Supposez» en particulier» que les trois points en ligne droite» par lesquels passent nos trois transversales» se réunissent en un seul» en l'un des points d'inflexion de la courbe» on sera immédiatement conduit à ce corollaire :

Si, par un point d'inflexion quelconque d'une ligne du troisième ordre, on mène, à cette courbe, une transversale arbitraire, elle la rencontrera en deux autres points appartenant à une section conique osculatrice du second ordre m chacun deux, et qui sera ainsi plus que déterminée.

162. Osculatrices des troisième et quatrième ordres en un point donné. — Prenons encore que l'une quelconque de nos trois transversales devienne tangente a la courbe» au point qui est leur concours commun : la section conique ci-dessus deviendra» elle-même» osculatrice du troisième ordre en ce point» et sera entièrement déterminée de position par la condition d'être osculatrice du second ordre avec celle qui a été considérée précédemment» et* de passer» en outre» par les deux intersections restantes des transversales [Ibid., n~321 et 323).

Enfin, si nous admettons qu'une seconde de nos trois transversales se réunisse a la première déjà devenue tangente à la courbe proposée» on en déduira ce nouveau corollaire propre à faire trouver la section conique unique qui est osculatrice» du quatrième ordre» au point de concours commun de CCS transversales :

Si, en un point donné et quelconque, d'une courbe du troisième degré, on

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et peut se résoudre par des méthodes qui exigent seulement l'intersection

de la ligne droite ou d'une simple règle.