SECTION IV

PROPRIÉTÉS COMMUNES AUX SYSTÈMES DE LIGNES ET DE SURFACES GÉOMÉTRIQUES D'ORDRE QUELCONQUE (*).

Dans les précédentes Sections, comme dans tout le cours du premier volume de cet Ouvrage, nous nous sommes bien plus occupés de l'établissement

(*) Cette Section constituait un quatrième Mémoire séparé du précédent, mais qui devait l'accompagner dans la présentation, en i83i, à TAcadémie des Sciences de l'Institut, et dont les matériaux avaient été préparés ou du moins ébauchés, dès avant mon entrée comme professeur à rÉcole d*application de Metz, en janvier iS'iS. Ce ne fut, que dans Thiver de i83o à i83i, pendant la suspension du cours de Mécanique^ que je pus en reprendre la rédaction et lui donner la forme actuelle^ demeurée imparfaite en raison dos lacunes qu'elle renferme à divers points de vue^ et qui proviennent de la suppression de nombreux corollaires et développements, suppression maintenue Gdèlement dans la présente publication, afm d'en resserrer le contenu dans de justes limites. Seulement, j'ai tâché de suppléer à ces lacunes par l'addition de quelques passages ou résumés servant de points de transition et de supplément aux parties supprimées, quoique non entièrement effacées dans l'ancien manuscrit.

A cela près^ comme dans les précédentes Sections, je n'ai apporté aucune modification essentielle au texte, sauf une correction qui sera mentionnée plus loin au n" 292 ; car je ne considère pas comme telles l'arrangement indispensable des titres, sous-titres, le numérotage des articles et les renvois laissés en blanc dans les parenthèses, dont le remplissage, après trente-cinq ans écoulés, m'est devenu extrêmement pénible et peut contenir quelques inexactitudes, malgré la scrupuleuse attention que j'y ai apportée. La seule chose qu'il me soit permis d'affirmer, c'est que je n'ai introduit dans cette publication aucun perfectionnement qui puisse en altérer le sens, en étendre la portée, ou m'approprier des idées que je ne possédais pas en i83i, alors que je présentai mes derniers Mémoires à notre Académie des Sciences. Et c'est précisément en vue de sauvegarder mes propres droits de priorité qu'obligé d'ajourner la publication du volume que je livre au public si tardivement, j'ai cru devoir à diverses époques prendre date relativement aux théories principales qu'il renferme, par certains articles ou passages d'articles imprimés, qu on trouvera reproduits dans la Section supplémentaire ci-après.

A l'égard des suppressions mentionnées ci-dessus et qui remontent toutes à l'époque précitée (i83o à i83i], il est nécessaire de remarquer qu'elles concernent principalement les applications du principe de réciprocité polaire (Sect. HI) à diverses propositions dans le genre de cdles que M. Gergonne avait si fortement recommandées dans les Jnnales de 1827, et dont j'avais non moins vivement combattu en 1828 et 182g la fastidieuse multiplication et superfluité (voir la Section supplémentaire, § II, ou le n° 304 ci-après'). J'ajoute que les propositions principales, maintenues dans la rédaction de l'hiver de i83o à i83i, sont en majeure partie extraites d'un cahfer manuscrit remontant à l'hiver de 1822 à 1823, cahier conservé parmi mes papiers et dont le préambule seulement est rapporté dans le § I*' de la Section ci-après. — (Note de i865.)

des méthodes et des principes généraux que de Texposition dogmatique des propriétés ou théorèmes individuels relatifs à certaines figures, quels qu'en fussent d'ailleurs le mérite et l'utilité propres. Car les méthodes, les principes généraux et féconds sont à mes yeux, je dois le redire, les acquisitions les plus précieuses comme les plus rares en Mathématiques; tandis que les théorèmes particuliers, isolés, sans lien nécessaire, les problèmes et les corollaires plus ou moins ingénieux qui découlent de ces principes étant en nombre pour ainsi dire illimité, ne peuvent se retenir dans la mémoire quand ils ne sont pas d'une application journalière et en quelque sorte usuelle. C'est là une vérité incontestable et jusqu'à présent incontestée, qui doit nous diriger dans l'exposé des méthodes de cette quatrième Partie, dont l'étendue serait sans bornes si nous ne prétendions nous restreindre aux conséquences les plus générales, les plus élégantes et les plus simples de chaque espèce.

De linvolution dans les systèmes de points en ligne droite, de courbes ou de surfaces à intersections communes.

252. Les précédentes Sections nous ont offert des exemples divers de faisceaux formés de droites et de plans quelconques rayonnant autour d'un lieu commun d'intersection ou de convergence mutuelle, et susceptibles, de prendre différents noms selon la loi ou condition qui les unit entre e^x : par exemple, d'être tangents à des lignes ou surfaces données, etc.

La Section III, en particulier, offre des exemples de systèmes plus complexes, dont les propriétés remarquables sont énoncées sous une forme plutôt implicite qu'explicite; quoique, en y réfléchissant, il soit facile, pour les lecteurs attentifs, d'en tirer, sans trop d'hésitation, les divers corollaires qui doivent nous occuper dans ce paragraphe, j'entrerai néanmoins ici dans quelques développements sur certaines théories géométriques d'un intérêt spécial, relatives à de tels systèmes, notamment sur celles de ces questions qui se rapportent aux transversales ou sécantes (réelles ou idéales), communes à tout un système de lignes, de surfaces géométriques de même ordre.

Cette étude, en effet, e.^t facile d'après les procédés généraux de la Section III, c'est-à-dire en considérant de telles sécantes comme faisant partie des côtés indéfiniment prolongés d'un triangle ou polygone rectiligne

transversal du système proposé. Car, par la combinaison mutuelle, successive ou simultanée, des équations de segments qui se rapportent aux hypothèses adoptées dans chaque cas, on éliminerait de ces relations purement métriques tous les segments communs aux lignes ou systèmes de lignes géométriques prises deux à deux, et Ton arriverait ainsi à de nouvelles relations métriques ou descriptives, tout à fait indépendantes de Ja grandeur et par conséquent de la réalité effective de ces segments communs ou des intersections qui s'y rapportent; ce dont on a eu de nombreux exemples dans la précédente Section. On pourrait ensuite passer au cas de deux, de trois systèmes distincts de sécantes communes, etc.; mais il m'est impossible ici de suivre cette marche méthodique ou ascendante, et je dois me borner à présenter quelques éléments ou fragments épars de cette théorie, propres seulement à fixer l'attention des lecteurs.

PEÉUMINàIRES relatifs a DBS CAS SIMPLES D*INT0LCTI0N BT^D*INTBRSEGTION MUTUELLE DE LIGNES GÉOMÉTRIQUES SUR UN PLAN.

253. Commençons par rappeler que les propriétés individuelles des lignes géométriques continues s'appliquent également aux systèmes composés de droites ou de courbes, en nombre quelconque, situées sur un même plan, et considérées dans leur ensemble comme un lieu géométrique unique, sinon continu dans toutes ses parties, ayant pour degré la somme de leurs degrés propres, et assujetti aux mêmes conditions, telles que de passer par certains points, etc. Or, cette double considération conduit à un grand {nombre de propositions curieuses, relatives aux combinaisons de lignes géométriques situées dans un même plan.

Considérant, par exemple, une courbe plane géométrique (A;„) du degré m, coupée par deux droites arbitraires ca, cb, puis une seconde courbe quelconque (B;„) du même degré et passant par les intersections respectives de ces droites avec la première; ces deux courbes seront telles, que si on les coupe ainsi que leurs sécantes communes [réelles ou idéales) par une troisième droite arbitraire ab, les groupes distincts de m intersections, qui leur correspondent respectivement sur cette dernière droite, seront en involation simple par rapport aux points a, b d'intersection relatifs à ce couple de sécantes; c'est-à-dire que, si l'on nomme/), p\p\..., q, q\ y",.»., les intersections respectives de la transversale arbitraire ab avec les deux courbes, a ei b étant les points où elle est coupée par les deux premières sécantes indéfinies ca, cb, communes aux courbes {km) et (B^)» on aura l'égalité de

24o PROPRIÉTÉS PROJECTIVES DES FIGURES-

Ce théorème peut s'étendre à un nombre quelconque de droites arbitraires ou à un polygone quelconque considéré comme transversal d'une courbe plane géométrique.

DE l'iNYOLUTION COMPLÈTE DE TROIS GROUPES DE m POIIS'TS EN LIGNE DROITE.