RR

donnera successivement les diverses valeurs de -^ qui déterminent la position correspondante du point R'.

Mais, attendu que cette même relation se présente sous une forme différente de celle de l'équation du n** 190, qu'elle est plus compliquée et qu'elle n'indique point explicitement la dépendance graphique qui lie entre elles les intersections des transversales et des deux courbes, on cherchera à l'y ramener en opérant à peu près comme nous l'avons fait au n** 172, à l'oc-

SECTION m. -. ANALYSE DES TRANSVERSALES. i85

casion de la relation qui concerne le système des trois transversales quelconques.

Par exemple, si l'on conduit, parles points donnés Q'etR' de la ligne du second ordre, une droite auxiliaire rencontrant en/? la troisième transversale aP', et que Ton mène semblablement, par le troisième point F de celte ligne, une droite arbitraire rencontrant, je suppose, en q et r respectivement les deux autres transversales aQ' et aR', on aura, pour le système de ces nouvelles transversales,

Ac(5:--.»=.AB(î> + î^)-^Ac(^-H^-g), \ar alM J \ap aP' J \aq «Q /

relation qui ramène, sur-le-champ, la précédente a la forme mentionnée, et qui apprend que le système de tous les points /i, //, />",..., de tous les points Çf q\ (f et de tous les points r, r', r",..., appartient à une ligne géométrique

du même ordre que la proposée.

196. Cas des intersections imaginaires. — Nous ne pousserons pas plus loin ces conséquences, parce que ce serait anticiper sur le sujet de la seconde partie de ces Mémoires, où nous nous proposons d appliquer, d'une manière spéciale, les principes exposés dans celle-ci, à la théorie des osculatrices des courbes géométriques de tous les ordres. Toutefois, avant de passer à de nouvelles recherches, nous devons encore remarquer que les relations métriques considérées depuis le n^ 17 sont, de même que celles du n^ 165, indépendantes du mode d'existence propre des intersections de la courbe et des transversales, c'est-à-dire de la réalité ou de la non-réalité absolue de ces intersections.

Car, par exemple, s'il arrivait que les deui^ points ret r' {fig. 4o) de-vinssent imaginaires, les sommes de réciproques ou de quotients

I I Rr Rr'

ar ar ar ar

relatives a ces points, n'en conserveraient pas moins des valeurs réelles, puisqu'en les mettant sous cette forme :

ar,ar' ar.ar'

= AR — -Ï--P ^- 2, \ ar.ar' /

leurs numérateurs et leurs dénominateurs conserveraient eux-mêmes une valeur toujours absolue et réelle, ainsi qu'il résulte immédiatement des principes généraux de l'Analyse algébrique.

t86 PROPRIÉTÉS PROJECTIVES DES FIGURES.

197. Manière de se débarrasser par couples des segments imaginaires. — Mais, pour laisser le moins possible à désirer sur ce sujet et ne rien emprunter, pour ainsi dire, d'étranger aux considérations de la Géométrie, nous rappellerons que, d'après l'observation déjà faite au n^ 165, les deux points r et r' peuvent toujours être censés définis par une ligne du second ordre quel* conque qui les contiendrait en commun avec la courbe proposée. Or, si on considère une telle ligne comme coupée, à son tour, par les transversales or et deux autres droites quelconques issues de a, mais dont les intersections seraient toutes réelles et constructibles géométriquement, elle donnera lieu a une nouvelle équation qui permettra de calculer immédiatement les quantités ci-dessus, qu'on obtiendrait également à l'aide des considérations exposées dans la Section I, Chapitre II du précédent volume, sur les sécantes et cordes idéales des lignes du second ordre.

Toutefois, comme ces considérations supposent la section conique auxiliaire donnée à priori, il est bon de remarquer qu'on pourra toujours la construire par points sans recourir à des données étrangères à celles qui sont fournies par la courbe proposée, pourvu seulement'qu'il ne se trouve pas plus d'un couple de points imaginaires sur chacune des transversales que l'on considère, et qu'on puisse mener, du point de concours de ces transversales, de nouvelles sécantes, dans la courbe, qui la rencontrent en autant de points réels qu'il est marqué par son degré.

Supposons, en effet, que dans les hypotlièses générales des n*** 165, 187 ou suivants, le couple des points r et r', et, si Ton veut encore, celui des points/? et/?' qui appartiennent à des transversales distinctes, soient imaginaires, tandis que tous les autres soient essentiellement réels; on concevra, par ces quatre points et par un cinquième point X pris arbitrairement sur la transversale qq\ une ligne du second ordre qui viendra couper cetle même transversale en un second point X', lequel pourra être déterminé géométriquement, ainsi que tous ses analogues relatifs à de nouvelles transversales arbitraires passant également par X et dont les intersections, avec la courbe proposée, seraient toutes réelles. Car si l'on élimine, des relations appartenant aux intersections de ces transversales et des deux courbes, tous les segments qui se rapportent aux points imaginaires communs à ces courbes, on obtiendra évidemment d'autres relations du premier degré, propres à calculer ou à construire linéairement les valeurs des segments qui répondent aux différents points Q' dont il s'agit.

Ces dernières considérations se rattachant à la question générale où Ton se propose de construire géométriquement le système des intersections d'une

SECTION IlL — ANALYSE DES TRANSVERSALES. 187

fourbe plane» de degré donné, avec une transversale arbitraire, nous renverrons le lecteur au paragraphe suivant, où cette question et ses annexes se trouvent traitées d*une manière tout à fait spéciale.

§ IV

Détermination des lignes géométriqties planes définies par leurs intersections avec certaines transversales rectilignes, etc. (*).

Jusqu'ici nous nous sommes principalement occupé à faire voir comment notre relation fondamentale peut être étendue à des situations quelconques des transversales, et nous avons aussi donné un aperçu de son utilité pour la solution de différents problèmes concernant les lignes géométriques, notamment pour le tracé de leurs tangentes et asymptotes. Nous nous proposons, dans ce paragraphe, de montrer comment il peut aussi servir à déterminer ou à construire ces lignes elles-mêmes tout entières, quand on les suppose définies par un nombre suffisant de conditions et spécialement par leurs systèmes d'intersections avec des droites données; cela nous mettra à même de résoudre plusieurs questions ou difficultés qui se sont présentées dans le précédent paragraphe, et dont nous avons renvoyé l'examen à celui-ci pour ne pas interrompre l'exposition générale de la méthode.

PRÉLIMINAIRES RELATIFS Al CAS OU l'oN SE DONKE IN POINT MULTIPLE d'oRDRE QUELCONQUE