NOUVEAU TRACÉ DES TANGENTES; FAISCEAUX DB DE01TI8 BM INYOLUTION

184. Exposé. — Ce qui précède fournit une nouvelle méthode, aussi générale qu'elle est symétrique et élégante, pour construire (164 et suiv.) l'une quelconque des intersections d'une courbe géométrique avec trois droites a6, ac et &c, arbitrairement tracées sur son plan et lorsque toutes les autres sont connues ou données par le tracé de la courbe. De là également un

procédé nouveau pour construire linéairement, ou sans autre instrument que^ la règle, la tangente en un point donné d'une courbe géométrique quel-^ conque, plane ou à double courbure, procédé qui peut aussi servir à con-^ struire les asymptotes de cette courbe quand on connaît simplement leur direction ou leur point de tangence à l'infini.

Supposons par exemple que, dans la figure relative aux n^ 180 et 183, le point de rencontre c des transversales ac et bc soit pris sur la courbe, de manière que leurs intersections q et r avec cette courbe se confondent en une seule au point de rencontre dont il s'agit; la droite indéfinie ^r deviendra évidemment une tangente de la courbe, et la relation graphique qui précède donnera le point de rencontre P de cette tangente avec la transversale arbitraire ab,

185. Propositions réciproques. — En appliquant aux divers théorèmes qui nous ont jusqu'ici occupés, les principes exposés dans les n®* 101, 120 et suivants de la précédente Section sur la théorie des polaires réciproques^ on arrive à divers résultats, dont nous nous bornerons à citer les suivants parce qu'ils conduisent à des énoncés faciles (*).

< Soient une courbe quelconque, de degré /n, tracée sur un plan, et a, 6, c trois points aussi quelconques de ce plan, de chacun desquels on ait mené à la courbe les tw (/w — -i) tangentes (**) qui lui correspondent (n® 66), tangentes qui seront ici censées toutes réelles; choisissons, à volonté, parmi les m^ (m— 1)* intersections mutuelles des tangentes issues de b et de c, un système de m (/n — 1) de ces intersections appartenant k autant de couples distincts de ces tangentes; faisons enfin passer, par les intersections dont il s'agit, un faisceau de m [m — i) droites dirigées vers le point a : il résulte des n°* 180 et suivants que ce faisceau et celui des m (m — i) tangentes, issues du même point a, seront en involution simple par rapport aux deux droites indéfinies ac et ab, c'est-à-dire que les intersections respectives de ces faisceaux, avec une transversale arbitraire, seront elles-mêmes en involution par rapport aux interseclions de cette transversale et des deux droites dont il s'agit. >

( * ) Ces énoncés suffisent pour dispenser de toute figure, dont le trac^, tr!s-compliqué d'ailleurs, aiderait médiocrement, s'il ne nuisait, à leur conception géométrique intuitive. Or, celte remarque s'applique également à certaines démonstrations algébriques fondées s ir de laborieux calculs et qui, trop souvent aussi, substituent, contre l'avis des plus grands géomètres philosophes, l'action directe des sens à celle de l'esprit convenablement préparé. — (Note de i865.)

( ** ) Nous reviendrons, dans le § V, sur ce qui concerne le tracé de ces tangentes.

Il résulte en particulier de ce théorème général que, si Ton se donne toutes les tangentes issues des trois points a, 6, c, une seule exceptée, on pourra immédiatement déterminer celle-ci par de simples tracés de lignes droites, et en ayant recours aux constructions du n** 183 appliquées aux intersections de la transversale ci-dessus; problème de la solution duquel dépend d'ailleurs la détermination du point de contact des tangentes. Mais on peut aussi opérer directement en renversant les constructions elles-mêmes au moyen de la Théorie des polaires réciproques, et observant que la question revient, en définitive, à déterminer Tune quelconque des droites des deux faisceaux issus du point a, qui sont en involution par rapport à ab et ac.

A cet effet, ayant choisi k volonté deux poinls 6' et d sur ces dernières droites respectives, on s'en servira pour faire passer alternativement les côtés, de rang pair et impair, d'un polygone quelconque dont les sommets s'appuieront eux-mêmes alternativement sur chacune des droites du couple de faisceaux considérés, à l'exception cependant de celle qu'il s'agit de déterminer au moyen de toutes les autres. Cela posé, le dernier sommet de ce polygone, celui qui est demeuré entièrement libre, se placera de lui-même sur la dernière droite et servira ainsi à la déterminer complètement de position.

186. Remarque générale. — Ces exemples suffisent pour donner une idée du genre de propositions auxquelles on est conduit quand on applique nos principes sur la réciprocité des figures aux diverses considérations qui précèdent; c'est pourquoi, sans insister davantage, nous retournerons à l'objet de nos premières investigations relatives aux applications spéciales de la doctrine des transversales, en remarquant qu'il nous reste une dernière transformation à faire subira la relation générale du n** 165, pour qu'elle puisse s'étendre à toutes les situations possibles du triangle ou des transversales dont elle dérive.

Du changement complet de forme subi, dans certains cas, par la relation métrique fondamentale. — Théorèmes qui en résultent'.

187. Remarques préliminaires. — Par les considérations des n*^' 171 et suivants, 179 et 180, nous avons déjà converti la relation fondamentale du n* 165 en d'autres relations métriques qui ne deviennent illusoires ou identiques ni quand les sommets du triangle formé parles intersections mutuelles

des transversales de la courbe se trouvent situés sur cette courbe, ni quand un ou deux de ces sommets se sont éloignés à l'infini sur son plan. Mais toutes ces nouvelles relations se réduisent, ainsi que la primitive, à des identités de la forme 1 = 1, quand ce même triangle vient à s'évanouir complètement, soit que d'ailleurs les directions indéfinies de ses côtés restent distinctes en convergeant en un point unique, soit que deux quelconques d'entre elles se réunissent en une seule également distincte de la troisième.

Toutefois, les relations purement descriptives et linéaires auxquelles nous sommes parvenu aux n""' 175, 176 et 183, en éliminant successivement de celles dont il s'agit tous les segments qui y entrent, ces relations, dis-je, ne cessant nullement d'être applicables au système des transversales, et devant être considérées comme les traductions immédiates des relations métriques dont elles dérivent primitivement, il faut bien encore que l'indétermination de celles-ci tienne purement au changement de forme qu'elles doivent subir dans la nouvelle hypothèse.

188. Substitution des sommes de réciproques aux produits de segments. — Il est évident qu'on ne saurait ici employer le mode d'élimination successive des segments dont nous nous sommes servi précédemment, car il nous ferait retomber sur les mêmes relations linéaires. Mais, si on met l'équation du n^ 165 sous cette forme :

{ap){bq)(ar-\-ac) = [ar)[ap'{-ah]{bq'>fhc)(*),

qu'ensuite on développe tous les produits des facteurs binômes en négligeant successivement, dans les résultats, les termes qui contiennent 06, hc et oc à des degrés supérieurs au premier, attendu que les côtés du triangle abc [fig. 34 ou 38) peuvent, ici, être censés infiniment petits ou nuls, on obtiendra la nouvelle équation

( * ) Conformément aux règles de l'Analyse géométrique des coordonnées, précédemment adoptées et justifiées rigoureusement dans le troisième Chapitre ou Cahier du tome n de nos Applications^ de 1864, on n'a point ici, en vue de généraliser, donné à priori des signes explicites ou algébriques aux diviBrses quantités, oe qui offre d'appareates eontradicCions eatre l«s données du calcul et celles des figures. Mais on évitera ces difficultés et Ton ramènera tout à une évidence élémentaire on supposant qae, dans les diverses figures relatives au tringle transversal abe d'une courbe géométrique plane, non-seulement ce triangle est tout à fait en dehors et d'un même côté de la courbe, mais encore que ses sommets ri et ^ en sont les plus voisins, comme le montre la fig. 58, qui pourrait être pnse pour figure type ou de départ, ainsi qu'on Ta «xpliqwôdms r«nâroit cité d» JppticatiôMs, Mais cela ne serait utile que pour les espfi4fi peu exercés.— {Note de i8d5.)

daos laquelle le signe 1 désigne la somme algébrique ( * ) des valeurs inverses ou des réciproques de segments analogues et différant seulement par le signe de position et Taccent ou indice qui affecte les lettres/?, q, r.

On arrivera plus rapidement encore à cette transformée, en prenant la différentielle logarithmique des deux membres de Téquation primitive (165), dans laquelle on devra, selon ce qui précède, regarder les produits {cr), ( hp) et {cq) comme les seules quantités susceptibles de varier, et considérer les variations des segments relatifs à chacun des côtés du triangle abc comme égales entre elles et à ces côtés respectifs censés devenus infiniment petits.

Observant maintenant que ces mêmes côtés sont proportionnels aux sinus des angles respectivement opposés du triangle, et supposant finalement que les trois sommets de celui-ci viennent à se confondre en un seul a, par exemple, on obtiendra la relation

sm

P^'i^ [ir) =sin.ç«r2 (^) -hsin./iarl (^) ,

pour remplacer celle du n^ 1 65 dans le cas où les trois transversales arbitraires de la courbe convergent en un même point a [fig'l\o)^ en formant entre elles des angles dont, conformément aux hypothèses faites tacitement dans les raisonnements qui précèdent, le plus grand de tous est censé Tangle/^a^ comprenant or dans son intérieur.

189. Justificcuion de ces résultats par voie géométrique. — Mais, ainsi qu'il a déjà été observé au n*" 53, relativement aux centres de moyennes harrruoniques, il n'est nullement indispensable de recourir aux transformations algébriques pour se convaincre que la relation ci-dessus s'étend aux ligues géométriques d'un ordre quelconque, comme elle s'applique également aux systèmes composés de simples lignes droites, d'après les considérations purement élémentaires du n°51.

Rappelons-nous, en effet, la manière dont on parvient aux relations linéaires et purement descriptives des n°* 175 et suiv. (^f^. 36), relations directement applicables (177) au cas où les transversales a6, ac, bc concourent en un même pointa, et observons que si, des trois derniers points en ligne droite obtenus sur ces transversales, on remonte successivement au système des six points qui appartiennent à une même ligne du second ordre, à celui des douze points qui appartiennent à une même ligne du

(*) Section I'*, relative aux centres de mojrennes harmoniques, n**4 et suivants.

i8o PROPRIÉTÉS PROJECTIVES DES FIGURES:

quatrième ordre, etc., on aura à cousidérer un égal nombre d'équations, de la forme de celle ci-dessus, qu'on obtiendra en combinant, de proche en proche, par voie d'addition ou de soustraction, toutes celles qui, d'après le n^ 51 déjà cité, se rapportent tant à la droite qui contient les trois derniers points, qu'aux différents systèmes de droites auxiliaires (175) qui servent k remonter, de ces points, aux six précédents, et ainsi de suite jusqu'à ee qu'on soit parvenu aux intersections mêmes des transversales ap^ aq et ar avec la courbe proposée.

A l'inverse, en partant de la relation qui convient au système total de ces intersections, et en opérant d'une manière analogue à celle qui a été mise en usage dans les n*** 175 et 176, mais en substituant toujours les additions aux multiplications, les soustractions aux divisions, on retombera finalement sur les relations descriptives mêmes auxquelles on est parvenu pour le cas de trois transversales dirigées d'une manière quelconque.

Quant à la relation générale dont il est question aux n°'51 et 53, on s'assurera aisément qu'elle n'a pas lieu pour les courbes géométriques, bien qu'elle soit applicable aux simples systèmes de lignes droites; ce qui tient à ce que la diversité des coefficients numériques dont ses termes sont affectés s'oppose à ce que, dans les opérations ci-dessus, les éliminations de segments puissent s'opérer par de simples additions ou soustractions des égalités relatives aux transversales rectilignes. Telle est aussi la manière dont on doit entendre, dans le cas présent {voyez l'Introduction de cette Section, p. 1^7 et suiv.), que les propriétés concernant les systèmes de lignes droites peuvent s'étendre aux courbes géométriques d'un ordre quelconque.

190. Autres transformations de la relation fondamentale, — Il résulte d'ailleurs, de ces rapprochements et de ce qui a été exposé au n*^ 64 (Sect. P®;, que, si l'on suppose {fig.l\o) le faisceau des trois transversales aq^ ar^ap^ coupé en A, B, C respectivement par la droite arbitraire AC, on aura, pour remplacer la relation du n** 188 ci-dessus, cette autre équation

ACx2(^^)=ABx2(^UbCx2(^), \ar) \apl \(iq j

qui a l'avantage particulier de ne pas devenir identique ou insignifiante quand on suppose le point de concours a à l'infini, ou les transversales ap, aq, ar parallèles. En effet, elle devient simplement alors

AC2(Br) = AB2:(C/;)-hBC2:(A^),

AC étant la plus grande des trois distances AB, ACet BC.

SECTION III. - ANALYSE DES TRANSVERSALES. i8i

191. Réduction des équations d'involution quand les deux points d* origine se confondent en un seul. — Je ne m'arrêterai point à montrer comment ces dernières relations peuvent être déduites directement (*) de Téquation générale du n^ 188, ni comment elles peuvent être étendues à un nombre quelconque de transversales convergeant en un point unique et situées dans un même plan, s'il s'agit de courbes géométriques données dans ce plan, ou d'une manière arbitraire dans l'espace, s'il s'agit de surfaces géométriques en général.

Quant aux relations des n®" 180 et suivants, qui expriment [fig, 37 et 38j qu'il y a imolution simple entre les systèmes de points />, /i', /?",..., et P, P', F',..., rangés sur la transversale ab, par rapport aux intersections a, b de cette transversale avec les deux autres ac et bc, il est aisé de voir qu'elle se réduit simplement à la suivante, lorsque ces intersections se confondent en une seule a [fig. 40)9

ou à cette autre, si l'on adopte les conventions du n^ 190,

équation qui, à son tour, se réduit à cette égalité plus simple encore, quand le point de concours a des transversales passe à l'infini, ou que ces transversales deviennent parallèles entre elles,

2(Cp) = 2(CP).

Il est évident d'ailleurs que toutes les autres équations qui nous ont occupé

(*) Pour en donner au moins une idée, nous ferons observer que dans les triangles AaC, A/iB, BaC [fig. 40 ), on a, en nommant P la hauteur du sommet a sur la transversale ABC,

sinA<7C= -^5^P = AC.aBx . \ ^ 1 sinA«B = AB.^C x -r— ^— r '

p sinBrtC = BC.flA x —7 — s — 70

au moyen de quoi l'équation du n*" 188 devient, en supprimant les facteurs ou diviseur» communs à tous ses termes,

relation qui conduira immédiatement à celle dont il s*agit, en observant que

i8a PROPRIÉTÉS PROJECTIVES DES FIGURES.

dans ee qui précède, et notammeDl celles du n^ 179, subtraient des transfor-

matioQS analogues dans tes circonstances dont il s*agit.

192. Déductions relatives aux centres de moyenne distance et de moyenne harmonique. — Supposons que, sur la transversale ab ou ap [fig* ko) qui contient les m points/?, /?',/?",... de la courbe, on choisisse un nouveau point X tel qu'on ait, en tenant compte des signes de position (6 et 17),

m ax

ap ap ap" \op)

ou, ce qui revient au même (20),

m ax

ap ap ap' \^P I

le pointer, ainsi défini, sera, d'après le n^ 17 déjà cité, le centre ordinaire des moyennes harmoniques de tous les points />,/?', ;>^... par rapport au pôlea, et il en deviendra lece/i/re ordinaire ^^//loj^/i/ie £/i>/ance (21), quand l'origine a des segments passera à l'infini, ou qu'on aura

m.Cx = C/> -h C/ 4- Cp^ -f-. . .== 2 (C/?).

Donc nos deux relations du n^ 191 ci-dessus n'expriment autre chose si ce n'est que le système des points P, F, P",... qui, dans les hypothèses gêné* raies des n^* 180 et suivants, formaient une involution simple par rapport aux sommets a et 6 du triangle transversal abc, ont, dans le cas où ce triangle s'évanouit, le même centre de moyennes harmoniques ou de moyennes distances par rapport au point de concours commun des transversales ^ circonstance qui n'altère d'ailleurs en aucune façon la dépendance purement linéaire (183) que nous avons démontré appartenir à ces deux systèmes et qui sert à faire trouver l'un quelconque des points dont ils se composent au moyen de tous les autres.

Donc aussi les relations générales des n*** 188 et 190 expriment que les centres de moyenne harmonique ou de moyenne distance des trois groupes de . points p, p\ p",..., 9^9' y ^^f'-'f^y ^'y ^">- » situés {fig- L\o) à V intersection de la courbe et des transversales arbitraires ap^ aq, ar^ issues d'un même point a, ces centres respectifs, dis-je, sont rangés sur une même ligne droite, comme cela résulte d'ailleurs, à priori, des considérations exposées dans les n^ 51 et 54 de la Section P*, relative aux centres de moyennes harmoniques.

193. Ces dernières considérations suffisent, je pense, pour convaincre

i84 PROPRIÉTÉS PR0JECTIVE8 DES FIGURES.

plus de faire intervenir dans la figure de simples transversales rectilignes (169 et suiv.) qui contiennent un à un, deux a deux, le point d'intersection dont il s'agit, mais il devient indispensable de prendre, pour transversale auxiliaire unique, une ligne géométrique d'un degré tout au moins égal au second, et qui renferme à la fois ces trois mêmes points considérés toujours comme distincts, quoiqu'ils soient réellement confondus en un seul.

195. Méthodeset équations relatives à ce cds. —Supposant, par exemple, que, dans les hypothèses des n"^* 187 et suivants, le point de concours a [fig. 4o) des transversales doive venir s'appuyer sur la courbe proposée, en un point pour lequel les intersections p, y, r se confondent elles-mêmes [fig. 4o) en une seule avec a, on concevra, par ces intersections, une ligne du second ordre quelconque rencontrant de nouveau les transversales ap^ aq, aren F, Q', R' respectivement. Cela posé, on aura, d'après le n*' 190 et en conservant toutes les notations et conventions de ce numéro.

Soustrayant cette dernière équation de la précédente, il viendra

Cette nouvelle relation, étant indépendante des segments qui appartiennent aux points/?, q et r, demeure immédiatement applicable au cas où ces points se confondent en un seul avec le pôle a des transversales, et où par conséquent la ligne auxiliaire du second ordre doit devenir osculatrice de la proposée en ce même point. De plus, elle peut servir alors à tracer entièrement cette première ligne par points, puisqu'en laissant aP' et aQ' fixes et faisant varier de position, autour de a, la troisième transversale aR', elle